Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 23
Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.
N1 - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwojów w cewce wtórnej
oraz
Stosunek napięć
(23.1)
Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże i odwrotnie.
Przykład 1
Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10 W przesyłanej z generatora 10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·104 oraz 105 V.
P = IU
Pstrat = I2 R = (P/U)2 R
Pstrat1 = 4.4 MW (44%)
Pstrat2 = 0.1 MW (1%)
Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukuje się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy siłą elektromotoryczną samoindukcji.
(23.2)
Wielkość Nf jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumienia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę.
Nf = LI (23.3)
Stała proporcjonalności
L = Nf/I (23.4)
nazywana jest indukcyjnością.
Zróżniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
Stąd
(23.5)
Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l0 i N zwojach.
Strumień przez każdy zwój wynosi
f = BS
gdzie B dla cewki wynosi
B = m0nI = m0I(N/l0)
Zatem
Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I
(23.6)
Zauważmy, że L zależy tylko od geometrii.
Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na siebie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przechodzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.
N2f21 = M21I1
Stałą proporcjonalności M21 nazywamy indukcją wzajemną.
Różniczkując to równanie otrzymujemy
Jeżeli zmieniamy prąd I2 to analogicznie
Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że
M12 = M21 = M
Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od geometrii układu.
Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.
Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozycji (a).
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
(23.7)
W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać ze związku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe
Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać
(23.8)
Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez jej podstawienie.
Prąd obliczamy różniczkując dq/dt
Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).
Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma e i prawo Kirchoffa przyjmuje postać
czyli
Rozwiązanie ma postać
(23.9)
gdzie q0 jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.
Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi
W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładniczo. Podobnie przy rozładowaniu.
Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.
Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość e/R. Dzięki cewce w obwodzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji eL, która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do e.
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
(23.10)
Poszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t).
Ma ono postać
(23.11)
Sprawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokazane jest na rysunkach poniżej.
Narastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową tL = L/R.
Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i otrzymamy
(23.12)
z rozwiązaniem
Pozostańmy przy obwodzie RL. Z prawa Kirchoffa otrzymaliśmy
Mnożąc to równanie przez I dostajemy
Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest następująca:
· ...
pkoszla