MathCad_Complex_Matrices_Tutorial_Krowiak.pdf

6.05.2008

T WORZENIE ORAZ OPERACJE NA MACIERZACH

O ELEMENTACH BĘDĄCYMI LICZBAMI ZESPOLONYMI W

PROGRAMIE M ATH C AD ®

Autor:

Radosław Krowiak

Spis treści

1.Macierze liczb zespolonych w programie MathCad........................................................................2

1.1.Tworzenie macierzy liczb zespolonych krok po kroku [1,2]....................................................2

1.2.Zapis moduł-faza liczb zespolonych w programie MathCad...................................................3

2.Operacje na macierzach....................................................................................................................4

3.Przykłady zastosowań oraz interakcji z systemem operacyjnym [1]...............................................5

Bibliografia:................................................................................................................................7

1. Macierze liczb zespolonych w programie MathCad.

1.1. Tworzenie macierzy liczb zespolonych krok po kroku [1,2].

1. Wcisnąć kombinację klawiszy [CTR M] lub kliknąć lewym

klawiszem myszki na ikonkę Matrix or Vector na pasku

Macierzy, jak pokazuje zrzut ekranu obok:

2. Wpisać pożądane wymiary macierzy w okienku,

które ukaże się po przejściu kroku pierwszego, jak

na zrzucie obok:

3. Wypełnić macierz pożądanymi elementami macierz używając klawisza [TAB] do

przesuwania się między pozycjami, jak na załączonym zrzucie:

Uwaga!

Należy pamiętać o symbolicznym zapisie liczb zespolonych w programie MathCad, otóż

jednostkę urojoną i zapisujemy:

DOBRZE BŁĄD

1 i 1* i

Jest tak ponieważ w drugim przypadku MathCad odczyta i jako zupełnie nową zmienną.

1.2. Zapis moduł-faza liczb zespolonych w programie MathCad.

Dla przypomnienia podaję równanie Euler'a opisujące przejście między dwoma zapisami:

z = r ⋅ e i  = r ⋅cos isin  ⇒

r =  a 2  b 2

= arctg  b

a 

W MathCadzie nie istnieje domyślny operator zapisu liczb zespolonych moduł-faza, jednak

bardzo łatwo takowy utworzyć:

1. Zgodnie z przyjętymi powyżej oznaczeniami tworzymy nową funkcję operującą

znakiem  (sam znak  kopiujemy z Extra Math Symbols w dziale quicksheets):

∢ r,  : = r ⋅cos i ⋅sin

2. Wywołanie funkcji odbywać będzie się poprzez pasek Evaluation:

Kliknięcie na zaznaczony na czerwono przycisk spowoduje

pojawienie się wypełniacza, który należy wypełnić zgodnie z przyjętą

notacją funkcji:

Na przykład:

3 Ð

1.5 2.598i

lub: 1 Ð

0.707 0.707i

Adnotacja:

Niekoniecznie musimy używać operatora  - równie dobrze możemy jawnie nazwać

definiowaną funkcję, np. „phasor” czy też inną pasująca nam nazwę a funkcjonalność jej

się nie zmieni, co ukazuje poniższy przykład:

( ) phasor p

0.5 0.866i

{

{ z = a  ib

2. Operacje na macierzach [1].

W niniejszym rozdziale przedstawię sposoby operacji na macierzach w programie

MathCad 13. Operacje przedstawiam w przejrzystej formie tabelki:

# Wywołanie Wygląd Komentarz odnośnie wyniku lub działania

|M|

Zwraca wartość wyznacznika macierzy (dla wektora

zwraca normę, wartość bezwzględną dla skalara)

2 ^−1

M^−1

Zwraca macierz będącą odwrotnością M, jeśli macierz

taka nie istnieje wysłany zostaje odpowiedni komunikat o

błędzie

3 [Ctrl 1]

M^T

Zwraca macierz transponowaną do M NxM (zamienia

kolumny z wierszami) o wymiarze MxN

x + y

Wynik jest:

– skalarem – sumą x oraz y, jeśli x i y to skalary

– macierzą – jeśli X to macierz a y – skalar, każdy element

wynikowej macierzy jest sumą y oraz odpowiedniego el.

– macierzą – sumą X oraz Y, jeśli x i y to macierze o tych

samych wymiarach

–

x – y Patrz komentarz wyżej

6 [Ctrl 8]

x × y Wynikiem jest iloczyn wektorowy macierzy X oraz Y

x * y Wynikiem jest iloczyn skalarny macierzy X oraz Y

8 [Ctrl /]

x / y Wynikiem jest iloczyn skalarny macierzy: x * y^-1

y ^ x

Dla macierzy wynik zależy od x:

– x = 0, zwraca macierz jednostkowa o wymiarach takich

samych co Y

– x = –1, zwraca odwrotność macierzy Y

– x>0, wynikiem jest macierz Y pomnożona przez siebie x

razy

– x<0 (bez –1), wynikiem jest odwrotność macierzy Y

pomnożona przez siebie x razy

10 eigenvals eigenvals(M)

Zwraca wektor, którego elementami są posortowane

wartości własne macierzy M

11 eigenvec

eigenvec(M,

Zwraca pojedynczy, znormalizowany wektor, skojarzony z

wartością własną z macierzy M

[

M[m,n

Zwraca element macierzy będący przecięciem m-tego

wiersza oraz n-tej kolumny

Na następnej stronie zamieszczam przykłady operowania na macierzach o

współczynnikach symbolicznych. Dla uproszczenia ilustracji zakładam iż wymiary

macierzy wynoszą 2x2. Operacje nie obsługiwane przez MathCada symbolicznie są

zilustrowane przykładami numerycznymi.

# Wygląd

Przykład operacji:

2 1i

100

16.732 3.589i

0 Założenia:

eigenvals M

( )

8.038

7.458i

3.694

4.869i

|M|

a 1

a 3

a 2

a 4

a 1 a 4

a 2 a 3

a 1

a 3

a 2

a 4

a 3

a 2

M^−1

a 1 a 4

a 2 a 3

a 1

a 3

a 2

a 4

a 1

a 2

a 3

a 4

M^T

a 1

a 3

a 2

a 4

b 1

b 3

b 2

b 4

a 1

b 1

a 2

b 2

x + y

a 3

b 3

a 4

b 4

a 1

a 3

a 2

a 4

b 1

b 3

b 2

b 4

a 1

b 1

a 2

b 2

x – y

a 3

b 3

a 4

b 4

54 100 1i

x × y

584

21 26 1i

a 1

a 3

a 2

a 4

b 1

b 3

b 2

b 4

a 1 b 1

a 2 b 3

a 1 b 2

a 2 b 4

x * y

a 3 b 1

a 4 b 3

a 3 b 2

a 4 b 4

a 1

a 3

a 2

a 4

( )

a 1

b 4

a 2

b 3

a 1

b 2

a 2

b 1

( )

b 1

b 4

b 2 b 3

b 1

b 4

b 2 b 3

b 1

b 4

b 2 b 3

b 1

b 4

b 2 b 3

x / y

b 1

b 3

b 2

b 4

b 3

b 2

b 1

( )

a 3

a 4

a 3

a 4

( )

b 1

b 4

b 2 b 3

b 1

b 4

b 2 b 3

b 1

b 4

b 2 b 3

b 1

b 4

b 2 b 3

y ^ x

2 b 1

2 b 4

( )

b 1

b 3

b 2

b 4

b 1

2 b 1 b 4

b 4

4 b 2 b 3

10 eigenvals(M) eigenvals

2 b 1

2 b 4

( )

b 1

2 b 1 b 4

b 4

4 b 2 b 3

0.044 0.056i

11 eigenvec(M, z)

eigenvec M 3.694

(

4.869i

)

0.771

0.018

4.794i 10

0.632i

M[m,n

M 1 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: