wyklad_2.pdf

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU

2. 

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2.1 Podstawowe definicje

Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

przekroju. Służą one na przykład do wyznaczenia naprężeń w prętach poddanych działaniu siły osiowej,

momentu zginającego, siły poprzecznej oraz momentu skręcającego.

Rysunek 2.1 przedstawia dowolny przekrój pręta wraz ze związanym z nim układem współrzędnych

YZ. Elementarne pole powierzchni dA posiada współrzędne y oraz z.

Rys. 2.1. Przekrój pręta.

Pierwszą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest pole powierzchni . Definicja tej wielkości ma

postać

A = ∫ A dA .

(2.1)

Jednostką pola powierzchni w układzie SI jest m 2 . W budownictwie najczęściej używa się cm 2 . Pole

powierzchni jest zawsze większe od zera.

Drugą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment statyczny . Definicje momentu

statycznego względem osi Y S Y oraz względem osi Z S Z mają postać

S Y = ∫ A z ⋅ dA ,

(2.2)

S Z = ∫ A y ⋅ dA .

(2.3)

Jednostką momentu statycznego jest m 3 . W budownictwie najczęściej używa się cm 3 . Moment statyczny może

przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero.

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki

Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU

Trzecią wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment bezwładności . Definicje momentów

bezwładności względem osi Y I Y oraz względem osi Z I Z (są to tak zwane osiowe momenty bezwładności )

mają postać

I Y = ∫ A z 2 ⋅ dA ,

(2.4)

I Z = ∫ A y 2 ⋅ dA .

(2.5)

Oprócz osiowych momentów bezwładności istnieje jeszcze moment dewiacyjny . Jego definicja ma postać

I YZ = ∫ A y ⋅ z ⋅ dA .

(2.6)

Jednostką momentu bezwładności jest m 4 . W budownictwie najczęściej używa się cm 4 . Osiowe momenty

bezwładności przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny

lub równy zero. Osiowe momenty bezwładności są pewną miarą rozproszenia przekroju względem danej osi.

Im osiowy moment bezwładności jest większy tym rozproszenie przekroju jest większe. Wartość bezwzględna

momentu dewiacyjnego jest miarą asymetrii przekroju względem przyjętego układu współrzędnych. Łatwo

zauważyć, że jeśli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii to moment dewiacyjny względem tego

układu wynosi zero . Przedstawia to rysunek 2.2.

dA dA

y -y

Rys. 2.2. Przekrój pręta z jedną osią symetrii.

Oś środkowa – jest to oś, względem której moment statyczny wynosi zero. Środek ciężkości – jest to

punkt przecięcia dwóch dowolnych osi środkowych.

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki

Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU

Chcąc wyznaczyć współrzędne y C , z C środka ciężkości SC obieramy dowolny układ współrzędnych YZ.

Przedstawia to rysunek 2.3.

Y 0

y 0

Z 0

y C

Rys. 2.3. Wyznaczenie środka ciężkości przekroju.

Współrzędne elementarnego pola powierzchni dA w układzie osi środkowych Y 0 Z 0 wynoszą

y 0 = y − y C

(2.7)

z 0 = z − z C

(2.8)

Momenty statyczne względem osi Y 0 oraz Z 0 wynoszą (y C oraz z C traktujemy jako stałą)

S Y0 = ∫ A z 0 ⋅ dA = ∫ A  z − z c  dA = ∫ A z ⋅ dA − z C ∫ A dA ,

(2.9)

S Z0 = ∫ A y 0 ⋅ dA = ∫ A  y − y c  dA = ∫ A y ⋅ dA − y C ∫ A dA .

(2.10)

Wzory 2.9 i 2.10 po przekształceniu i uwzględnieniu faktu, że moment statyczny względem osi środkowej

wynosi zero będą miały postać

S Y0 = S Y − z C ⋅ A = 0

(2.11)

S Z0 = S Z − y C ⋅ A = 0

(2.12)

Ostatecznie współrzędne środka ciężkości wynoszą

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki

Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU

z C = S Y

(2.13)

y C = S Z

(2.14)

Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni A i oraz współrzędnych środków ciężkości y i

i z i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów

∑ i = 1

z C = S Y

A i ⋅ z i

A =

(2.15)

∑ i = 1

A i

∑ i = 1

y C = S Z

A i ⋅ y i

A =

(2.16)

∑ i = 1

A i

Oczywiście jeżeli przekrój posiada oś symetrii to środek ciężkości musi znajdować się na niej. W

przekroju posiadającym dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.

2.2 Momenty bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych

Załóżmy, że znane są momenty bezwładności w układzie osi środkowych Y 0 Z 0 . Poszukujemy

momentów bezwładności w dowolnym układzie YZ. Współrzędne środka ciężkości przekroju w układzie YZ

wynoszą y P oraz z P . Przedstawia to rysunek 2.4. Moment bezwładności względem osi Y zgodnie z definicją

wyrażoną przez wzór (2.4) wynosi

I Y = ∫ A z 2 ⋅ dA = ∫ A  z 0  z P  2 dA .

(2.17)

Po rozwinięciu wyrażenia w nawiasie wzór 2.17 będzie miał postać

I Y = ∫ A  z 2  2 ⋅ z 0 ⋅ z P  z 2  dA .

(2.18)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki

Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU

Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór 2.18 będzie miał postać (z P jako stałą wyciągamy przed całkę)

I Y = ∫ A z 2 ⋅ dA  2 ⋅ z P ∫ A z 0 ⋅ dA  z 2 ∫ A dA .

(2.19)

Y 0

y 0

Z 0

y P

Rys. 2.4. Wyznaczenie momentów bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych..

Interpretując poszczególne całki otrzymano

I Y = I Y0  2 ⋅ z P ⋅ S Y0  z 2 ⋅ A

(2.20)

Ponieważ oś Y 0 jest osią środkową więc moment statyczny względem tej osi S Y0 wynosi zero. Ostatecznie

wzór na obliczenie momentu bezwładności I Y będzie miał postać

I Y = I Y0  z 2 ⋅ A

(2.21)

Analogicznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Z będzie miał postać

I Z = I Z0  y 2 ⋅ A

(2.22)

W celu wyznaczenia momentu dewiacyjnego wykorzystano definicję według wzoru (2.6).

I YZ = ∫ A y ⋅ z ⋅ dA = ∫ A  y 0  y P  ⋅  z 0  z P  dA .

(2.23)

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki

Dr inż. Janusz Dębiński

AlmaMater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: