Kartografia matematyczna. Odwzorowanie Gaussa-Krügera
(opracowane przez Gaussa w 1825 r., opublikowane przez Schreibera w 1866 r., rozwinięte i zmodyfikowane przez Krügera w 1912 r.)
Definicja:
Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest to wiernokątne, poprzeczne, walcowe odwzorowanie elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, realizowane w wąskich pasach południkowych.
Spełnia następujące warunki:
§ południk środkowy (osiowy) pasa odwzorowuje się na odcinek linii prostej,
§ skala długości na południku środkowym jest równa jedności: m0=1, a0=b0=1
Kształt siatki kartograficznej:
§ południk środkowy odwzorowuje się wiernie na odcinek linii prostej, pozostałe południki na krzywe symetryczne względem południka środkowego (wklęsłością do obrazu południka środkowego)
§ równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej, prostopadłej do południka środkowego, równoleżniki – na linie krzywe symetryczne względem obrazu równika (wypukłością do obrazu równika)
Obraz całej elipsoidy ma postać porozcinanych pasów południkowych. Ograniczenie obszaru
do wąskich pasów południkowych ma na celu minimalizację zniekształceń odwzorowawczych.
UTM – (Uniwersal Transverse Mercator, nazwę przyjęto na cześć twórcy odwzorowań równokątnych Mercatora; różni się od odwzorowania G-K jedynie skalą na południku środkowym m0 = 0.9996; realizowane w pasach 6-cio stopniowych)
Element łuku: - na elipsoidzie,
- na płaszczyźnie
Uwaga: łuki odpowiadające równym przyrostom argumentów B i L nie są sobie równe.
Wprowadzimy szerokość izometryczną q:
,
ażeby:
Szerokość izometryczna sprawia, że otrzymujemy równe wartości łuków południka i równoleżnika dla równych przyrostów dq i dL.
Skala odwzorowania:
Wykorzystując fakt, że dq i dL są różniczkami niezależnych zmiennych B i L można zapisać skalę jako funkcję zmiennych zespolonych:
Warunek równokątności odwzorowania oznacza, że skale są niezależna od azymutu elementów liniowych dS i ds (równe w każdym punkcie)
Wyrażenie opisujące skalę można zapisać:
oraz
gdzie f – funkcja analityczna
Zakładając, że
warunkiem odwzorowania jest x=S – długość łuku południka osiowego tzn. odcięte muszą być równe długości łuku południka.
Po rozwinięciu w szereg Taylora funkcji f(q+il) względem il otrzymamy:
- długość łuku połud. osiowego do szerokości B.
Po oddzieleniu części rzeczywistej od urojonej i wprowadzeniu:
, ,
otrzymamy:
gdzie:
Dla przejścia ze współrzędnych x,y na współrzędne B,L stosuje się następujące wzory:
gdzie: B1 jest szerokością geodezyjną odpowiadającą współrzędnej x, którą oblicza się iteracyjnie po odwróceniu wzoru na długość łuku południka elipsoidy.
Zbieżnością południków w odwzorowaniu nazywamy kąt zawarty między styczną do obrazu południka w danym punkcie a linią prostą przechodzącą przez ten punkt równolegle do osi x.
Zbieżność południków g mierzona jest od stycznej do obrazu południka.
We wszystkich punktach odwzorowania Gaussa - Krügera, leżących na północ od obrazu równika i na wschód od obrazu południka środkowego danego pasa, zbieżność południków jest, dodatnia.
Obierzmy na obrazie punkt P' o współrzędnych B, L oraz punkt P, o współrzędnych B, L + dl, przy założeniu, że dl jest wielkością nieskończenie małą. Punkty P' i P. leża zatem na obrazie równoleżnika o szerokości elipsoidalnej B.
Przyrosty współrzędnych prostokątnych dx, dy, będące wynikiem przejścia z punktu P' do P¢1 wyrażają następujące wzory:
i
Różniczki te wykorzystujemy do obliczania zbieżności południków, gdyż po podzieleniu licznika i mianownika przez dl otrzymamy prosty wzór:
Kąt zbieżności południków wyrażony w funkcji odległości od południka środkowego (z dokładnością 0.001² dla l = ±3.5°) wynosi:
Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej można ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego:
Jeden z elementów tego wzoru można przedstawić w postaci:
gdzie R jest średnim promieniem krzywizny w danym punkcie powierzchni elipsoidy obrotowej.
Gdy N4 zastąpimy R4, (co nie obniży dokładności obliczeń w wąskich pasach południkowych), otrzymamy praktyczny wzór do obliczenia elementarnej skali długości:
Elementarną skalę pól obliczymy jako kwadrat skali m:
Na skraju 6° pasa dla B=52° (czyli y=206 km) wystapią zniekształcenia (powiększenia) wynoszące:
§ w długości: 0.52m/km,
§ w polu powierzchni 1041m2/km2.
W rozważaniach praktycznych dotyczących obszaru Polski można przyjąć, że linie równych skal długości (jednakowych zniekształceń) są równoległe do obrazu południka środkowego danego pasa. Dla obszarów rozciągniętych południkowo należy dodatkowo uwzględnić zmienność promienia R w zależności od szerokości elipsoidalnej B.
Odwzorowanie Gaussa-Krügera często realizowane jest w położeniu siecznym, co oznacza, że powierzchnia walca przecina powierzchnię elipsoidy wzdłuż linii przebiegających w przybliżeniu południkowo. Celem takiego postępowania jest zminimalizowanie zniekształceń:
§ wzdłuż linii przecięcia obu powierzchni zniekształcenia będą zerowe,
§ na obszarze między liniami przecięcia zniekształcenia będą mniejsze lecz ujemne (skurczenie) o maksymalnej wartości bezwzględnej na południku środkowym,
§ na pozostałym obszarze zniekształcenia będą mniejsze ale dodatnie, tym większe im większa będzie odległość od linii przecięcia.
Odwzorowanie sieczne charakteryzuje skala długości m0 na południku środkowym. Współrzędne w odwzorowaniu siecznym oblicza się z wzoru:
zaś elementarna skala długości w dowolnym punkcie będzie równa:
Odpowiedni dobór skali na południku środkowym może spowodować, że maksymalne zniekształcenia (tj. identyczne co do wartości bezwzględnej lecz różne co do znaków) będą występowały na południku środkowym i na skraju pasa odwzorowawczego.
Współrzędne cechowane
Z wzorów na współrzędne x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w punkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak, aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spełniają współrzędne cechowane. Między współrzędnymi cechowanymi X,Y a współrzędnymi x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera (dla 3- i 6-stopniowych pasów) zachodzą następujące związki:
gdzie: c0 = 500 000 m,
L0 = długość geodezyjna południka środkowego w [°],
l – szerokość pasa odwzorowawczego w [°] (najczęściej 3° lub 6°),
dl =3° dla pasa 6-stopniowego i dl =0° dla pasa trzy-stopniowego
Zastosowanie odwzorowania Gaussa-Krügera w Polsce
1. W 1920 r. wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krugera do obliczeń wyników triangulacji państwowej (układ współrzędnych „Borowa Góra”):
§ elipsoida Bessela,
§ pięć 2-stopniowych pasów odwzorowawczych dla południków środkowych: 17°, 19°, 21°, 23°, 25°,
§ skala m0 = 1, X = x - 5 280 000 m, Y = y + 90 000 m
2. W 1947 r. wprowadzono skurczone odwzorowanie G-K dla map 1:10000 i większych:
§ cztery 3-stopniowe pasy odwzorowawcze dla południków środkowych: 15°, 18°, 21°, 24°,
§ skala m0 = 0.999935, X = x...
aneciakurczaczek