4. ODWZOROWANIA STOŻKOWE
Odwzorowania stożkowe powstają w wyniku przeniesienia obrazu siatki geograficznej z kuli (elipsoidy) na pobocznicę stożka, z zachowaniem określonych warunków odwzorowawczych. Po przeniesieniu punktów węzłowych siatki na pobocznicę stożek jest „rozcinany" wzdłuż tworzącej i rozwijany na płaszczyźnie. W zależności od położenia osi stożka względem osi kuli ziemskiej wyróżniamy siatki stożkowe w położeniu normalnym (biegunowym), poprzecznym i ukośnym (tabela 4.1). Pobocznica stożka może być styczna z kulą wzdłuż koła małego (almukantaratu), którym w położeniu biegunowym jest równoleżnik, lub sieczna wzdłuż odpowiednio dobranych almukantaratów (w położeniu biegunowym są nimi równoleżniki). O sposobie umieszczenia stożka względem kuli ziemskiej decyduje położenie i kształt obszaru, który chcemy pokazać na mapie. Do prezentacji obszarów o dużej rozciągłości równoleżnikowej, zwłaszcza dla średnich szerokości geograficznych, najlepiej nadaje się stożek w położeniu normalnym. Położenie stożka jest jednoznacznie określone, gdy znane są współrzędne geograficzne punktu przebicia osią stożka powierzchni kuli ziemskiej. Punkt ten w układzie współrzędnych azymutalnych na kuli stanowi punkt zenitalny, czyli punkt początkowy układu tych współrzędnych.
W praktyce kartograficznej stosowane są przede wszystkim odwzorowania stożkowe w położeniu normalnym. Podobnie jak w przypadku siatek płaszczyznowych i walcowych, ogólna charakterystyka odwzorowań stożkowych najprostsza jest właśnie w tym położeniu.
W siatkach normalnych stożek jest nałożony na kulę ziemską w taki sposób, że jego oś pokrywa się z osią biegunową Ziemi. W położeniu tym siatka geograficzna tworzy kierunki główne odwzorowania. Płaszczyzny południków, przechodzące przez oś ziemską, przecinają jednocześnie oś stożka i odwzorowują się na pobocznicy stożka jako pęk półprostych wychodzących z jego wierzchołka W. Na stożku równoleżniki są okręgami kół równoległych do płaszczyzny równika (ryć. 4.34A), spełniają więc warunek siatki ortogonalnej, tzn. zachowują prostopadłość przecięć z obrazami południków. Odstępy między liniami przedstawiającymi równoleżniki na pobocznicy mogą być różne; zależą od właściwości poszczególnych odwzorowań stożkowych.
Po przecięciu pobocznicy stożka wzdłuż dowolnej tworzącej stożka i rozwinięciu jej
na płaszczyźnie powstaje obraz siatki południków w postaci pęku prostych przecinających się w punkcie W, stanowiącym obraz wierzchołka stożka W. Okręgi kół obrazujących na stożku równoleżniki ziemskie rozwijają się na płaszczyźnie w postaci łuków kół koncentrycznych względem W. Wierzchołek stożka nie pokrywa się z biegunem, lecz znajduje się w pewnej od niego odległości, zależnej od szerokości geograficznej równoleżnika stycznego i sposobu wyznaczenia odległości między równoleżnikami. Obrazami biegunów są łuki kół (wyjątkiem jest stożkowe odwzorowanie równokątne Lamberta). Równoleżnik styczny (w przypadku stożka stycznego) albo równoleżniki sieczne (w położeniu siecznym) odwzorowują się, zachowując długości zgodne z oryginałem. Ostatecznie po „rozpłaszczeniu" pobocznica stożka utworzy wycinek koła, a nie koło pełne (ryć. 4.34A). Wynika z tego, że odległości kątowe między południkami ulegają zmniejszeniu i przybierają na płaszczyźnie wartość . Te kąty zmieniły wartość, nie może być
Ryć. 4.34. Odwzorowania stożkowe w różnych położeniach - zasady konstrukcji
1
zgodności azymutów, co było cechą charakterystyczną siatek płaszczyznowych. Stopień ;go zmniejszenia (tzw. zbieżność południków) zależy od szerokości geograficznej równoleżnika stycznego; wyrażany jest w postaci stałej wartości, oznaczonej jako n. Wiedząc, że długości równoleżnika stycznego na kuli oraz jego obrazu w siatce są sobie równe, porównując te dwa elementy można wyznaczyć wartość stałej n, określającą stopień „ściśnięcia" południków:
(4.67)
Symbolem oznaczono szerokość geograficzną równoleżnika styczności, a jest promieniem luku obrazującego ten równoleżnik na płaszczyźnie (ryć. 4.34A). Okazuje się, że wartość n jest tożsama z używaną w geometrii stałą stożkową, ułatwiającą zapisywanie kształtu stożka. Stała stożkowa to stosunek promienia podstawy stożka do jego tworzącej, wyrażony funkcją sinus połowy kąta rozwartości stożka. Chcąc obliczyć różnicę długości geograficznej między obrazami dwóch południków w siatce stożkowej , należy pomnożyć tę różnicę przez stałą stożkową: n = sin czyli:
(4.68)
Od wielkości stałej stożkowej n zależy kształt siatki dla całej kuli. Jeśli styczny jest równoleżnik = 30°, to siatka dla całej kuli ma kształt półkola (sin30° = 0,5). Dla wartości 0°< <30°, a co za tym idzie dla 0<n<0,5, siatka jest mniejsza od połowy koła, a dla 30°<<90° - większa od połowy koła. W skrajnych przypadkach, gdy stała n = l (=90°), następuje rozwinięcie stożka w płaszczyznę. Powstaje wówczas siatka płaszczyznowa (azymutalna) w położeniu biegunowym, w której . Jeśli n=0 dla kąta = 0°, to stożek przekształci się w walec (). Wszystkie siatki zatem to siatki stożkowe, a siatki płaszczyznowe i walcowe są jedynie ich skrajnymi przypadkami.
Odwzorowania stożkowe w położeniu biegunowym przypominają siatki azymutalne, ale ze względu na odwzorowany bez zniekształceń równoleżnik styczny albo dwa równoleżniki sieczne można w nich otrzymać lepszy rozkład zniekształceń w średnich szerokościach geograficznych. Nadają się więc do prezentacji obszarów o znacznej rozciągłości równoleżnikowej, położonych w strefie umiarkowanej. Równoleżnik styczny zawsze dobierany jest tak, aby znajdował się w środku przedstawianego obszaru.
Wyznaczenie położenia obrazu dowolnego punktu w układzie współrzędnych prostokątnych P' (x, y) najłatwiej powiązać z lokalizacją tego punktu w układzie współrzędnych biegunowych P', co przedstawia rycina 4.34A. Układ współrzędnych prostokątnych tworzy oś X w postaci południka głównego (jest to jednocześnie oś układu współrzędnych biegunowych, od której odkładamy kąty ), oraz oś Y, czyli prosta styczna do równoleżnika w punkcie przecięcia tego równoleżnika z południkiem głównym . Punkt ten jest początkiem przyjętego układu współrzędnych prostokątnych; jest on przesunięty względem obrazu wierzchołka stożka W’, który stanowi początek układu współrzędnych biegunowych. Dlatego nie możemy skorzystać bezpośrednio ze wzorów przejścia z jednego układu na drugi, zgodnie z równaniem (4.17). Układ równań x, y ma następującą postać:
(4.69)
Ponieważ kąt , opisanie praw odwzorowawczych polega na określeniu funkcji i wyznaczeniu stałej stożkowej n. Sformułowanie funkcji szerokości geograficznej umożliwia nadawanie różnych długości promieniom g odwzorowującym punkt na płaszczyźnie P P', pozwala więc na realizację wcześniej przyjętych warunków odwzorowawczych.
W odwzorowaniach stożkowych w położeniu ukośnym i poprzecznym tylko siatka wertykałów i almukantaratów pokrywa się z siatką kierunków głównych. Dlatego to właśnie siatka linii układu współrzędnych azymutalnych odwzoruje się tak jak siatka geograficzna w odwzorowaniach stożkowych biegunowych. Obrazami południków i równoleżników są tym razem linie krzywe, często łamane, których kształt zależy od położenia osi stożka względem osi kuli ziemskiej i od właściwości danego odwzorowania (ryć. 4.34B). Jedynie obraz południka punktu zenitalnego Z, w którym oś stożka przebija kulę, zawsze jest nią prostą. Dlatego zamiast układem współrzędnych geograficznych wygodniej jest posługiwać się układem współrzędnych azymutalnych - odległością zenitalną z, wysokością h i azymutem . Dzięki nim określa się położenie punktu P na kuli względem punktu zenitalnego Z, który jest punktem początkowym układu współrzędnych azymutalnych a kuli i pełni taką samą rolę jak biegun w położeniu normalnym. Azymuty mierzone są od wertykału początkowego, którym jest koło wielkie łączące punkt Z z biegunami N i S, a więc zawierające południk punktu Z. Jego obrazem na płaszczyźnie jest prosta. W układzie współrzędnych prostokątnych odnajdziemy punkt P' (x, y), który jest obrazem punktu P, dzięki równaniom:
(4.70).
W omawianym układzie współrzędnych prostokątnych początkiem jest punkt O' (x=0,y=0) leżący na południku punktu Z i na almukantaracie, wzdłuż którego stożek jest styczny z kulą. Punkt O' jest oddalony od wierzchołka stożka o promień , którym został zakreślony obraz almukantaratu stycznego. Oś X stanowi prosty obraz południka punktu Z, a osią Y jest prosta prostopadła do tego południka w punkcie początkowym układu (ryć. 4.34B). Występujący w równaniach (4.70) promień obrazu almukantaratu punktu P jest funkcją wysokości tego punktu nad płaszczyzną horyzontu na kuli =f(h). Kąt to kąt zawarty między obrazem południka głównego a obrazem wertykału punktu P. Można go obliczyć, przystając ze stałej stożkowej, zgodnie z regułą (4.67). Równanie ma postać:
(4.71)
W tym równaniu to kąt wysokości stycznego almukantaratu nad płaszczyzną horyzontu. Znając parametry konkretnego odwzorowania, można punkty węzłowe siatki geograficznej (przeliczając je na współrzędne azymutalne) przenieść na płaszczyznę i narysować obrazy południków i równoleżników, czyli siatkę kartograficzną. W praktyce kartograficznej odwzorowania stożkowe w położeniach innych niż biegunowe stosowane są bardzo rzadko.
Odwzorowanie stożkowe proste Ptolemeusza
Jedną z najpopularniejszych siatek stożkowych jest siatka stożkowa prosta Ptolemeusza. Klaudiusz Ptolemeusz (około 100-168) był greckim astronomem, matematykiem, geografem i teoretykiem muzyki. Jego wiekopomnym dziełem, powszechnie znanym jako Geeografia, ilustrowanym 27 mapami, zainteresowano się w Europie dopiero w XV w.
Przyczyniło się ono do odrodzenia europejskiej geografii i kartografii w XV i XVI w. Zastosowaną w swoich pracach kartograficznych siatkę, nazwaną później jego imieniem, opisał około 150 r. Siatka, znana tylko w położeniu biegunowym, powstaje w wyniku odwzorowania siatki geograficznej na pobocznicę stożka stycznego z kulą ziemską na wybranym równoleżniku o szerokości geograficznej (najczęściej środkowym równoleżniku przedstawianego obszaru). Jest to odwzorowanie równodługościowe w kierunku południków, których obrazami są odcinki linii prostych przecinających się w obrazie wierzchołka stożka W’. Kąty zawarte między poszczególnymi południkami są zmniejszone w stosunku do oryginału ), zgodnie ze stałą stożkową n = sin (ryć. 4.35).
Obrazami równoleżników w tej siatce są łuki kół współśrodkowych względem punktu W’. Równoleżnik styczny o szerokości geograficznej ma wymiar rzeczywisty. Pozostałe równoleżniki są dłuższe, ale odległości między nimi pozostają takie same jak na kuli. Bieguny odwzorowują się także w postaci łuków kół i nie pokrywają się z wierzchołkiem W’. To odwzorowanie pozwala na przedstawienie całej kuli w wycinku koła, którego wielkość i kształt zależą od doboru równoleżnika stycznego .
Ryć. 4.35. Siatka kartograficzna w odwzorowaniu stożkowym prostym Ptolemeusza w położeniu normalnym
Siatkę Ptolemeusza można narysować, wykorzystując układ współrzędnych biegunowych (cyrklem i kątomierzem) lub licząc współrzędne prostokątne punktu P'(x,y) na podstawie współrzędnych biegunowych P' (). Układ współrzędnych biegunowych i prostokątnych nakłada się na siebie osiami X (obraz południka głównego ).. Jednocześnie przesuwa się z wierzchołka stożka W’ punkt stanowiący początek układu współrzędnych prostokątnych O' (x=0, y = 0) o długość promienia równoleżnika stycznego (W’ jest początkiem układu współrzędnych biegunowych). Osią Y jest prosta prostopadła do południka w punkcie O'. Obrazem dowolnego równoleżnika jest łuk koła o promieniu oznaczonym jako (ryć. 4.35). Długość tego promienia zależy od odległości danego równoleżnika od równoleżnika stycznego . Ponieważ odstępy między równoleżnikami mają być zachowane zgodnie z rzeczywistością, można zapisać:
(4.72)
Uwaga! Jeśli zachowamy właściwe znaki wartości szerokości geograficznej, to będzie miała wartość dodatnią, co oznacza wydłużenie szukanego promienia, lub ujemną, co oznacza jego skrócenie w stosunku do promienia
Z ryciny 4.35 wynika, że można obliczyć ze wzoru:
(4.73)
Jeśli do wzoru (4.72) za podstawimy równanie (4.73), otrzymamy:
(4.74)
Znając współrzędne geograficzne punktu głównego O i dowolnego punktu można obliczyć promień wodzący punktu P' (obrazu punktu P) w układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie. Pozostaje obliczenie kąta biegunowego , który jest obrazem kąta na kuli, czyli różnicy długości geograficznej między południkiem punktu P a południkiem głównym . Zgodnie z ogólną zasadą odwzorowania stożkowego v położeniu normalnym, zmniejszenie odległości kątowych między południkami w wyniku .”rozpłaszczenia" stożka kształtuje się według wartości stałej stożkowej (4.68). Zasada ta obowiązuje również w siatce stożkowej prostej Ptolemeusza. W ten sposób w omawianej siatce można wyznaczyć położenie obrazu dowolnego punktu na płaszczyźnie w układzie współrzędnych biegunowych P' ().
Bardziej uniwersalny jest układ współrzędnych prostokątnych. Korzystając ze wzorów przejścia z jednego układu na drugi w siatkach stożkowych, można powtórzyć:
Wartości oblicza się na podstawie wzorów (4.74) i (4.68), co oznacza możliwość wskazania położenia dowolnego punktu na płaszczyźnie po jego odwzorowaniu. Siatkę stożkowa prosta Ptolemeusza jest symetryczna wzdłuż południka głównego , wystarczy więc obliczyć punkty węzłowe dla połowy siatki. Kierunkami głównymi są, podobnie jak w innych siatkach biegunowych, obrazy południków i równoleżników, dlatego właśnie wzdłuż nich rozkładają się ekwideformaty Zniekształcenie w kierunku południkowym wynosi oczywiście l, jako że długości południków są zgodne z oryginałem b = l. Wskaźnik zniekształcenia w kierunku równoleżnikowym zmienia się od l dla równoleżnika stycznego (a=l), przez wartości większe od l dla pozostałych równoleżników (a>l), do nieskończoności dla biegunów, których obrazy nie są punktami, lecz łukami kół. Stopień tego zniekształcenia można obliczyć, porównując długości dowolnego równoleżnika w siatce i na kuli:
(4.75)
W siatce stożkowej prostej Ptolemeusza zniekształcenia długości w kierunku równoleżnikowym rosną wraz z odległością od równoleżnika stycznego. Sprzyja to zastosowaniom siatki do prezentacji obszarów leżących w średnich szerokościach geograficznych, zwłaszcza w przypadkach znacznej rozciągłości równoleżnikowej. W siatkach azymutalnych i walcowych strefa umiarkowana ulega znacznie silniejszym deformacjom (z wyjątkiem siatek azymutalnych ukośnych). Połączenie stosunkowo niedużych zniekształceń w pobliżu równoleżnika stycznego z dużą prostotą wykonania sprawia, że tę siatkę często stosuje się w kartografii szkolnej do prezentacji krajów europejskich, m.in. Polski.
Inne odwzorowania stożkowe
Oprócz siatki stożkowej prostej Ptolemeusza zastosowanie w kartografii znalazło tylko kilka odwzorowań stożkowch: Delisle'a (de 1'Isle'a). równopolowe Albersa oraz ...
aneciakurczaczek