Kartografia matematyczna. Odwzorowania azymutalne kuli.

Odwzorowania azymutalne

Definicja

Odwzorowaniem azymutalnym normalnym nazywamy odwzorowanie powierzchni kuli na płaszczyznę, w którym spełnione są dwa następujące warunki:

·      obrazy południków tworzą pęk prostych przecinających się pod takimi samymi kątami jak południki na kuli,

·     

·      obrazy wszystkich równoleżników są kołami współśrodkowymi, których środek leży w wierzchołku powyższego pęku

gdzie               - funkcja kąta zB,

W płaszczyźnie stycznej przyjmujemy układ współrzędnych o środku w biegunie i o osi X stycznej do południka zerowego. Kat g jest równy długości l.

Dla tak przyjętych układów równania obu powierzchni będą miały postać:

                                                        (4.2.1)

Znajdujemy następnie skalę odwzorowania:

                                          (4.2.2)

oraz współczynniki I formy kwadratowej dla kuli (S1) oraz dla płaszczyzny (S2):

,                                         

- I forma kwadratowa dla kuli

W dalszej kolejności wyznaczymy dla płaszczyzny:

czyli

Zatem wzór ogólny na skalę w odwzorowaniu azymutalnym będzie miał postać:

Następnie wyznaczymy skale główne odwzorowania. Kierunki główne pokrywają się tu z kierunkami południków i równoleżników (linii parametrycznych)

Skala w kierunku południków:

,             

                            ®             

Skala w kierunku równoleżników:              ,             

              ®             

Mając wzory na skale w kierunkach głównych możemy poszukiwać odwzorowań o z góry zadanych właściwościach.

1 Odwzorowania azymutalne

Rzut ortograficzny   (Apoloniusz z Pergii 250-190 r. p.n.e. lub Hipparch ok. 130 r. p.n.e.)

Jeśli rzutowanie powierzchni kuli na płaszczyznę zrealizujemy wzdłuż prostych prostopadłych do płaszczyzny rzutów, to otrzymamy rzut ortograficzny.

Zgodnie z rysunkiem funkcja r(zB) będzie równa:

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

Skale w kierunkach głównych oraz zniekształcenia w tym odwzorowaniu wyniosą:

- skrócenie w kierunku południków,

- zachowanie długości w kierunku równoleżników

Zniekształcenie kąta będzie równe:

  czyli   - kąty ulegają powiększeniu.

Skala pola będzie równa:

- pola powierzchni zmniejszeniu

Obraz półkuli mieści się w kole o promieniu R, wszystkie równoleżniki zachowują swoją długość.

Rzut środkowy (gnomiczny, centralny)   (Tales z Miletu 639-548 r. p.n.e.)

W tym odwzorowaniu nie zakładamy z góry warunku na zniekształcenia. Obraz powierzchni kuli otrzymujemy jako rzut, którego środek jest w środku kuli.

Korzystając z rysunku wyznaczymy funkcję r(p). Będzie ona równa:

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

W takim przypadku będzie możliwe odwzorowanie jedynie dla punktów, których

Skale w kierunkach głównych oraz zniekształcenia w tym odwzorowaniu wyniosą:

- wydłużenie w kierunku południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników.

Zniekształcenie kąta będzie równe:

  czyli   - kąty ulegają zmniejszeniu.

Skala pola będzie równa:              - powiększenie pola powierzchni.

W rzycie środkowym koła wielkie (ortodromy) odwzorowują się jako linie proste.

Rzut stereograficzny (wiernokątny)   (Hipparch ok. 130 r. p.n.e.)

Warunkiem wiernokątności odwzorowania jest równość skal w kierunkach głównych:

czyli

- jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych

Stałą C wyznaczymy z warunku by równik odwzorował się jako koło o promieniu 2R

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

Obraz punktu w rzucie stereograficznym można uzyskać również geometrycznie

Cechą charakterystyczną rzutu stereograficznego jest to, że wszystkie koła odwzorowują się również jako koła.

Skale w kierunkach głównych wyniosą:

- wydłużenie w kierunku południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników,

Jak widać skale te są sobie równe.

Skala pola będzie równa:

- powiększenie pola powierzchni.

Możemy powiedzieć, że w odwzorowaniu stereograficznym kąty są bez zniekształceń natomiast długości ulegają powiększeniu podobnie jak pola powierzchni.

Obraz półkuli mieści się w kole o promieniu 2R.

2 Odwzorowania azymutalne nieperspektywiczne

Odwzorowanie równoodległościowe Postela (Postel 1510-1581, Vespucci 1524, Mercator 1569)

W tym przypadku założymy, że długości w kierunku południków nie ulegają zniekształceniu:

założenie to prowadzi do równania:

Dla punktu p=0  stała C wyniesie C=0, stąd:

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

Geometryczna interpretację tego wzoru przedstawia rys. 5

:

Skale w kierunkach głównych oraz zniekształcenia kątów, długości i pola powierzchni wynoszą:

- zachowanie długości w kierunku  południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników,

Zniekształcenie kąta wyniesie:

  czyli   - kąty ulegają powiększeniu.

Skala pola będzie równa:                            - powiększenie pola powierzchni.

W tym odwzorowaniu można przedstawić całą kulę ziemską, obraz półkuli mieści się w kole o promieniu .

Odwzorowanie równopolowe Lamberta  (Lambert w 1772 r.)

Zakładamy w tym przypadku, że skala pola jest równa jedności stąd:

Wstawiając wyrażenia na a i b otrzymujemy:

Jest to równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Przez rozdzielenie zmiennych otrzymujemy:

Stałą C wyznaczymy z warunku, że r=0 dla zB=0

i dalej przekształcając otrzymujemy

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

Wyznaczymy następnie skale w kierunkach głównych

- skrócenie w kierunku południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników,

Zniekształcenie kąta wyniesie:

- co oznacza, że czyli   - kąty powiększają się.

Skala pola będzie równa:

- czyli pola powierzchni nie ulegną zniekształceniu.

W tym odwzorowaniu można przedstawić całą kulę ziemską, obraz półkuli mieści się w kole o promieniu .

3 Odwzorowania azymutalne ukośne i poprzeczne

              Omawiane wyżej odwzorowania normalne są szczególnym przypadkiem odwzorowania ukośnego. Punkt główny (G) w odwzorowaniu ukośnym nie pokrywa się z biegunem (B) lecz znajduje się w dowolnym punkcie na powierzchni kuli. Wyp...