KOSMOLOG.DOC

KOSMOLOGICZNE ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ EINSTEINA.

W rozdziale podstawy OTW stwierdzono, że einsteinowskie równania pola to w ogólnosci dość skomplikowany układ 10 równań różniczkowych, w których niewiadomymi są składowe gij tensora metrycznego. Układ ten udało się analitycznie rozwiązać dla kilku prostych sytuacji, w tym dla przypadku przestrzeni jednorodnie wypełnionej materią o stałej gęstości r . Przypadek ten odpowiada właśnie kosmologii czyli opisowi własności i ewolucji Wszechświata jako całości.

    Prawa strona równań Einsteina opisująca rozkład masy (energii) w przestrzeni - tzw. tensor energii-pędu Tij - brana jest z mechaniki ośrodków ciągłych i ma w tym przypadku następującą postać:

                                                                   (1)

gdzie r to średnia gęstość materii we Wszechświecie zaś p to jej ciśnienie (obecnie praktycznie zaniedbywalne).

    Dla określenia lewej strony równań Einsteina startuje się z interwału czasoprzestrzennego w postaci:

                (2) 

(patrz uzasadnienie w rozdziale o interwałach w przestrzeni o różnej krzywiźnie).

Przypominamy, że R to tzw. czynnik skalujący odległości przestrzenne zaś k charakteryzuje typ krzywizny przestrzeni: k = 0 odpowiada przestrzeni euklidesowej, k = +1 przestrzeni o geometrii typu sferycznego zaś k = -1 geometrii typu hiperbolicznego.

Z formuły (2) mamy więc składowe gij w postaci:  g00 = 1,  ,

g22 = - R2r2,  g33 = -R2r2sin2q. Podstawową naszą niewiadomą jest jawna postać zależności R(t). Lewa strona równań Einsteina to dość skomplikowane funkcje  pochodnych  tensora gij. Wstawiając tam zapisane powyżej wielkości na goo, g11, g22 , g33 otrzyma się po dość długich przekształceniach układ dwóch równań w postaci: 

                             (3)

                                           (4)

(w dalszym ciągu będziemy używali przyjętego powszechnie skrótowego oznaczenia .  

Równanie (4) można łatwo przekształcić do postaci:

                                                         (4a) 

Ponieważ jednak  4pR3/3 =V to wielkość o wymiarze objętości zaś rV = M ma wymiar masy więc (4a) można (po wymnożeniu stronami przez dowolną jednostkową masę m=1) zapisać:

                                      (4b) 

Równanie to przypomina formalnie znany z mechaniki klasycznej bilans energii kinetycznej i potencjalnej cząstki m w polu grawitacyjnym masy M, gdyż pierwszy z lewej wyraz  w (4b) to jakby energia kinetyczna zaś drugi to energia potencjalna.

Skorzystamy też z prawa zachowania masy w ekspandującym obszarze o promieniu  R,  (warunek ciągłości):

    rV = M = const    lub   rR3 = const   lub:

                                                                    (5)

gdzie indeks “0” odnosi się do dowolnej (np. obecnej) chwili to .

Rozpatrzmy teraz poszczególne przypadki rozwiązania równania (4a).

I.    k = 0.   (przestrzeń globalnie euklidesowa).

   Tutaj prawa strona  w (4a) równa się zero, po lewe zaś stronie wielkość r zastępujemy zależnością (5). Otrzymujemy proste równanie różniczkowe:

                                                                                        (6)

gdzie    zawiera wszystkie wielkości stałe. Rozwiązanie równania (5) ma postać

                                       (7)  

Zależność tempa ekspansji od czasu wyrazi się:

                                                          (8)

i zmierza do zera gdy . Natomiast tzw. parametr Hubble’a:

                                                                                 (9) 

też zmierza z czasem do zera. Korzystając z otrzymanych powyżej rezultatów można też wyrazić zależność od czasu średniej gęstości materii :

                                                            (10) 

Jest to tzw. “gęstość krytyczna” charakterystyczna właśnie dla wszechświata o geometrii euklidesowej. Dla gęstości r>rc mamy bowiem przestrzeń o geometrii typu sferycznego z  k = +1 zaś dla r<rc przestrzeń  ma geometrię hiperboliczną

z   k = -1.

II.   k = +1. (geometria typu sferycznego).

   W tym przypadku równanie (4a) po podstawieniu (5) jest w postaci:

                                                                (11)

W postaci całkowej wygląda to następująco:

                                                               (12)

gdzie, jak poprzednio podstawiono .

Dla rozwiązania (12) dokonuje się podstawienia:

                                                                              (13)

gdzie h to bezwymiarowy parametr pomocniczy.

Wówczas zależność R(t) otrzymujemy w postaci parametrycznej:

                                                     (14)

W chwili początkowej, dla h=0 i t=0 mamy  R(0) = 0. (początkowa osobliwość).

Wartości h = p odpowiada maksymalna wartość czynnika R = Rmax:

                                                        (15)

Odpowiada to czasowi t: 

                                                                    (16)

Następnie, dla 2p>h>p  wielkość R(t) maleje (Wszechświat kurczy się) i osiąga znów osobliwość R = 0  dla  h = 2p. (ilustruje to rysunek na końcu tego rozdziału).

III.  k = -1.  (geometria hiperboliczna).

    W tym przypadku równanie (4) jest podobne do (11) z drobną (lecz istotną) zmianą znaku po prawej stronie: 

                                                         (17) 

zaś równanie (12) też jest podobne z drobną różnicą znaku pod pierwiastkiem:

                                                            (18)

Tu także dokonuje się podstawienia (lecz z sinusem hiperbolicznym):

                                                                             (19) 

i otrzymuje się rozwiązania w postaci:

                                                            (20)  

Tu także w chwili początkowej h = 0 (oraz t = 0 ) mamy osobliwość w postaci R = 0. Natomiast już dalsza ekspansja R(t) jest nieodwracalna (narastająca).

Graficznie zależność R(t)  dla wszystkich trzech omówionych przypadków ilustruje poniższy rysunek.

Jak widać, wszystkie trzy rozwiązania zbiegają się w początkowej osobliwości R(t=0) = 0. W jej pobliżu nie można już zaniedbywać ciśnienia ośrodka, który przy tych gęstościach i temperaturach jest już ultra relatywistycznym gazem. Prześledzimy więc zachowanie się rozwiązań w tych warunkach.

Wychodzimy ze znanej postaci I-szej zasady termodynamiki (dla ekspansji adiabatycznej):

                            dE +p dV = 0                                                        (21) 

gdzie energia ośrodka  E = e V = r c2R3  (zaś e = r c2 to gęstość energii). Równanie stanu gazu dla relatywistycznego przypadku ma postać

                                                                                             (22) 

Wstawiając powyższe podstawienia do (21), różniczkując i porządkując otrzymamy:

                                                                                      (23)

czyli    e R4 = const. Zamiast równania (5) mamy więc teraz:

                                                                                         (24)

Taką właśnie postać na r  musimy teraz wstawić do równania (4). Otrzymamy wówczas:

                                                              (25)

Dla przypadku k = 0 po prostym wycałkowaniu  otrzymamy

                                                           (26)

Dla pozostałych dwóch przypadków podobnie otrzymuje się w pobliżu osobliwości zależność typu:

                                                                          (27) 

Jest to bardzo ważna zależność, która przyda nam, się przy opisie wczesnych etapów ewolucji wszechświata. Odnotujmy tu jednak, że uwzględnienie ciśnienia gazu nie chroni rozwiązań kosmologicznych przed osobliwością w chwili t = 0.

RÓWNANIA KOSMOLOGICZNE WYPROWADZONE Z TEORII

NEWTONOWSKIEJ.

Otrzymane w poprzednim rozdziale (“Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina”) równania kosmologiczne Friedmanna (r-nie (3) i (4)) można także  formalnie otrzymać na gruncie klasycznej teorii newtonowskiej. Rozważmy w tym celu pewien dowolny kulisty obszar wszechświata - kulę o promieniu r wypełnioną jednorodnie masą M o gęstości r.

Ze względu na ogólną ekspansję wszechświata promień naszej sfery zmienia się w czasie: (gdzie jednostkowy wersor zaś R(t). to zmienny w czasie czynnik skali). Jednostkowa cząstka próbna m ma energię kinetyczną (wynikającą z udziału w ekspansji) oraz energię potencjalną w polu grawitacyjnym masy M:

                                             (28)

co można przekształcić do postaci (przyjmując )

                                                                               (28a)

gdzie -kc2 = 2E zaś k = 0, +1, -1. Jest to odpowiednik równania (4) z poprzedniego rozdziału.

Przy ekspansji adiabatycznej mamy równanie (z I zasady termodynamiki)

dU +p dV =0. Energia wewnętrzna  w naszej kuli to energia związana z masą M czyli . Wówczas różniczkowania dają nam

Po wstawieniu do I zasady termodynamiki i uporządkowaniu otrzymamy

                                                                              (29)

Jest to tzw. warunek zachowawczy (który w formalizmie OTW wynika z zerowania się kowariantnej dywergencji tensora energii-pędu ).

Zróżniczkujmy teraz r-nie (28a) po czasie:

Wielkość ...