Rozklad_normalny.pdf

Strona 1 z 6

Krzywa dzwonowa

dr in Ŝ . Adam Walanus

StatSoft Polska

Po co komu dzisiaj dzwon? Nawet w kościołach są teraz głośniki, co jest jeszcze jednym przejawem

oczywistej przewagi softwaru nad hardwarem. Chyba Ŝe Dzwon Zygmunta (patrz rysunek 1). Ten

potrzebny jest narodowi, Ŝeby go jednoczyć. I tu dochodzimy do sedna sprawy z krzywą dzwonową.

Co to jest naród i jak go jednoczyć? Ludzi coś łączy i coś dzieli. Wiele rzeczy ich łączy i tyle samo

dzieli. Jednych bardziej, innych mniej (łączy i dzieli). Ludzie są róŜni. RóŜni pod wieloma

względami

Rys 1. . Dzwon Zygmunta, Kraków

Czy da się w tej chaosie znaleźć jakiś porządek? Tu, w statystycznym kąciku, da się. Jedyny

moŜliwy porządek w chaosie to porządek statystyczny. Opis statystyczny chaosu, róŜnorodności jest

moŜliwy i wskazany. Oczywiście moŜna spisać dokładnie cechy kaŜdego obiektu, np. Adam ma 185

cm wzrostu, a Zenek 158. Ludzie (przynajmniej niektórzy) mają jeszcze inne właściwości niŜ

wzrost, ale zostańmy na razie przy czymś prostym i łatwym do zmierzenia. Jaki wzrost mają Polacy?

Na to proste pytanie istnieją dwie odpowiedzi, jedna, dość mało przydatna, to ta, Ŝe Zenek N. ma

158 cm itd. dla wszystkich 40 milionów osób. Dla współczesnego programu analizy danych

STATISTICA wielkość pliku problemem nie jest, ale kto tę informację skonsumuje? Dlatego jest

druga odpowiedź. Ŝe średnio Polak ma 171,5 cm, albo Ŝe średni czyli przeciętny, czyli szary

obywatel ma taki wzrost. Ta liczba: 171,5 to średnia ze wzrostu Adama i Zenka. Ani jeden ani drugi

nie ma takiego wzrostu. To jaki jest sens średniej? Taki, Ŝe jak będą nieśli deskę, to jej środek będzie

na wysokości 171,5 cm. Średnia to średnia, duŜo więcej tu się nie da powiedzieć, moŜe tylko wzór:

(w A +w Z )/2 albo dla wszystkich: (w 1 +w 2 +...+w n )/n.

Średnia dla wszystkich Polaków, no powiedzmy dla dorosłych męŜczyzn między 20 a 70 rokiem

Ŝycia, Ŝeby dać spokój noworodkom, a takŜe nie udawać, Ŝe kobiety od męŜczyzn się nie róŜnią,

wynosi np. 171,54380573 (Uwaga! Wszelkie podobieństwo cytowanych liczb do rzeczywistych

wartości jest przypadkowe). Czy te wszystkie cyfry rozwinięcia dziesiętnego mają sens, to sprawa

trudniejsza, trzeba ją zostawić na później. Ciekawsze jest następne pytanie o wzrost dorosłych

Polaków, następne, gdy znamy juŜ odpowiedź na pytanie o średni wzrost. Wiedząc, Ŝe nie wszyscy

mają 171,5 cm, i spodziewając się, Ŝe część ma więcej a część mniej, moŜna zapytać jakoś

dokładniej, jaka część ma duŜo więcej, jaka duŜo mniej itd. I tu właśnie potrzebna jest krzywa

dzwonowa przedstawiona na rysunku 2..

file://G:\Statystyka\dzwon.html

05-11-2008

Strona 2 z 6

Rys 2. . Krzywa dzwonowa wskazująca procent osób o danym wzroście

Prawda (statystyczna) jest taka właśnie, jak na rysunku 2. Ilu ludzi mieści się pod krzywą

dzwonową, tylu ma taki wzrost, jak napisane jest pod nimi. Aby nie przesadzać w urąganiu ścisłości,

powiedzmy tak: na osi pionowej podany jest procent Polaków o wzroście podanym na osi poziomej

wykresu. Koniecznie jednak pamiętać trzeba, Ŝe chodzi tu o jednostkę wzrostu, w tym przypadku

jest to 1 cm. Na przykład na przedział 160-161 cm przypada ok. 2%. Dla przedziału 160-160,5

byłaby mniej więcej połowa z tego (nieco mniej).

Krzywa dzwonowa jest wykresem funkcji

tak na prawdę (na prawdę matematyczną, Ŝeby 100% to było 100%) wzór jest taki:

a krzywa z rysunku 2 ma dokładnie taki wzór:

który uwzględnia konkretną sytuację, tu akurat wzrost.

Skąd ten wzór? Dlaczego prawie wszystko na tym świecie rozkłada się zgodnie z taką właśnie

funkcją?

Weźmy kostkę do gry. Wiadomo, Ŝe wyrzucenie kaŜdej liczby oczek od 1 do 6 jest jednakowo

prawdopodobne. Co jednak będzie gdy rzucać będziemy dwoma kostkami, a liczbę oczek sumować?

Czy kaŜdy wynik od 2 do 12 będzie dalej tak samo prawdopodobny? Nie, bo np. 7 moŜna otrzymać

aŜ na 6 sposobów: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 i 6+1. (JeŜeli kogoś dziwi, Ŝe 1+6 i 6+1 to nie to samo,

to znaczy, Ŝe dostrzega dość głęboką fizyczną kwestię nieidentyczności kostek.) Zostawmy dziecku

kostki, weźmy lepiej jakiś generator liczb losowych, np. wyliczmy zmienną STATISTICA jako =Rnd

(1), otrzymamy liczby losowe z przedziału od 0 do 1. Np. takie: 0,429, 0,128, 0,275, 0,785, 0,036.

file://G:\Statystyka\dzwon.html

05-11-2008

Strona 3 z 6

Wszystkie są jednakowo prawdopodobne (rys.3/1).

Rys 3. . Wykresy gęstości prawdopodobieństwa otrzymania róŜnych wartości przy pojedynczym

losowaniu liczby losowej, przy sumowaniu dwóch i trzech takich liczb. Trzecia krzywa składa się z

trzech paraboli: f(x)=x 2 /2 (od 0 do 1), f(x)=0,75-(x-1,5) 2 (od 1 do 2) i f(x)=(x-3) 2 /2 (od 2 do 3). Nie

jest to jeszcze krzywa dzwonowa.

Dodajmy dwie takie liczby, zróbmy w STATISTICA tak: = Rnd(1)+Rnd(1) , otrzymamy np. 1,191,

1,637, 0,772, 0,608, 1,162. Podobnie jak przy sumowaniu oczek na dwóch kostkach najbardziej

prawdopodobne będzie otrzymanie środkowej wartości, tu jest to jedynka. Prawdopodobieństwo

wzrasta, a następnie maleje liniowo (rys. 3/2). Jest tak jak przy kostkach, co moŜemy sprawdzić

przeliczając na ile sposobów moŜna dostać 2, 3, ... 12. Ciekawie wygląda dopiero rysunek 3/3.

Wynik sumowania trzech liczb losowych z przedziału od 0 do 1. Niech nie wprowadzi nas w błąd

podobieństwo, to jeszcze nie jest krzywa dzwonowa. Funkcja z rysunku 3/3 to trzy sklejone

parabole. ZauwaŜmy, Ŝe dla jednej kostki była jedna funkcja stopnia zerowego (x 0 - stała), dla

dwóch dwie proste, czyli krzywe stopnia 1 (x 1 ), dla trzech trzy parabole, czyli krzywe stopnia 2 (x 2 ).

I tak dalej.

Czym się to kończy w nigdy nieosiągalnej nieskończoności? Krzywą dzwonową. Te ciągi krzywych

potęgowych kończą się funkcją

a jak to robią, to juŜ prawdziwa matematyka. Ścisły matematyczny dowód, Ŝe tak jest, jest trudny.

Pozostaje pytanie, co to wszystko ma do wzrostu Polaków? To się stosuje do średniego wzrostu

Polaków. Po prostu dlatego, Ŝe średnia to suma wielu przypadkowych wzrostów. Średnia to suma

podzielona przez liczbę zsumowanych liczb, ale to dzielenie przez nielosową wartość nic nie

zmienia. WaŜne jest to, Ŝe sumują się wielkości niezaleŜne od siebie, jak wzrost Adama i Zenka (nie

są krewnymi).

Dlatego krzywa dzwonowa ma zastosowanie prawie wszędzie, dlatego nazywa się krzywą rozkładu

normalnego, bo normalna jest taka sytuacja, Ŝe duŜo róŜnych czynników sumuje się na końcowy

wynik, gdy np. wiele jest róŜnych, niezaleŜnych zaburzeń psujących stabilność produkcji.

file://G:\Statystyka\dzwon.html

05-11-2008

Strona 4 z 6

Krzywa dzwonowa ma pewną ciekawą i uŜyteczną własność, bardzo szybko maleje przy oddalaniu

się od środka.

Rys 4. . Krzywa dzwonowa pokazana w zmiennej skali pionowej, tak Ŝe co pewien krok (=1) skalę

powiększa się, by na powrót osiągnąć maksymalną wartość. Widać, Ŝe krzywa coraz szybciej

maleje. Wykres otrzymano w STATISTICA Basic .

Zacznijmy jednak od tego, Ŝe ten dzwon nigdzie się nie kończy;

zawsze jest większe od zera. Największa suma oczek przy rzucie dziesięcioma kostkami to 60.

Oczywiście przy nieskończenie wielu kostkach (lepiej sobie tego nie wyobraŜać, to tylko

matematyka...) nie ma Ŝadnego ograniczenia, moŜna osiągnąć nieskończoność. Tak spełnia się

nieograniczoność krzywej dzwonowej. A co z szybkim spadaniem w stronę zera? Pomyślmy, jak

mało prawdopodobne jest otrzymanie samych szóstek w dziesięciu rzutach (p=1/6 10 =0,000000016),

albo jak mało prawdopodobne jest, Ŝe w większej, przypadkowej grupie osób średni wzrost jest 2 m.

Inny przykład to, Ŝe przewrócił nam się barek, wszystkie alkohole się zlały i powstał wspaniały

koktajl. W tym ostatnim przypadku trzeba zwrócić uwagę na niezaleŜność składników, jeŜeli

rzeczywiście były przypadkowe to wynik na pewno nie będzie dobry.

Krzywa maleje szybko do zera i tylko teoretycznie nigdy go nie osiąga. Praktycznie nigdy nie

dostaniemy dziesięciu szóstek po kolei. Czyli wszystko co jest sumą albo innym wynikiem wielu

oddziaływań jest ograniczone. Jest, ale moŜna teŜ popatrzeć na sprawę inaczej, moŜna dostrzec

właśnie "ogony" krzywej dzwonowej. Właśnie odchylenia od normy, które, jak to odchylenia, nie są

bardzo prawdopodobne, ale się zdarzają. Czasami lubi się odchylenia od codzienności. Wiele emocji

wywołała kiedyś w USA ksiąŜka o tytule takim samym jak tytuł tego artykułu, w której zajmowano

się poziomem inteligencji. Oczywiście przyjemnie być w prawym ogonie krzywej opisującej rozkład

IQ w społeczeństwie. Ekstremalne przypadki muszą istnieć, i to z obydwu stron. Czy one się

równowaŜą? Raczej nie. Średnia dochodów jednego prezesa i jednego bezrobotnego nie ma wiele

wspólnego ze średnią krajową. Ale to nie jest najlepszy przykład, bo rozkład zarobków normalny nie

jest, to znaczy nie podlega krzywej dzwonowej. Jest asymetryczny, chociaŜby z jednego powodu,

tego, Ŝe lewy ogon krzywej nie zejdzie poniŜej zera, a prawy ograniczeń nie ma.

Dość tej socjologii, wróćmy do matematyki. Popatrzmy jeszcze raz na rysunek 3. W pierwszym

przypadku mamy zupełny rozrzut wartości w całym moŜliwym przedziale. W drugim pojawia się

skupienie wokół środka, a w trzecim skupienie to jest jeszcze wyraźniejsze. Jest to ogólna cecha

sumowania wpływu wielu czynników. Przy dodawaniu dwóch wielkości A i Z, które mogą być

trochę większe albo trochę mniejsze, moŜliwe są cztery przypadki: A raczej większe i Z raczej

większe itd.

Odchyłka sumy od średniej wartości moŜe być co prawda dwa razy większa (++, --) niŜ odchyłki

file://G:\Statystyka\dzwon.html

05-11-2008

Strona 5 z 6

składowe, ale w połowie przypadków jest zerowa. To jest przyczyna, dla której średnia jest

względnie bardziej skupiona wokół przeciętnej wartości niŜ składniki. Popatrzmy jak sumują się

składniki podlegające dokładnie krzywej dzwonowej.

Rys 4. . Sumowanie krzywych dzwonowych. Krzywa sumy jest tylko 1,41 razy szersza, szerokości

się nie dodają.

Dodawano wielkość A , która wynosi ok. 5 do wielkości Z , równej ok. 10. Wynik A+Z jest w okolicy

15. PołoŜenie krzywych jest takie, jak trzeba. Ale co z szerokością? Szerokość krzywych A i Z jest,

dla uproszczenia sytuacji taka sama. Szerokość krzywej opisującej sumę A+Z nie jest sumą

szerokości krzywych A i Z , nie jest dwa razy większa. Widać to najlepiej po wysokości krzywej

A+Z , nie jest ona aŜ dwa razy niŜsza, a musiałaby być dwa razy niŜsza gdyby miała być dwa razy

szersza, Ŝeby pole pod krzywą było ciągle równe 1. Krzywa dzwonowa sumy jest szersza, ale tylko o

czyli 1.41.

JeŜeli obliczamy średnią to dzielimy przez dwa, 15/2=7.5, ale jednocześnie dzieli się przez dwa

szerokość krzywej, 1.41/2=0.7 a to jest mniej niŜ jeden, szerokość krzywej dla średniej jest mniejsza

niŜ dla składników. To jest właśnie powód, dla którego średnia jest dokładniejsza. Średnia ze stu

składników będzie dziesięć razy dokładniejsza, bo pierwiastek ze 100 =10. JeŜeli szerokość krzywej

dzwonowej dla wzrostu pojedynczego (przypadkowego) męŜczyzny jest np. 10 cm, to dla średniego

wzrostu 10 milionów Polaków szerokość ta będzie 10 cm/10.000.000 1/2 =0,0031 cm. Oznacza to, Ŝe

całkiem poprawny jest zapis średniej z taką dokładnością: 171,544. A gdyby jakaś inna średnia (np.

dla Czechów) wynosiła 171,524, to z czystym sumieniem moŜna wypowiedzieć statystyczną

prawdę: Czesi są niŜsi, o całe 0,2 mm. Jest to prawda statystyczna nawet jeśli uwzględnić, Ŝe jest ich

mniej i ich średnia jest mniej dokładna.

Teraz moŜemy obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe przypadkowy Czech będzie niŜszy od

przypadkowego Polaka. Mniej więcej będzie to tak:

taka jest róŜnica, więc prawdopodobieństwo będzie wynosiło 0.50008, oczywiście jest większe od

1/2, ale nie na tyle, Ŝeby na to stawiać.

W niektórych społeczeństwach bardzo wielkie emocje budzą kwestie róŜnicy poziomu inteligencji

róŜnych grup etnicznych. Warto wtedy pamiętać, Ŝe róŜnica uznana za istotną dla średnich

niekoniecznie musi oznaczać jakąkolwiek zauwaŜalną róŜnicę przy rozpatrywaniu jednostek.

Nie najlepsze opinie słyszy się o tzw. prawdzie statystycznej. Czy słuszne? Czy to, Ŝe średni Polak

nie istnieje jest argumentem? JeŜeli mamy duŜo danych, moŜe nie o wszystkich ale o tysiącach osób,

klientów, uŜytkowników, to inna prawda jak statystyczna jest nieuŜyteczna. Statystyka to nie tylko

średnia, nawet nie tylko krzywa dzwonowa z jej dziwnym kształtem. Statystyka to ogromne

narzędzie, na szczęście dostępne w programie STATISTICA . Z łatwością dostępu do baz danych,

szybkością przetwarzania, ale co najwaŜniejsze z intuicyjnym interfejsem podpowiadającym

kierunek analizy, a w ostateczności z obszernym podręcznikiem elektronicznym STATISTICA jest

rozwiązaniem dla osób, które juŜ wiedzą, Ŝe potrzebują prawdy statystycznej w podejmowaniu

decyzji, w kontroli jakości, w badaniach.

file://G:\Statystyka\dzwon.html

05-11-2008

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: