CAŁKI _v. stud.pdf

(1788 KB) Pobierz
CAŁKI NIEOZNACZONE
1. Funkcje pierwotne.
Niech będzie dana funkcja f i przedział I będący jej dziedziną.
DEFINICJA . Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli dla
każdego I
x spełniony jest warunek
   
xF
f
x
.
Jeżeli przedział I jest jedno- lub obustronnie domknięty, to pochodną  
F w każdym z
należących do niego krańców rozumiemy jako odpowiednią pochodną jednostronną.
x
Funkcję pierwotną nazywamy też całką w sensie Newtona ( twórcami rachunku całkowego byli
NEWTON i LEIBNIZ).
PRZYKŁADY
Funkcja   5
2
xf na przedziale
1 2
xF jest funkcją pierwotną funkcji   x
 ; ,

x
ponieważ
dla każdego
1 2
 ; x .

x
5
x
2
Funkcja   x
jest funkcją pierwotną funkcji   x
xF cos
1
xf sin
na przedziale
 ; , ponieważ

d sin
dla każdego
x
 ; x .
cos1 
x

dx
Na podstawie powyższych przykładów widzimy, że obliczanie funkcji pierwotnej jest
działaniem odwrotnym względem obliczania funkcji pochodnej.
Ćwiczenie . Uzasadnić, że funkcje 1 F i 2 F są funkcjami pierwotnymi wskazanych funkcji : f
xf 1
a)   x
,   1
xF ,   x
.
xF 2
1
x
2
2
b)   x
,   1
1
xF arccos
2
xF ,  
x
arcsin
.
f
x
1
2
2
1
x
Przytoczone przykłady wskazują, że obliczanie funkcji pierwotnej nie jest działaniem jednoznacznym
( w przeciwieństwie do różniczkowania)
TWIERDZENIE . Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , to:
1). funkcja C
F
, gdzie C oznacza dowolną stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji f
na przedziale I ,
2). każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale I można przedstawić w postaci sumy
F , gdzie 0
C
C jest stosownie do i F dobraną stałą.
0
1
797714494.030.png 797714494.031.png 797714494.032.png 797714494.033.png 797714494.001.png 797714494.002.png 797714494.003.png 797714494.004.png 797714494.005.png
 
TWIERDZENIE . Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym
przedziale.
UWAGA. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną, np. funkcje
pierwotne funkcji:
2
sin ,
x
1 , x
e
x
, x
3
, 2
cos x ,
1 x
x sin
ln
x
nie są funkcjami elementarnymi.
2. Definicja i własności całki nieoznaczonej.
DEFINICJA . Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I .
Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
.
 
xF
C
: R
C
Całką nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez   dx
lub krótko f .
xf
Posługując się całkami opuszczamy nawiasy klamrowe występujące w definicji całki nieoznaczonej.
Działania i operacje na całkach oznaczają działania i operacje na dowolnych funkcjach pierwotnych
reprezentujących te całki.
WŁASNOŚĆ .
1. Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I . Wtedy dla każdego I
x
 
 
 
  ,
xf
dx
f
x
xf
dx
f
x
C
,
gdzie . R
C
PODSTAWOWE WZORY
1
1.
dx 0
C
6.
C
dx
arctgx
x 2
1
1 1
r
x
C
dla
r
1
1
r
1
C
dx
arcsin
x
2.
r
7.
x
dx
2
1
x
ln
x
C
dla
r
1
1
sin
xdx cos
 C
x
3.
8.
dx
C
tgx
2
cos
x
1
cos
xdx sin
C
x
4.
9.
dx
 C
ctgx
2
sin
x
 
 
C
f
x
dxe x
x
 
C
e
5.
10.
ln .
dx
f
x
f
x
2
797714494.006.png 797714494.007.png 797714494.008.png 797714494.009.png 797714494.010.png 797714494.011.png 797714494.012.png 797714494.013.png 797714494.014.png 797714494.015.png 797714494.016.png 797714494.017.png
 
3. Twierdzenia o całkach nieoznaczonych
TWIERDZENIE (o liniowości całki)
.Niech funkcje f i g mają funkcje pierwotne oraz niech .
, R
. Wtedy
 
 
 
 
f
x
g
x
dx
f
x
dx
g
x
dx
.
ZADANIE
2
( 2
x 2
3( .
dx
x
)
Obliczyć całkę: a)
3(
xx )1
 dx
x
x
, b) dx
x
e x )
cos
, c)
2
TWIERDZENIE (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna i jeżeli g jest ciągła, to
  
 
dt
 
gf )
(
x
g
x
dx
f
t
,
gdzie
.
t
g
x
ZADANIE
Obliczyć całkę:
a) xdx
sin 2
,
b)
31 ,
x cos
dx
x
TWIERDZENIE (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje v
u , mają ciągłe pochodne, to
   
   
    dx
xu
v
x
dx
u
x
v
x
u
x
v
x
ZADANIE
x 1
Obliczyć całkę: a) dx
ln , b)
ex x
2
2
.
dx
x
3
797714494.018.png 797714494.019.png 797714494.020.png 797714494.021.png 797714494.022.png 797714494.023.png 797714494.024.png 797714494.025.png
 
ZADANIE
3
2
x
dx
x
4
ZADANIE. Obliczyć
2
x
2
1
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
 
 
W
x
Funkcję wymierną  
nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest
xF
Z
x
2
x
xF 2
2
x
4
mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, np.   x
. W przeciwnym przypadku
3
2
x
x
mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa.
4
797714494.026.png 797714494.027.png
 
WŁASNOŚĆ . Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu
i funkcji wymiernej właściwej.
ZADANIE
2
2
x
x
4
Rozłożyć na ułamki proste funkcję
i obliczyć całkę.
3
2
x
x
2
x
CAŁKA OZNACZONA .
DEFINICJA
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a, b] .
Przedział [a, b] dzielimy punktami x 1 ,..., x 1 n takimi, że
a = x 0 < x 1 < ...< x 1 n < x n = b ;
Długości kolejnych podprzedziałów [ x 0 , x ], [ x 1 , x 2 ], ..., [ x 1 n , x n ] oznaczamy przez  ,
 , ...,  i największą z tych liczb nazywamy normą (średnicą) podziału .
W każdym z
i u
x ,
i x
, dla n
i ,...,
,1
2
wybieramy punkt
x ,
i x
(tzw. punkt pośredni).
1
i
1
i
Tworzymy tzw. sumę całkową :
 
 
 
f
u
f
u
...
f
u
.
n
1
1
2
2
n
n
5
797714494.028.png 797714494.029.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin