ciagi_liczbowe.pdf

(155 KB) Pobierz
CIġGI LICZBOWE
Poziom podstawowy
Zadanie 1 (4 pkt.)
n
+
10
Dany jest ciĢg o wyrazie oglnym
a n
=
,
n
¬
N
. Czy istnieje wyraz tego ciĢgu, ktry
+
n
+
2
3 ? Wyznacz
jest rwny 2
a
n a
+2 .
-
n
Zadanie 2 (6 pkt.)
Marek chce przekopaę swj przydomowy ogrdek. Pierwszego dnia przekopaþ 27 m 2 . Aby
przyspieszyę prace, postanowiþ kaŇdego nastħpnego dnia przekopywaę o 4 m 2 wiħcej niŇ
poprzedniego. W ciĢgu ilu dni zakoıczy pracħ, jeĻli powierzchnia ogrdka wynosi 7, 83 a ?
Zadanie 3 (6 pkt.)
RozwiĢŇemy rwnanie: 4 + 8 + 12 + È + x 2 = 8320.
MoŇemy to robię w nastħpujĢcy sposb.
ZauwaŇmy najpierw, Ňe lewa strona jest sumĢ pewnej liczby wyrazw ciĢgu arytmetycznego.
Oznaczmy:
t = x 2 ,
n Î liczba skþadnikw sumy po lewej stronie rwnania.
Wwczas, korzystajĢc ze wzorw dla ciĢgu arytmetycznego, mamy:
t
=
4
+
(
n
-
1
µ
4
4
+
t µ
8320
=
n
.
2
t
=
4
+
4
(
n
-
1
Ê
t
=
256
otrzymujemy: Ê
Ë
. Zatem x 2 = 256, skĢd
RozwiĢzujĢc ukþad rwnaı:
4
+
t
µ
n
=
8320
n
=
64
Ì
2
x = 16 lub x = - 16 .
WykorzystujĢc powyŇsze rozumowanie, rozwiĢŇ rwnanie:
86 + 82 + 78 + 74 + È + (x 2 + 3x Î 2) = 968.
Zadanie 4 (2 pkt.)
Dane sĢ liczby:
a
=
3
-
1
b
=
2
(
2
-
3
),
c
=
2
(
3
-
5
. Czy liczby a, b, c mogĢ byę trzema
pierwszymi wyrazami ciĢgu geometrycznego?
Zadanie 5 (4 pkt.)
Marek wpþaciþ do banku 2000 zþ na lokatħ terminowĢ. Roczna stopa procentowa w tym
banku wynosi 3, 6%, a bank kapitalizuje odsetki co kwartaþ. Czy po 4 latach od momentu
wpþacenia suma, jakĢ wypþaci bank Markowi bħdzie wiħksza od wpþaconej o 15, 4%?
OdpowiedŅ uzasadnij. Nie uwzglħdniaj podatku od odsetek bankowych.
Zadanie 6 (6 pkt.)
2
n
+
10
Wyznaczymy te wyrazy ciĢgu o wyrazie oglnym
a n
=
, ktre sĢ wyrazami
2
n
-
3
caþkowitymi.
973223476.050.png 973223476.056.png 973223476.057.png 973223476.058.png 973223476.001.png 973223476.002.png 973223476.003.png 973223476.004.png 973223476.005.png 973223476.006.png 973223476.007.png 973223476.008.png 973223476.009.png 973223476.010.png 973223476.011.png 973223476.012.png 973223476.013.png
MoŇemy to zrobię w nastħpujĢcy sposb.
2
2
n
+
10
n
-
3
+
13
13
ZauwaŇmy najpierw, Ňe
=
=
1
+
. Aby ostatnie wyraŇenie byþo
2
2
2
n
-
3
n
-
3
n
-
3
liczbĢ caþkowitĢ, mianownik uþamka musi byę rwny jednej z liczb: 1, -1, 13, -13. Mamy
zatem
n 2 Î 3 = 1 lub n 2 Î 3 = -1 lub n 2 Î 3 = 13 lub n 2 Î 3 = -13. OczywiĻcie interesujĢ nas tylko te
rozwiĢzania tych rwnaı, ktre naleŇĢ do zbioru liczb naturalnych. SĢ nimi: n = 2 oraz n = 4.
Tak wiħc tylko wyrazy a 2 i a 4 sĢ liczbami caþkowitymi.
WykorzystujĢc powyŇsze rozumowanie, wyznacz te wyrazy ciĢgu o wyrazie oglnym
2
2 2
n
-
11
a n
=
, ktre sĢ liczbami caþkowitymi.
n
-
2
Zadanie 7 (5 pkt.)
W pewnym ciĢgu arytmetycznym (a n ) mamy: a 1 + a 5 = 16 oraz a 3 + a 9 = 46. Czy liczba
a
+
a
+
a
+
... a
+
jest podzielna przez 41 ?
1
2
3
133
Zadanie 8 (4 pkt.)
2
n
Dany jest ciĢg
a n
=
7
-
.
5
a) ZnajdŅ setny wyraz tego ciĢgu.
2 ?
b) Ktrym wyrazem tego ciĢgu jest 5
c) Ile wyrazw dodatnich ma ten ciĢg?
Zadanie 9 (5 pkt.)
Dany jest ciĢg ( )
n a okreĻlony wzorem
a n
=
2 2
n
+
2
n
-
3
.
a) Zbadaj monotonicznoĻę tego ciĢgu.
b) Miħdzy ktrymi kolejnymi wyrazami tego ciĢgu rŇnica jest rwna 48?
Zadanie 10 (4 pkt.)
ZnajdŅ liczbħ x, dla ktrej liczby x, x+3, 16 sĢ kolejnymi wyrazami ciĢgu geometrycznego.
Zadanie 11 (3 pkt.)
Liczby
2 3
2
x +
9
x
,
x +
x
,
- x sĢ kolejnymi wyrazami ciĢgu arytmetycznego. Oblicz x.
3 -
4
Zadanie 12 (3 pkt.)
n
+
3
Ä
Ô
Dane sĢ dwa ciĢgi ( )
n a i ( )
n b . CiĢg ( )
Å
Æ
Õ
Ö
n a okreĻlony jest wzorem oglnym
a n
=
,
n
+
1
2 2
natomiast
b n
=
n
-
n
.
Oblicz
a µ .
4 b
2
Zadanie 13 (3 pkt.)
Liczby 102, 105, 108, 111,..., sĢ kolejnymi poczĢtkowymi wyrazami pewnego ciĢgu
arytmetycznego ( )
n a . Zapisz wzr oglny na n-ty wyraz tego ciĢgu. Oblicz sumħ szesnastu
poczĢtkowych, kolejnych wyrazw tego ciĢgu.
973223476.014.png 973223476.015.png 973223476.016.png 973223476.017.png 973223476.018.png 973223476.019.png 973223476.020.png 973223476.021.png 973223476.022.png 973223476.023.png
Zadanie 14 (5 pkt.)
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 sĢ kolejnymi wyrazami pewnego
ciĢgu rosnĢcego.
a) Zapisz wzr oglny na n-ty wyraz tego ciĢgu.
b) Oblicz, ile wyrazw ma ten ciĢg.
c) Oblicz sumħ piħtnastu poczĢtkowych kolejnych wyrazw tego ciĢgu.
Zadanie 15 (4 pkt.)
Aby rozwiĢzaę rwnanie
2
3
4
5
x
moŇna wykorzystaę wiadomoĻci dotyczĢce ciĢgu geometrycznego.
ZauwaŇmy najpierw, Ňe lewa strona rwnania jest sumĢ szeĻciu poczĢtkowych kolejnych
wyrazw ciĢgu geometrycznego, w ktrym 1
1
+
2
+
4
x
+
8
x
+
16
x
+
32
x
=
0
1 a i
q 2
=
x
. Stwierdzamy ponadto, Ňe liczba
1 nie speþnia tego rwnania. StosujĢc wzr na sumħ wyrazw ciĢgu geometrycznego
2
( )
6
1
-
2
x
przeksztaþcamy rwnanie wyjĻciowe do postaci
=
0
, stĢd otrzymujemy rwnanie
1
-
2
x
1
1
( )
2 6 =
x
1
ktrego rozwiĢzaniami sĢ liczby
x
1 =
oraz
x
=
-
. PoniewaŇ wiemy, Ňe liczba
2
2
2
1 nie jest rozwiĢzaniem danego rwnania, stwierdzamy ostatecznie, Ňe rozwiĢzaniem
2
1 .
rwnania wyjĻciowego jest liczba 2
StosujĢc analogiczny sposb rozumowania, rozwiĢŇ rwnanie:
2
3
4
5
6
7
1
+
x
+
x
+
x
+
x
+
x
+
x
+
x
=
0
.
Zadanie 16 (4 pkt.)
Bank przyznaþ Mieczysþawowi Mieciowi 20000 zþ kredytu oprocentowanego na 9%
w stosunku rocznym. Kredyt ma byę spþacany przez 4 lata w rwnych miesiħcznych ratach.
Oblicz wysokoĻę comiesiħcznej raty.
Poziom rozszerzony
Zadanie 1 (5 pkt.)
Dany jest ciĢg, okreĻlony nastħpujĢco: Ê
a
=
9
1
dla n > 1.
a
=
a
+
8
n
,
n
n
-
1
ZnajdŅ i udowodnij wzr na wyraz oglny tego ciĢgu.
MoŇna to zrobię nastħpujĢco. Najpierw wypiszmy kilka pierwszych wyrazw tego ciĢgu:
a 1 = 3 2 , a 2 = 5 2 , a 3 = 7 2 . Przypuszczamy wiħc, Ňe dla kaŇdego
2
n
¬N
zachodzi
a n
=
(
2
n
+
1
.
+
Udowodnimy to metodĢ indukcji matematycznej.
1ø. Na mocy okreĻlenia ciĢgu a 1 = 9 = (2 ß 1 + 1) 2 . wiħc wzr nasz jest prawdziwy dla n = 1.
2ø. WykaŇemy, Ňe dla dowolnego N
k ¬
i k ² 1 z faktu, Ňe
a k
=
(
2
k
+
1
2
wynika, Ňe
2
a k
=
(
2
k
+
3
.
+
1
973223476.024.png 973223476.025.png 973223476.026.png 973223476.027.png 973223476.028.png
 
Dowd (indukcyjny): ZauwaŇmy, Ňe
L
=
a
=
a
+
8
k
+
1
(z okreĻlenia ciĢgu).
T
k
+
1
k
Dalej,
na
mocy
zaþoŇenia
indukcyjnego,
mamy
wiħc:
2
2
2
2
L
=
(
2
k
+
1
+
8
k
+
1
=
4
k
+
4
k
+
1
+
8
k
+
8
=
4
k
+
12
k
+
9
=
(
2
k
+
3
=
P
. Na mocy
T
T
zasady indukcji matematycznej wnioskujemy, Ňe dla dowolnego
n
¬
N
,
n
1
zachodzi
2
a n , co koıczy dowd.
WykorzystujĢc powyŇsze rozumowanie znajdŅ i udowodnij wzr na wyraz oglny ciĢgu,
okreĻlonego nastħpujĢco: Ê
=
(
2
n
+
1
a
=
25
1
dla n > 1.
a
=
a
+
8
n
+
8
n
n
-
1
Zadanie 2 (4 pkt.)
Oblicz granice:
a)
2
2
lim
(
n
+
2
n
+
3
-
n
+
3
n
+
2
)
,
n
n
+
1
n
+
2
3
-
5
µ
4
b)
lim
.
2
2
n
+
1
+
3
n
-
2
n
+
Zadanie 3 (6 pkt.)
Wyznacz zbir rozwiĢzaı nierwnoĻci
2
3
x
Ä
x
Ô
Ä
x
Ô
+
+
+
...
<
1
.
Æ
Ö
Æ
Ö
1
-
x
1
-
x
1
-
x
Zadanie 4 (5 pkt.)
Udowodnij, Ňe jeŇeli miary trzech kolejnych kĢtw czworokĢta wpisanego w okrĢg tworzĢ
ciĢg arytmetyczny, to co najmniej dwa kĢty tego czworokĢta sĢ proste.
Zadanie 5 (6 pkt.)
Wyznacz wartoĻci a i b tak, aby ciĢg -2, a 2 , b 3 , -20 miaþ te wþasnoĻę, Ňe trzy jego pierwsze
wyrazy stanowiĢ trzy kolejne wyrazy pewnego ciĢgu geometrycznego, zaĻ trzy ostatnie Î trzy
kolejne wyrazy pewnego ciĢgu arytmetycznego.
Zadanie 6 (8 pkt.)
W pewnym ciĢgu geometrycznym rŇnica kwadratw pierwszego i drugiego wyrazu wynosi
12, zaĻ rŇnica kwadratw pierwszego i trzeciego wyrazu 15. ZnajdŅ piĢty wyraz tego ciĢgu.
Zadanie 7 (7 pkt.)
Wyznacz wszystkie
2
2
sin +
sĢ trzema kolejnymi poczĢtkowymi wyrazami ciĢgu arytmetycznego, w ktrym suma czterech
pierwszych wyrazw jest rwna 6.
x
¬
0
p
, dla ktrych liczby
sin 2 x
,
sin
2
x+
cos
2
x
,
x
2
cos
x
Zadanie 8 (6 pkt.)
2
Wyznacz wszystkie wartoĻci x, dla ktrych liczby: 9,
3 +
x
, 9 sĢ trzema kolejnymi
9
wyrazami ciĢgu geometrycznego.
973223476.029.png 973223476.030.png 973223476.031.png 973223476.032.png 973223476.033.png 973223476.034.png 973223476.035.png 973223476.036.png 973223476.037.png 973223476.038.png 973223476.039.png 973223476.040.png 973223476.041.png 973223476.042.png
Zadanie 9 (4 pkt.)
WykaŇ, Ňe jeŇeli ( )
n a jest ciĢgiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciĢg ( )
b
n
o wyrazie oglnym
b
=
log
a
jest ciĢgiem arytmetycznym.
n
5
n
Zadanie 10 (5 pkt.)
Wyznacz wszystkie wartoĻci x, dla ktrych pierwszy, drugi i czwarty wyraz nieskoıczonego
ciĢgu geometrycznego (
)
,x sĢ trzema kolejnymi wyrazami ciĢgu arytmetycznego.
,...
Zadanie 11 (6 pkt.)
Udowodnij stosujĢc zasadħ indukcji matematycznej Ňe, dla kaŇdego caþkowitego, dodatniego
3
1
(
)
n zachodzi rwnoĻę:
2
+
5
+
8
+
...
+
3
n
-
1
=
n
2
+
n
.
2
2
Zadanie 12 (5 pkt.)
Suma n poczĢtkowych, kolejnych wyrazw ciĢgu ( )
n a , jest obliczona wedþug wzoru
(
)
2 +
+
. WykaŇ, Ňe ciĢg ( )
S n
=
n
3
n
n
¬N
n a jest ciĢgiem arytmetycznym.
Zadanie 13 (11 pkt.)
1
1
1
( ) ,
x
RozwiĢŇ nierwnoĻę
+
+
+
...
Ï
2
-
0
9
gdzie lewa strona tej nierwnoĻci jest
x
x
x
2
4
8
sumĢ nieskoıczonego ciĢgu geometrycznego.
Zadanie 14 (5 pkt.)
Zbadaj monotonicznoĻę ciĢgu o wyrazie oglnym:
2
n
-
7
n
+
10
a n
=
2
n
+
3
n
+
3
-
n
+
2
973223476.043.png 973223476.044.png 973223476.045.png 973223476.046.png 973223476.047.png 973223476.048.png 973223476.049.png 973223476.051.png 973223476.052.png 973223476.053.png 973223476.054.png 973223476.055.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin