stabilność.doc

STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

              Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu.

              Zamknięty układ liniowy będziemy więc uważać za stabilny, jeżeli przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i wartości zadanej w(t) oraz dla dowolnych, warunków początkowych, sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu t dążącego do nieskończoności. Niekiedy precyzuje się dodatkowo, że gdy po zaniknięciu, zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi co zajmowany poprzednio, wówczas jest stabilny asymptotycznie.

Rys. Schemat zamkniętego układu regulacji automatycznej: O - obiekt regulacji, R - regulator

Przykłady przebiegów y(t) występujących w układach stabilnych i niestabilnych pokazano na rys.

Rys. Przebiegi przejściowe: a) układ stabilny b) układ niestabilny

Jeżeli układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania różniczkowego

lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej

to czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej postaci ogólnej (przy założeniu ze równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków wielokrotnych ani równych zeru)

gdzie są pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego (mianownika transmitancji operatorowej równego zeru)

a jest wartością zakłócenia. Zakłócenie z(t) może być wprowadzone w dowolnym miejscu układu, w szczególności zakłóceniem może być również zmiana wartości zadanej w(t).

              Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste.

Wówczas

gdzie jest współczynnikiem o wartości skończonej i układ jest stabilny w podanym uprzednio sensie. Składowe przejściowe wielkości wyjściowej zanikają wówczas do zera przy , a pozostaje jedynie składowa ustalona, określona statycznymi własnościami układu. W przypadku pierwiastków zespolonych

odpowiednie wyrazy sumy mają postać

.

              Wyrazy te dążą do zera przy czasie , jeżeli spełniony jest warunek . Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania ma część rzeczywistą dodatnią:

,

to

i układ jest niestabilny.

              Jeżeli równanie ma pierwiastki wielokrotne, to w sumie pojawią się wyrazy typu

              W tym przypadku warunek stabilności pozostaje również ważny, gdyż funkcja rośnie wolniej niż funkcja wykładnicza; zatem dla mamy

.

Jeżeli równanie ma pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie oraz jednokrotne na osi liczb urojonych (np. jeden pierwiastek zerowy lub parę pierwiastków urojonych sprzężonych), to w układzie będą występować drgania o stałej amplitudzie, określonej warunkami początkowymi. Układ jest wówczas na granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest stabilny asymptotycznie. Jeżeli pierwiastki zerowe są wielokrotne, to przebieg y(t) oddala się od początkowego stanu równowagi, układ jest oczywiście niestabilny.

              Warunek będziemy więc uważać za ogólny warunek stabilności liniowych układów automatyki. Potrzeba ściślejszego rozróżniania rodzajów stabilności wystąpi w układach nieliniowych.

              Przy badaniu stabilności układów, których własności dynamiczne opisane są za pomocą równań różniczkowych wyższych rzędów (lub odpowiednich transmitancji), natrafia się na duże trudności przy obliczaniu pierwiastków równania charakterystycznego , gdyż jest to równanie algebraiczne tego samego stopnia co rząd równania różniczkowego. Stosuje się wtedy jedno z kryteriów stabilności, tzn. twierdzeń pozwalających ocenić stabilność układu na podstawie wartości współczynników równania charakterystycznego lub przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, bez obliczania pierwiastków równania . Należy jednak pamiętać, że wszystkie kryteria wywodzą się z warunku podstawowego .

KRYTERIUM HURWITZA

Aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego

miały części rzeczywiste ujemne, muszą być spełnione następujące warunki:

a) wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są większe od zera (jest to warunek konieczny, ale nie dostateczny):

, , ..., ,

b) podwyznaczniki , od do , wyznacznika głównego , są większe od zera. Wyznacznik , utworzony ze współczynników równania charakterystycznego, ma n wierszy i n kolumn:

podwyznaczniki mają postać:

              ,              ...

              Powyżej przedstawiono praktyczne sformułowanie kryterium Hurwitza. W oryginalnym sformułowaniu Hurwitza wymaga się, aby wszystkie podwyznaczniki , tzn. od do , były większe od zera. Ponieważ jednak zachodzi

              ,

zatem w przypadku spełnienia warunku a) sprawdzanie dodatniości podwyznacznika i wyznacznika głównego jest niecelowe.

              Jeżeli któryś ze współczynników równania charakterystycznego jest ujemny lub równy zeru albo któryś z podwyznaczników jest ujemny lub równy zeru, to układ jest niestabilny. W przypadku szczególnym, kiedy któryś z podwyznaczników jest równy zeru, równanie charakterystyczne ma, między innymi, pierwiastki czysto urojone i w przebiegu czasowym y(t) występują drgania o stałej amplitudzie. Mówimy wówczas, że układ znajduje się na granicy stabilności (granica stabilności należy do obszaru niestabilnego).

              Jeżeli rozpatrywany układ jest niestabilny, kryterium Hurwitza nie pozwala określić, ile pierwiastków równania charakterystycznego ma dodatnią część rzeczywistą.

Przykład 1. Dana jest transmitancja układu zamkniętego

.

Podać warunki stabilności układu.

              Układ jest stabilny, jeżeli spełnione są następujące warunki:

1)              , , , , ,

2)              , a zatem ,

oraz

              , a zatem .

Przykład 2. Zbadać stabilność układu opisanego równaniem różniczkowym

.

Równanie charakterystyczne układu ma postać:

.

Układ jest niestabilny, gdyż współczynnik . Sprawdzanie znaku współczynników , , oraz podwyznacznika jest niepotrzebne.

KRYTERIUM MICHAJŁOWA

Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne sprawdzenie stabilności układu regulacji automatycznej. Podane zostanie wyprowadzenie tego kryterium.

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

można przedstawić w postaci:

,

gdzie , , ..., są pierwiastkami tego równania.

              Jako zmienną niezależną, s możemy wybrać m. in. zbiór punktów położonych na osi liczb urojonych, wówczas i lewa strona równania charakterystycznego przyjmuje następującą postać:

.

Każdy z czynników można przedstawić graficznie jako różnicę dwóch wektorów, wektora oraz wektora , przedstawiającego k-ty pierwiastek równania charakterystycznego

Rys. Interpretacja graficzna składnika

Funkcję , jako funkcję zmiennej zespolonej, można przedstawić w postaci wykładniczej

,

gdzie

oznacza moduł funkcji , natomiast

oznacza argument funkcji .

              Zmiana argumentu każdego z czynników przy pulsacji zmieniającej się od do wynosi dla pierwiastka położonego w lewej półpłaszczyźnie oraz dla pierwiastka położonego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.

Rys. Zmiana  argumentu składnika przy zmianie od do

              Jeżeli przyjmiemy, że spośród n pierwiastków równania charakterystycznego {n— m) pierwiastków znajduje się w lewej półpłaszczyźnie, a m pierwiastków znajduje się w prawej półpłaszczyźnie, to zmiana argumentu przy zmianie od do wyniesie

.

Ponieważ warunkiem stabilności jest, aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego miały ujemne części rzeczywiste, układ będzie więc stabilny, jeżeli , tzn. jeżeli

              Warunek ten można uprościć, jeżeli wykażemy, że jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych. Podstawiając w równaniu

zapiszemy lewą stronę w postaci

.

Części rzeczywista i urojona wynoszą

Mamy zatem

oraz

Wystarczy więc zbadać przebieg jednej gałęzi krzywej , ...