zadania na kółko.pdf
(
129 KB
)
Pobierz
100 przykładowych zada
ń
dla kółek matematycznych w gimnazjum
ga o wykładniku naturalnym
Zad.1.
Uz
a
s
a
dnij,
ż
e liczb
a
a
= 2
64
– 6
4
jest podzieln
a
przez 10.
Zad.2.
Oblicz:
(
Pot
ę
1
)
8
:
6
5
3
5
2
5
=
2
6
5
5
5
z dzieleni
a
liczby 2
100
przez 3.
Zad.3.
Oblicz reszt
ę
Zad.4.
Oblicz:
6
6
2
2
1
1
6
2
1
0
,
2
:
3
3
3
=
3
5
3
:
2
,
5
6
Zad.5.
Któr
a
z pod
a
nych liczb jest wi
ę
ksz
a
:
a
) 5
8
czy 10
4
20
40
5
1
5
2
b)
czy
?
Odpowied
ź
uz
a
s
a
dnij.
Zad.6
. Uporz
dkuj liczby:
a)
27
4
, 9
7
, 243
2
, 81
5
, 9
8
, 3
18
od n
a
jmniejszej do n
a
jwi
ą
ę
kszej
b)
64
3
, 16
4
, 32
2
, 8
4
, 4
10
, 2
25
od n
a
jwi
kszej do n
a
jmniejszej
c)
2
4
3
,
3
2
6
,
4
4
3
od n
a
jmniejszej do n
a
jwi
ę
ę
kszej
ś
Zad.7.
Dl
a
j
a
kiej w
a
rto
ci k (k jest jedn
z liczb 1,2,3, 4,5,6,7,8,9) spełniony jest w
a
runek
ą
k
k
k
10
+
k
>
?
k
k
Zad.8.
Wiedz
c,
ż
e n jest liczb
n
a
tur
a
ln
a
wi
ę
ksz
od 0, pod
a
j, dl
a
j
a
kich w
a
rto
ś
ci k jest spełniony
ą
ą
ą
w
a
runek k
2n
> k
2n+1
?
Zad.9.
Czy istnieje t
a
k
a
liczb
a
rzeczywist
a
x,
e x
2
> x
4
?
ż
32
50
.
Zad.11.
Przedst
a
w sum
ę
kolejnych liczb niep
a
rzystych
1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99
w post
a
ci kw
a
dr
a
tu pewnej
liczby.
Zad.12.
Uzasadnij,
ci liczb: 13
21
+ 2
Zad.10.
Zn
a
jd
ź
cyfr
ę
jedno
ś
enie 13
18
+ 5
4
– 17
6
jest podzielne przez 5.
ż
e wyra
ż
e liczba postaci 2
n
+ 2
n + 1
+ 2
n + 2
, gdzie n
Zad.13.
Wyka
N jest podzielna przez 14.
Zad.14.
Wyka
ż
,
ż
e suma trzech kolejnych pot
ę
g liczby 4 jest podzielna przez 7 (podobnie jak powy
ż
ej).
Zad.15.
Znajd
ż
,
ż
ci liczby: 13
21
+ 2
32
50
.
ź
cyfr
ę
jedno
ś
8
88
88
+
8
Zad.16.
Wska
ż
ostatni
ą
cyfr
ę
liczby
.
e liczba 123
123
- 57
57
jest podzielna przez 10.
Zad.17.
Uzasadnij,
ż
Pot
ga o wykładniku całkowitym
ę
e liczb
a
(0,1)
-10
+ 111
111
nie jest podzieln
a
przez 10.
Zad.1.
Wyk
a
ż
,
ż
2
1
(10
9
+ 10
8
+ ... + 10
2
+ 1
0
) + 9
0
+
Zad.2.
Czy liczb
a
9
jest wielokrotno
ś
ci
ą
k
a
ż
dej z liczb: 2,5,10?
3
Zad.3.
Z
a
pisz w post
a
ci jednej pot
ę
gi:
1
1
1
3
1
(
0
,
25
)
(
125
)
(
5
)
2
2
81
27
3
3
2
8
5
a
)
b)
c)
=
=
=
1
1
2
128
9
4
0
(
25
)
5
3
20
1
Zad.4.
Doprow
a
d
ź
wyr
a
ż
enie do n
a
jprostszej post
a
ci.
[
a
3
: (
a
2
a
-3
)]
2
: (
a
2
)
4
=
2x
5
5x
2
3
5
Zad.5.
Rozwi
ąż
równanie:
=
.
5
3
Pierwiastki
Zad.1.
Usu
ń
niewymierno
ść
z mianownika nast
ę
puj
ą
cych ułamków:
1
1
a
+
b
a)
b)
c)
.
ab
a
+
b
a
b
Zad.2.
Dla jakich warto
ś
ci
m
prawdziwe s
ą
równo
ś
ci:
m
+
2
5
m
a)
=
2
2
+
3
b)
=
2
2
5
1
2
5
ą
ś
ą
ą
ę
ą
Zad.3
. Uporz
dkuj podane liczby w kolejno
ci rosn
cej (
n
jest lic
zba na
turaln
wi
ksz
od 1):
n
2
n
2
n
+
1
3
n
+
1
8
+
n
1
3
3
e
Zad.4.
Najpierw usu
ń
niewymierno
ść
z mianownika ułamka, a nast
ę
pnie sprowad
ź
wyra
ż
enie do
najprostszej postaci:
a
=
4
,
b
=
8
,
c
=
2
,
d
=
2
,
=
3
6
2
1
6
6
3
+
2
2
+
5
2
1
+
a
3
+
a
9
+
2
8
+
2
+
=
=
+
=
=
a)
b)
c)
d)
5
+
3
3
5
3
3
2
3
5
2
+
3
5
1
3
3
1
+
3
3
4
3
x
4
+
3
x
(
)
(
)
223 23 623 23
+−
++
Zad.5.
Wyka
ż
,
ż
e liczba
jest liczb
ą
całkowit
ą
.
Zad.6.
3
3
1998
1997
Czy liczba
jest liczb
ą
naturaln
ą
?
5
2
3995
1998
1997
Zad.7.
Oblicz:
1
+
2
1
+
2
1
+
2
3
+
2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
Zad.8.
Oblicz:
5
4 1
4
2
37
a)
11
7
+
2322322232223
+⋅
++ ⋅
+++ ⋅
++
b)
2
53
1
32
1
3
(
)
52
+
Zad.9.
Uzasadnij,
ż
e liczb
ą
odwrotn
ą
do liczby:
jest
.
(
)
Zad.10.
Oblicz
3
+
1
5
13
+
48
.
Procenty
Zad.1
. W jakiej proporcji nale
ż
y zmiesza
ć
dwa roztwory solne: jeden o st
ęż
eniu 12% i drugi o st
ęż
eniu
5%, aby otrzyma
ć
roztwór 9% - owy.
Zad.2
. Cen
ę
towaru podwy
ż
szono o 25%. O ile procent nale
ż
ałoby obni
ż
y
ć
now
ą
cen
ę
, aby otrzyma
ć
?
Zad.3
. Uzasadnij,
ż
e je
ś
li cen
ę
zwi
ę
kszymy o p%, a nast
ę
pnie o q%, to otrzymamy taki sam wynik, jak
gdyby
ponownie cen
ę
pocz
ą
tkow
ą
ś
my najpierw zwi
ę
kszyli j
ą
o q%, a nast
ę
pnie o p%.
Zad.4
. Dziewcz
ę
ta twierdz
ą
,
ż
e w
ś
ród wszystkich brunetów w ich szkole tylko 20% jest przystojnych.
I chocia
ż
a
ż
10% brunetów ma niebieskie oczy, to tylko jeden z nich jest przystojny, ale niestety
2
nie jest zbyt rozgarni
ę
ty. On i jeszcze trzech nierozgarni
ę
tych przystojnych brunetów stanowi
ą
25% wszystkich przystojnych brunetów. Ilu jest nieprzystojnych niebieskookich brunetów?
Zad.5.
Antykwariusz kupił ksi
ąż
k
ę
o 35% taniej od ceny umieszczonej na tej ksi
ąż
ce i nast
ę
pnie sprzedał
j
ą
o 25% taniej od ceny umieszczonej na ksi
ąż
ce. Jaki procent zysku osi
ą
gn
ą
ł antykwariusz w tej
transakcji?
Zad.6.
Cena biletu na mecz piłki no
ż
nej wynosiła 150 złotych. Gdy cen
ę
obni
ż
ono okazało si
ę
,
ż
e na mecz
przychodzi o 50% widzów wi
ę
cej, a dochód ze sprzeda
ż
y biletów wzrósł o 25%. O ile obni
ż
ono
cen
ę
biletów?
Zad.7.
Wi
ę
cej ni
ż
94% uczestników kółka matematycznego, na które ucz
ę
szcza Joanna, to chłopcy. Ilu
to kółko?
Zad.8.
Piotr ma 153 cm wzrostu i jest ni
ż
szy od Marcina 15%. Gdy Piotr stan
ą
ł na słupku okazało si
ę
,
ż
co najmniej uczestników musi liczy
ć
e wówczas był wy
ż
szy od Marcina o 15%. Jak
ą
wysoko
ść
miał słupek, na którym stan
ą
ł Marcin?
Zad.9.
Liczb
ę
x zwi
ę
kszono o 10%, a nast
ę
pnie nowo otrzyman
ą
liczb
ę
zmniejszono o 10%. Jaki jest
stosunek otrzymanej liczby do liczby x?
Zad.10.
Przechowywana w zimie marchew traci około 10% swego ci
ęż
aru. Ile kilogramów marchwi
trzeba zgromadzi
ć
jesieni
ą
, by na wiosn
ę
mie
ć
144 kg?
Zad.11.
Jesieni
zgromadzono 100 kg ogórków, które zawierały 99% wody. Po pewnym czasie woda
stanowiła 98%. Ile wówczas wa
ą
ż
yły ogórki?
Zad.12.
W pewnej klasie dziewcz
ę
ta stanowiły 62,5% liczby uczniów. Do klasy przybyła jedna osoba
ta stanowiły 64% liczby uczniów. Ilu chłopców jest w klasie?
Zad.13.
Pole kwadratu zwi
ę
kszono o 150%. O ile % wzrósł obwód tego kwadratu?
Zad.14.
Do roztworu wodnego soli kuchennej o st
i wówczas dziewcz
ę
ęż
eniu 10% dodano jeszcze 0,5 kg soli i otrzymano
roztwór o st
ęż
eniu mniejszym ni
ż
15%. Ile mogło by
ć
kilogramów wodnego roztworu soli?
Zad.15.
Cen
ę
pewnego towaru podniesiono o 25%. O jaki procent nale
ż
y teraz obni
ż
y
ć
cen
ę
, aby
powróciła ona do poprzedniego poziomu?
Układy równa
ń
i nierówno
ś
ci
Zad.1.
Przedstaw ilustracj
ę
graficzn
ą
zbioru rozwi
ą
za
ń
układów:
x
2
y
=
0
3
x
+
y
=
5
3
2
x
+
y
)
=
6
x
30
2
x
y
1
=
0
4
4
a)
b)
c)
d)
2
x
+
3
y
=
6
2
y
5
x
+
y
)
=
9
x
+
2
y
x
=
0
y
+
1
+
=
1
3
6
Zad.2.
Rozwi
ąż
układy równa
ń
metod
ą
podstawiania:
(
x
2
)(
2
+
x
)
+
3
y
=
(
x
3
2
+
y
2
2
2
2
(
x
3
y
+
3
=
(
x
+
2
(
y
+
2
a)
b)
x
+
y
2
x
1
5
3
2
x
+
3
2
y
+
1
x
=
1
x
5
y
+
=
2
3
12
2
2
Zad.3.
Przeprowad
ź
dyskusj
ę
istnienia i liczby rozwi
ą
za
ń
układu z niewiadomymi x i y, w zale
ż
no
ś
ci od
parametrów:
2
x
+
y
=
3
ax
y
=
1
c)
x
+
ay
=
2
d)
x
+
ay
=
3
a)
b)
x
+
ay
=
2
a
x
+
y
=
b
x
y
=
2
b
3
x
2
y
=
5
Zad.4.
Rozwi
ąż
układy równa
ń
:
a
+
b
+
c
+
d
=
2
x
+
y
+
z
=
2
a
+
b
c
=
4
3
x
y
=
2
a
b
+
c
+
d
=
2
a)
x
y
z
=
0
b)
a
+
2
b
+
3
c
=
5
c)
d)
a
b
c
+
d
=
2
x
+
2
y
=
3
2
x
+
y
+
z
=
3
2
a
b
+
c
=
5
2
a
+
b
+
c
d
=
5
Zad.5.
Podaj dwa przykłady prostych prostopadłych i równoległych do danych prostych:
a) y = 3x – 3 b) y = 0,5x c) y = –2x + 6 d) y = –3,2x – 4
3
Zad.6.
Przedstaw ilustracj
ę
graficzn
ą
zbioru rozwi
ą
za
ń
układów:
2
x
+
1
<
3
x
2
x
>
3
x
<
2
x
3
>
2
a)
b)
c)
d)
y
<
1
(
y
+
1
2
y
(
y
3
>
5
y
>
2
2
y
+
4
<
18
Zad.7.
Rozwi
ąż
układ nierówno
ś
ci i zilustruj go na osi liczbowej:
2
2
x
1
<
(
x
+
1
x
+
2
3
x
1
<
2
3
6
Zad.8.
Rozwi
ąż
układy równa
ń
dowoln
ą
metod
ą
:
2
2
2
2
2
x
+
y
)
3
x
2
y
)
=
7
x
2
x
y
=
12
4
x
y
=
16
a)
b)
c)
5
x
+
1
2
y
)
=
4
x
+
y
)
x
y
=
4
2
x
y
=
4
x
+
y
=
3
2
2
y
+
2
(
x
)
=
0
0
x
2
y
=
8
d)
e)
f)
2
2
x
2
=
5
(
2
y
)
x
y
=
2
x
x
2
y
=
2
Zad.9.
Rozwi
ąż
układ równa
ń
:
a
+
b
+
c
+
d
=
10
2
x
+
5
y
+
3
z
=
1
a
b
+
c
d
=
2
a)
b)
0
,
5
x
y
=
2
0
,
7
z
a
+
b
c
d
=
4
11
(
x
y
)
=
12
+
z
a
+
b
+
c
d
=
2
Zad.10.
Rozwi
ąż
w zbiorze liczb naturalnych układ równa
ń
:
xy
xyz
=
++=
28
16
2
2
2
xyz
++=
90
Podobie
ń
stwo, jednokładno
ść
, twierdzenie Talesa
Zad.1.
Uzasadnij,
ż
e przek
ą
tne trapezu dziel
ą
go na dwa trójk
ą
ty podobne i dwa trójk
ą
ty o równych
polach.
Zad.2.
W trójk
ą
cie ABC
ś
rodki boków AB i AC poł
ą
czono odcinkiem DE. Wyka
ż
podobie
ń
stwo
trójk
ą
tów ABC i ADE. Jaka jest skala podobie
ń
stwa?
ą
ń
Zad.3.
Wszystkie kwadraty s
podobne. Jaka jest skala podobie
stwa dwóch kwadratów, z których jeden
ma pole dwukrotnie mniejsze ni
ż
drugi?
Zad.4.
Ada i Tadeusz maj
ą
w Choroszczy działk
ę
rekreacyjn
ą
w kształcie prostok
ą
ta. Na planie tego
miasta wykonanym w skali 1:100000 działka ma wymiary 34cm
×
4,6cm. Oblicz rzeczywiste pole
powierzchni tej działki.
Zad.5.
Karol ma 180cm wzrostu. Na zdj
ę
ciu cała jego sylwetka ma 9cm. Jaka jest skala podobie
ń
stwa
wzrostu chłopca i wysoko
ś
ci jego sylwetki na zdj
ę
ciu?
Zad.6.
Zaproponuj sposób zmierzenia wysoko
ś
ci szkoły.
Zad.7.
Dwa podobne trójk
ą
ty maj
ą
stosunek pól równy 20. Boki mniejszego trójk
ą
ta s
ą
odpowiednio
ta.
Zad.8.
W trapezie równoramiennym ABCD podstawy AB i CD s
ą
równoległe. Po przedłu
ż
eniu ramion
BC i AD otrzymujemy trójk
równe 5, 6, 7.Oblicz boki wi
ę
kszego trójk
ą
ą
t ABM. Maj
ą
c dane |CB| = |AD| = 4, |CD| = 3, |AB| = 5 oblicz |CM|.
Zad.9.
Dany jest trójk
ą
t ABC i jego wysoko
ść
CD. Narysowano prost
ą
równoległ
ą
do AB tak,
ż
e
podzieliła bok BC w stosunku 2 : 3. W jakim stosunku została podzielona wysoko
ść
CD? Wykonaj
odpowiedni rysunek pomocniczy.
4
Zad.10.
Skonstruuj obraz dowolnego pi
ę
ciok
ą
ta ABCDE w jednokładno
ś
ci wzgl
ę
dem punktu dowolnego
wierzchołka o skali k =
–
2
3
.
Zad.11.
Dane s
ą
trzy odcinki a, b, i c takie,
ż
e a > b > c. Podziel odcinek c w stosunku a : b.
Zad.12.
Narysuj w układzie współrz
t ABCD, gdy A = (6,4), B = (– 6, 4), C = (4,
–
4),
D = (– 4,
–
6) oraz jego obraz A’B’C’D’ w jednokładno
ę
dnych czworok
ą
ś
ci wzgl
ę
dem pocz
ą
tku układu
tów.
Zad.13.
Trapez podzielono dwiema liniami równoległymi do podstaw na trzy figury,
z których ka
współrz
ę
dnych i skali k = 0,5. Oblicz pola i obwody tych czworok
ą
S
1
S
2
ż
da jest podobna do dwóch pozostałych. Dane s
ą
pola S
1
i S
3
.
Znajd
ź
pole S
2
.
S
3
Zad.14.
Proste k, l, m s
ą
równoległe. Oblicz długo
ś
ci odcinków a, b i c.
k
l
m
3
2
3
2
c
a
b
3
Zad.15.
a) Jakie współrz
ę
dne ma obraz punktu P = (
–
3,
–
2) przekształconego przez jednokładno
ść
o
rodku w punkcie S = (1,
–
2) i skali 5?
b) Znajd
ś
ź
współrz
ę
dne
ś
rodka jednokładno
ś
ci i jej skal
ę
, je
ś
li obrazem odcinka o ko
ń
cach
A = (
–
1,2) i B = (5,5) jest odcinek o ko
ń
cach A’ = (2,
–
1) oraz B’ = (0,
–
2).
Zad.16.
Trójk
podobne.
Punkty B, C i D s
ą
współliniowe. Wyka
ż
,
ż
e pole P trójk
ą
ta
ACE jest równe
ą
ty ABC i ECD na rysunku obok s
ą
ś
redni
ej geo
metrycznej pól P
1
i P
2
trójk
ą
tów
ABC i ECD, tzn. P =
.
P
P
1
2
Zad.17.
Trójk
ą
t prostok
ą
tny ABC o przyprostok
ą
tnych 5cm i 12cm jest podobny do trójk
ą
ta A’B’C’,
którego obwód wynosi 60cm. Oblicz długo
ś
ci boków trójk
ą
ta A’B’C’.
Zad.18.
Podstawy trapezu maj
ą
odpowiednio 1,2dm i 1,8dm długo
ś
ci. Ramiona trapezu o długo
ś
ciach
ono ramiona?
Zad.19.
W trójk
ą
cie ABC poprowadzono prost
ą
równoległ
ą
do boku AB przecinaj
ą
c
ą
boki AC i BC
odpowiednio w punktach D i E. Wiedz
12cm i 15cm przedłu
ż
ono a
ż
do przeci
ę
cia. O ile przedłu
ż
ą
c,
ż
e |AD| = 1,3cm, |AC| = 3,9cm, |CE| = 2,2cm, oblicz
|BE|.
Zad.20.
W trójk
cy do
boku ML. Czy odcinek AB jest równoległy do boku KM, gdy: |KL| = 16cm, |LM| = 15cm,
|AL| = 10cm, |BL| = 9cm?
Zad.21.
W trójk
ą
cie KLM poł
ą
czono odcinkiem punkt A nale
żą
cy do boku KL i punkt B nale
żą
ą
cie prostok
ą
tnym ABC poprowadzono wysoko
ść
CD. Udowodnij,
ż
e trójk
ą
ty ABC,
ADC, CDB s
ą
podobne (w trójk
ą
cie ABC k
ą
t przy wierzchołku C jest prosty).
Wyra
ż
enia algebraiczne, równania, nierówno
ś
ci, układy równa
ń
Zad.1.
Zapisz w jak najprostszej postaci:
(x – 1)(x
n – 1
+ x
n – 2
+...+ x
2
+ x + 1)
Zad.2.
Uzasadnij,
ż
e ró
ż
nica kwadratu liczby naturalnej i kwadratu liczby o 1 od niej mniejszej jest liczb
ą
nieparzyst
ą
.
5
Plik z chomika:
sir_matin
Inne pliki z tego folderu:
zadania na kółko.pdf
(129 KB)
Inne foldery tego chomika:
I LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
II FUNKCJE
III FIGURY NA PŁASZCZYŹNIE
IV FIGURY PODOBNE
KSIĄŻKI
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin