Matematyka dyskretna 2004 - 04 Rachunek prawdopodobieństwa.pdf

(203 KB) Pobierz
41217326 UNPDF
Matematyka Dyskretna
Andrzej Szepietowski
25 marca 2004 roku
Rozdział 1
Rachunek prawdopodobie nstwa
1.1 Przestrze n zdarze n elementarnych
Podstawowym pojeciem rachunku prawdopodobie nstwa jest przestrze n zdarze n elemen-
tarnych , któr a najczesciej bedziemy oznaczac przez . W tej ksi azce ograniczymy sie
do przypadków, gdy jest zbiorem sko nczonym. Dzieki temu nasze rozwazania bed a
prostsze.
Elementy przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Przykład 1.1 Przypuscmy, ze rzucamy monet a. Przestrze n zdarze n elementarnych moze
byc wtedy okreslona jako =fO; Rg , gdzie O oznacza wypadniecie orła, a R reszki.
Przykład 1.2 W przypadku dwukrotnego rzutu monet a przestrze n zdarze n elementarnych
moze byc okreslona jako =fOO; OR; RO; RRg , gdzie OO oznacza, ze dwa razy
wypadł orzeł; OR , ze za pierwszym razem wypadł orzeł, a za drugiem reszka; RO , ze za
pierwszym razem reszka, a za drugim orzeł; a RR , ze dwa razy wypadła reszka.
Przykład 1.3 Przypuscmy, ze mamy urne z piecioma ponumerowanymi kulami, i ze kule
o numerach 2 i 4 s a białe, a kule o numerach 1 , 3 i 5 s a czarne. Przestrze n zdarze n
elementarnych moze byc zdefiniowana jako =f1; 2; 3; 4; 5g .
Przykład 1.4 Przypuscmy, ze mamy urne jak w poprzednim punkcie i ze losujemy dwie
kule z tej urny. Przestrzeni a zdarze n elementarnych moze tu byc zbiór dwuelementowych
podzbiorów zbioru kul
=ff1; 2g;f1; 3g;f1; 4g;f1; 5g;f2; 3g;f2; 4g;f2; 5g;f3; 4g;f3; 5g;f4; 5gg:
1.1.1 Zdarzenia
Dowolny podzbior A przestrzeni zdarze n elementarnych nazywamy zdarzeniem . Pa-
mietajmy, ze rozwazamy tylko sko nczone przestrzenie zdarze n elementranych. W przy-
padku, gdy jest zbiorem niesko nczonym, konieczna jest inna definicja zdarzenia. Tak
3
4
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobie nstwa
wszystkich podzbiorów zbioru , jest ich 2 jj .
Cały zbiór nazywamy zdarzeniem pewnym , a zbiór pusty ; zdarzeniem niemozliwym .
Zdarzenia rozł aczne, A\B =; , nazywamy wykluczaj acymi sie . Zdarzenie A 0 = A
nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A .
Przykład 1.5 W przykładzie 1.2, z dwukrotnym rzutem monet a, =fOO; OR; RO; RRg ,
mamy 16 = 2 4 zdarze n. Zbiór fOO; ORg jest zdarzeniem polegaj acym na tym, ze za
pierwszym razem wypadł orzeł. Zbiór fOO; OR; ROg , ze orzeł wypadł przynajmniej je-
den raz.
Przykład 1.6 W przykładzie 1.3, z kulami, zbiór f2; 4g oznacza zdarzenie, ze wylosowa-
no kule biał a, a zbiór f1; 2; 3g , ze wylosowano kule o numerze mniejszym od 4 .
Przykład 1.7 W przykładzie 1.4, z losowaniem dwóch kul, zbiór
ff2; 4gg
oznacza zda-
rzenie, ze wylosowano dwie kule białe, a zbiór
ff1; 3g;f3; 5g;f3; 5gg
, ze wylosowano
dwie kule czarne.
1.1.2 Dalsze przykłady przestrzeni zdarze n elementarnych
Podamy teraz inne przykłady przestrzeni zdarze n elementarnych.
Przykład 1.8 Zbiór wszystkich czteroelementowych ci agów z wartosciami O lub R jako
przestrze n dla czterokrotnego rzutu monet a. Zdarzenie, ze za pierwszym i trzecim razem
wypadł orły to fOOOO; OOOR; OROO; ORORg , a zdarzenie, ze za pierwszym i trze-
cim razem wypadło to samo to
fOOOO; OOOR; OROO; OROR; RORO; RORR; RRRO; RRRRg .
Przykład 1.9 Zbiór wszystkich n elementowych ci agów z wartosciami O lub R jako prze-
strze n dla n krotnego rzutu monet a. Podobnie jak w poprzednim przykładzie mozemy roz-
patrywac zdarzenie, ze za pierwszym i trzecim razem wypadł orzeł lub zdarzenie, ze za
pierwszym i trzecim razem wypadło to samo.
Przykład 1.10 Niech G = (V; E) bedzie wybranym ustalonym grafem z jVj= n wierz-
chołkami i jEj= m krawedziami. Jako przestrze n zdarze n elementarnych wezmy zbiór
wszystkich kolorowa n dwoma kolorami wierzchołków grafu G . Przestrze n zdarze n ele-
mentarnych jest zbiorem wszystkich funkcji ze zbioru wierzchołków V w zbiór f1; 2g , czy-
li =f1; 2g V . Przykładem zdarzenia jest zbiór kolorowa n, w których ko nce wybranej z
góry krawedzi e =fu; vg2E maj a rózne kolory
ff2jf(u) 6= f(v)g
.
Przykład 1.11 Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru A w zbiór B , czyli = B A . Przykła-
dem zdarzenia jest zbiór funkcji, które maj a tak a sam a wartosc dla dwóch z góry wybra-
nych punktów a; b2A , czyli ff2jf(a) = f(b)g .
Przykład 1.12 Mamy ustalony zbiór V . Przestrze n zdarze n elementarnych to wszystkie
grafy ze zbiorem wierzchołków V . Zdarzeniem jest zbiór grafów, w których dwa z góry
wybrane wierzchołki s a poł aczone krawedzi a.
wiec zdarzenia s a elementami zbioru 2
1.2. Prawdopodobie nstwo
5
Przykład 1.13 Zbiór liter lub słów wystepuj acych w jakims tekscie, ksi azce lub liscie.
Przykład 1.14 Grupa studencka. Zdarzeniem jest zbiór studentów, którzy otrzymali oce-
n a bardzo dobr a z egzaminu.
Przykład 1.15 Wyborcy. Zdarzeniem s a wyborcy, którzy nie brali udziału w ostatnich
wyborach.
1.2 Prawdopodobie nstwo
R
okreslon a na zbiorze zdarze n (w naszym przypadku na zbiorze wszystkich podzbiorów ).
Kazdemu zdarzeniu A przypisujemy liczbe rzeczywist a P (A) , jego prawdopodo-
bie nstwo. Funkcja ta musi spełniac warunki:
Aksjomaty prawdopodobie nstwa
A1) Dla kazdego A , P (A)0 ,
A2) P () = 1 ,
A3) jezeli zdarzenia A i B s a rozł aczne, to P (A[B) = P (A) + P (B) .
Zbiór zdarze n elementarnych wraz z okreslonym na nim prawdopodobie nstwem be-
dziemy nazywac przestrzeni a probabilistyczn a. W przypadku, gdy przestrze n zdarze n
elementarnych jest zbiorem sko nczonym, wystarczy okreslic prawdopodobie nstwa dla
zdarze n elementarnych. Musz a byc tylko spełnione dwa warunki:
A4) P (!)0; dla kazdego !2 ,
P
!2 P (!) = 1 ,
Prawdopodobie nstwo dowolnego zdarzenia A jest wtedy równe
A5)
X
P (A) =
P (!):
!2A
Łatwo mozna sprawdzic, ze tak zdefiniowane prawdopodobie nstwo spełnia aksjomaty
definicji 1.16.
Przykład 1.17 Dla dwukrotnego rzutu monet a (przykład 1.2) mozemy okreslic takie samo
prawdopodobie nstwo dla wszystkich zdarze n elementarnych
P (OO) = 0:25; P (OR) = 0:25; P (RO) = 0:25; P (RR) = 0:25:
Ale oczywiscie funkcja prawdopodobie nstwa moze byc dowoln a funkcj a spełniaj ac a wa-
runki A4 i A5. Na przykład
P (OO) = 0:27; P (OR) = 0:24; P (RO) = 0; 25; P (RR) = 0; 24
lub
P (OO) = 0:5; P (OR) = 0:3; P (RO) = 0:2; P (RR) = 0:
Definicja 1.16 Prawdopodobie nstwo, lub rozkład prawdopodobie nstwa, jest funkcj a
P : 2 !

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin