wzory algebra(1).docx

(544 KB) Pobierz

Liczby zespolone:

p. kanoniczna: z = a + bi,

p. trygonometryczna i wykładnicza: $C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\postac wykladnicza.png$

sprzężenie liczby: $C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\sprzezenie.png$

Działania na l. zespolonych:

$C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\97c0391e20dabeaa55733bdbb421308d.png$

$C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\7d86ee2b4ebfdd28aea6bbac704d0fc3.png$

$C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\83bf2683276f82dff50db7dd8d6dc278.png$

Postać trygonometryczna(do potęgi): $C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\trygonometryczne do potegi.png$

Postać trygonometryczna pierwiastki:

$C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\trygonometryczne pierwiastki.png$

Mnożenie w postaci trygonometrycznej:

$C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\mnozenie w trygonometrycznym.png$

Postać wykładnicza – obliczanie pierwiastków

$C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\postac wykładnicza pierwiastki.png$

Moduł liczby zespolonej

$C:\Users\Marcin\Desktop\l. zespolone\modul.png$

Macierze:

Własności RZĘDU macierzy

Poniższe operacje nie zmieniają rzędu macierzy (chociaż zmieniają samą macierz):

1. transpozycja

2. odrzucenie wiersza (kolumny) złożonego z samych zer

3. pomnożenie lub podzielenie wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą liczbę różną od zera

4. dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez tę samą liczbę

5. dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) kombinacji liniowej odpowiednich elementów pozostałych wierszy (kolumn)

6. odrzucenie jednego z dwóch wierszy (kolumn) o odpowiednich elementach proporcjonalnych

7. odrzucenie wiersza (kolumny) będącego kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn).

Twierdzenie Kroneckera Capelliego

Niech , , wówczas układ równań liniowych AX=B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rzA=rz[A|B] gdzie [A|B] jest to macierz uzupełniona, powstała z A przez dopisanie do niej kolumny B (wyrazów wolnych) jako ostatniej.

Własności WYZNACZNIKÓW macierzy:

1. Transponowanie macierzy kwadratowej nie zmienia wyznacznika tej macierzy ( detA T = detA )

2. Zamiana dwu wierszy (kolumn) macierzy kwadratowej zmienia wartość wyznacznika tej macierzy na przeciwną.

3. Jeśli w macierzy dwa wiersze (dwie kolumny) są identyczne , to wyznacznik tej macierzy jest zerem.

4. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) przez liczbę α, to det B = α·det A

5. Jeżeli macierz posiada dwa identyczne wiersze (kolumny), wówczas detA = 0,

6. Dodanie do wiersza (kolumny) macierzy kwadratowej wielokrotności innego wiersza (kolumny) nie zmienia wyznacznika tej macierzy.

7. Jeżeli macierz posiada wiersz zerowy (kolumnę zerową), wówczas detA = 0,

8. Zamiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.

9. Twierdzenie Couchy’ego – wyznacznik iloczynu dwu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy: det(A·B) = detA · detB

10. Niech elementy l-tej kolumny (wiersza) wyznacznika będą sumami dwóch składników, wówczas wyznacznik jest sumą dwóch wyznaczników, które mają prócz l-tej kolumny te same kolumny(wiersze), co pierwotny wyznacznik.

11. Zachodzi równość det(A · B) = detA · detB

Macierz odwrotna: A−1 = 1 det(A)· DT

Geometria analityczna:

Plik z chomika:

kanciaqel