Semestr Zimowy 2012/13
Janusz Szczepański ( http://www.ippt.gov.pl/~jszczepa )
Notatki do wykładu na UKW
podczas początkowych wykładów wprowadzimy podstawowe pojęcia Rachunku Prawdopodobieństwa (cz. I)
Na pierwszym wykładzie były omówione definicje prawdopodobieństwa: klasyczna, statystyczna, geometryczna i aksjomatyczna. W kontekście definicji klasycznej konieczna jest pewna znajomość zagadnień kombinatoryki (permutacje, kombinacje, wariacje bez powtórzeń, wariacje z pwtórzeniami.).
Kwintesencją tych definicji (ogólnym matematycznym ujęciem) jest aksjomatyczna teoria prawdopodobieństwa.
Niech oznacza zbiór wzajemnie wykluczających się wyników pewnego doświadczenia. Zbiór ten będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych tego doświadczenie. Elementy tego zbioru będziemy nazywać zdarzeniami elementarnymi.
Natomiast, trójkę gdzie:
1) zbiór (przestrzeń zdarzeń elementarnych),
2) M -ciało (sigma-ciało) podzbiorów (zdefiniowane poniżej),
3) funkcja prawdopodobieństwa P (również zdefiniowaną poniżej),
nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Definicja -ciała
Niepustą rodzinę M podzbiorów przestrzeni nazywamy -ciałem jeżeli spełnione są następujące warunki:
a) Jeśli to dopełnienie A czyli również należy do M.
b) Jeśli każdy zbiór tego ciągu należy do M , to do M należy również ich suma, czyli, że .
Określenie/definicja funkcji prawdopodobieństwa P
Funkcję P określoną na elementach - ciała nazywamy prawdopodobieństwem (miarą probabilistyczną) wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są następujące aksjomaty:
P1. dla każdego zbioru należącego do .
P2. .
P3. Jeżeli ciąg , n = 1,2, ... zdarzeń jest taki, że dla , to
(własność przeliczalnej addytywności).
Zdarzeniem nazywamy dowolny element - ciała (czyli są to wybrane podzbiory ).
Na zdarzeniach obowiązuje klasyczny rachunek zbiorów (suma, iloczyn, dopełnienie zbiorów).
W praktyce, gdy przestrzeń jest zbiorem skończonym to wówczas przyjmuje się, że - ciało M stanowią wszystkie podzbiory zbioru .
Mając jakieś doświadczenie możemy konstruować nowe doświadczenia (na przykład powtarzając to doświadczenie w pewien zadany sposób, na przykład niezależny).
W szczególności tak otrzymuje się schemat Bernoulliego, który będzie omówiony później.
Niech A będzie pewnym zdarzeniem. Załóżmy, że w wyniku doświadczenia wiemy dodatkowo, że zaszło pewne zdarzenie B o m elementach. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A przy tej dodatkowej informacji? Załóżmy, że zdarzenie ma k elementów a wszystkich elementow w jest n.
Naturalnym jest określić takie prawdopodobieństwo następująco:
.
Widzimy, że otrzymany stosunek jest równy
To wyrażenie przyjmuje się jak definicję prawdopodobieństwa warunkowego, zakładamy, że .
Naturalne jest przyjąć, że zdarzenia są niezależne gdy (prawdopodobieństwo A nie zmieniło się chociaż znamy wynik B). Zatem (wykorzystując powyższy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe), zdarzenia A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy .
Ten warunek określa (jest równoważny) niezależność zdarzeń A i B.
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite
Niech będą zdarzeniami w przestrzeni mającymi dodatnie prawdopodobieństwa. Załóżmy, że dla , i, j = 1,2,…,n (zdarzenia parami wyłączające się) oraz, że (czyli, że zdarzenia te są rozłączne i w sumie stanowią całą przestrzeń , jest to rozbicie ). Wówczas dla dowolnego zdarzenia B zachodzi wzór
Wzór Bayesa
Niech będą zdarzeniami w przestrzeni mającymi dodatnie prawdopodobieństwa. Załóżmy, że dla , i, j = 1,2,…,n (zdarzenia parami wyłączające się) oraz, że (czyli, że zdarzenia te są rozłączne i w sumie stanowią całą przestrzeń ). Wówczas dla dowolnego zdarzenia B
Lemat Borela-Cantelli (znany też jako kryterium „zera lub jedności” Borela)
Niech będzie ciągiem zdarzeń niezależnych w przestrzeni probabilistycznej i niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że nastąpi nieskończenie wiele zdarzeń , tzn.
Wówczas lub w zależności od tego, czy jest
czy .
Uwaga
W dowodzie implikacji P(A)=0 nie jest potrzebny warunek niezależności zdarzeń .
Zmienna losowa
Zmienną losową X nazywamy funkcję mierzalną (wyjaśnione poniżej) określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych o wartościach w przestrzeni . W przestrzeni jako - ciało przyjmujemy - ciało zbiorów borelowskich , czyli najmniejsze (ze względu na relację inkluzji) - ciało zawierające wszystkie zbiory otwarte w .
Dość często spotyka się terminologię, że przestrzenią wartości zmiennej losowej jest zbiór liczb rzeczywistych R;
zaś zmienną losową o przestrzeni wartości , n>1 nazywa się wektorem losowym lub wielowymiarową zmienną losową.
Funkcję nazywamy mierzalną gdy przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego w (czyli elementu - ciało zbiorów borelowskich w ) jest zbiorem mierzalnym w (czyli jest elementem - ciała ). Czyli dla każdego zbiór (przeciwobraz).
Określenie/wprowadzenie zmiennej losowej służy do przeniesienia zdarzeń z przestrzeni probabilistycznej do mniej abstrakcyjnej (łatwiejszej do analizy) przestrzeni probabilistycznej na . Gdyż tak naprawdę, w wielu praktycznych sytuacjach interesuje nas zajście danych wartości zmiennej losowej a nie co zdarzyło się na .
Definicja.
Rozkładem prawdopodobieństwa na nazywamy każdą miarę probabilistyczną na .
Następna definicja mówi o tym jak przenieść miarę z na .
Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach w nazywamy rozkład prawdopodobieństwa , określony na zależnością:
, dla każdego .
Przedstawimy teraz sposób na jednoznaczne określenie (opis) rozkładu zmiennej losowej X.
Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa na (otrzymanego poprzez prawdopodobieństwo P) nazywamy funkcję
określoną zależnością:
(w podręcznikach przyjmuje się czasami definicję z nierównością nieostrą (*)
)
1) Funkcja jest funkcją niemalejącą, tzn. gdy to wówczas ,
2) , (t= gdy dla każdego i.
3) Funkcja jest lewostronnie ciągła (albo prawostronnie ciągła gdy przyjmiemy definicję (*) )
Jeśli funkcja spełnia powyższe własności 1), 2), 3) to F jest dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.
Jeśli jest rozkładem prawdopodobieństwa na i dla pewnej funkcji mierzalnej całkowalnej w sensie Lebesgue’a zachodzi:
dla każdego
to funkcję f nazywamy gęstością rozkładu .
Rozkład prawdopodobieństwa , który ma gęstość nazywamy rozkładem ciągłym.
Rozkład na nazywamy dyskretnym gdy istnieje przeliczalny zbiór , dla którego Zatem, żeby jednoznacznie określić ten typ rozkładu należy określić (podać) wartości prawdopodobieństwa przypisane poszczególnym punktom zbioru S.
Dystrybuantę F nazywamy osobliwą wtedy i tylko wtedy gdy jej punkty wzrostu stanowią zbiór o mierze Lebesgue’a równej zero. Punkt x nazywamy punktem wzrostu funkcji F, jeżeli dla każdego jest .
Twierdzenie (Lebesgue’a).
Każdą dystrybuantę F można przedstawić w sposób jednoznaczny, w postaci
gdzie
- jest dystrybuantą (absolutnie) ciągłą
- jest dystrybuantą dyskretną
- jest dystrybuantą typu osobliwego
oraz
i ...
Esta15