Równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach
RN
gdzie , dla .
Aby rozwiązać RN tworzymy RJ
RJ
i wyznaczamy jego układ podstawowy całek.
Rozwiązania poszukujemy w postaci funkcji wykładniczej
.
Wtedy
i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie
zwane równaniem charakterystycznym.
Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego i pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ zupełny całek.
Jeśli równanie charakterystyczne ma
n różnych pierwiastków rzeczywistych ,
wtedy funkcje
tworzą układ podstawowy całek.
n różnych pierwiastków ale wśród nich są pierwiastki zespolone,
wtedy, jeśli
jest pierwiastkiem równania charakterystycznego
stąd funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej
i
są całkami RJ.
Zatem korzystając z twierdzenia
są całkami RJ odpowiadającymi pierwiastkom .
s pierwiastków rzeczywistych ale wśród nich są pierwiastki wielokrotne,
wtedy, jeśli jest k - krotnym pierwiastkiem rzeczywistym równania charakterystycznego, to funkcje
są całkami RJ odpowiadającymi pierwiastkowi r.
pierwiastki zespolone wielokrotne,
- pierwiastek k - krotny
zatem funkcje
są rozwiązaniami RJ odpowiadającymi pierwiastkom .
RN.
Tworzymy równanie jednorodne odpowiadające zadanemu RN
i rozwiązujemy równanie charakterystyczne
Otrzymujemy trzy różne pierwiastki, jeden rzeczywisty o krotności 2, a pozostałe dwa sprzężone, każdy o krotności 1:
Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje
a ich kombinacja liniowa stworzy całkę ogólną RJ
CORJ.
Aby uzyskać rozwiązanie RN, równanie to rozbijamy na dwa równania: RN1, RN2 ; i zastosujemy metodę przewidywań do każdego z nich.
RN1
i wstawiając do RN1 otrzymujemy
czyli
CSRN1.
Podobnie
RN2
stąd
CSRN2.
Zatem
jest CORN.
Przykład
Tworzymy
i równanie charakterystyczne
Pierwiastkom
odpowiadają
rozwiązania RJ.
Aby uzyskać CORN zastosujemy metodę uzmienniania stałych
Stąd
Zatem rozwiązaniem zadanego równania jest
CORN.
Minnie_