wyklad9_2008_tekst.pdf

Wykład8.Przedziałyufno±ciitestowaniehipotez

Agdynieznamywariancji 2 ?

Załó»my,»e X marozkładnormalny,alenieznamywarto±ciani m ani 2 .Jakwtedyszacowa¢warto±¢

±redni¡ m ?

Przypomnijmy,»e

ˆ S 2 = 1

n − 1

n X

( X i − X ) 2

i =1

Wtedystatystyka

X − m

ˆ S

p n

ma rozkład t -Studenta o n − 1stopniachswobody.

U»ywa¢ S czy ˆ S ?

Okre±lili±mydwie,bardzopodobnestatystyki:

S = 1 p n

n X

( X i − X ) 2 , ˆ S = 1

p n − 1

n X

( X i − X ) 2 .

i =1

Statystyka X − m

p n − 1te»ma rozkład t -Studenta

o n − 1stopniachswobody.

Uwaga:Oczywi±cie p nS =

n − 1 ˆ S ,wi¦c

X − m

ˆ S

p n = X − m

n − 1 .

KimbyłStudent?

Pracanatemattegorozkładuzostałaopublikowanawczasopi±mie Biometrika w1908roku.

• Dlaczegopracapodpisanabyłapseudonimem?

• Londyn—najwa»niejszyo±rodekstatystykina±wiecie.

• KarlPearson(1857-1936)wprowadziłnp.termin odchyleniestandardowe ,test 2 -Pearsonaitp.

• EgonPearson(1895-1980)współpracowałzJerzymSpław¡-Neymanem,byłsynemKarlaPearsona.

• WilliamGosset„Student”.

Rozkład t -Studenta

RozkładStudentajest(napierwszyrzutoka)podobnydorozkładunormalnego,majednak„ci¦»kieogony”.

Tablice:np.winternecie(Studentt-distribution).

• Kształtjegog¦sto±cizale»yodliczbystopniswobody.

• Dla n =1maniesko«czon¡warto±¢oczekiwan¡.

• Gdy n !1 ,torozkładStudentazbli»asi¦dorozkładunormalnegotak,»e

• dla n> 30ró»nicapomiedzytymirozkładamijestniewielka.

• TablicerozkładuStudentapodaj¡zwykletylkowarto±cidla n ¬ 30stopniswobody.

Zadanie

Znajd¹dwiesymetrycznewarto±ci − t i t takie,»emi¦dzynimizawierasi¦0,95masyrozkładuStudenta

z11stopniamiswobody.

• Rozwi¡zanie.

• Niech T k oznaczazmienn¡orozkładziestudentaz k stopniamiswobody.

• Szukamytakiego t ,dlaktórego

• P ( T 11 <t )=0 , 975 .

• Ztablic t =2 , 2010.

• Odpowied¹: − t = − 2 , 2010, t =2 , 2010.

Zadanie

Wytrzymało±¢pewnegomateriałubudowlanegomarozkładnormalny N ( m, 2 ).

Pi¦cioelementowapróbawylosowanychsztuktegomateriałudaławyniki:¯ x =20 , 8 N/cm 2 ,ˆ s =2 , 8 N/cm 2 .

Napoziomieufno±ci0,99zbudujprzedziałufno±cidla±redniejm.

Rozwi¡zanie

Nieznamywarto±ciparametru ,apróbamaliczebno±¢ n< 30,wi¦cmusimyu»y¢rozkładu t -Studenta.

• Wiemy,»e

X − m

ˆ S

n − 1

• marozkładStudentao4stopniachswobody.

• Dlapoziomuufno±ci0,99i4stopniswobodyodczytujemyztablic t =4 , 6041

• Zatem

p n − 1 < 4 , 6041

− 4 , 6041 < X − m

ˆ S

=0 , 99 ,

• codajeprzedział(14 , 36;27 , 24).

Aje±liprzedziałjestzbytszeroki?

Zwi¦kszaj¡cliczb¦pomiarówwpróbie,mo»emyzmniejszy¢długo±¢przedziałuufno±ci.

Gdystosujemyrozkład t -Studentapowinni±myzwraca¢baczn¡uwag¦na:

• liczb¦stopniswobody,

• rodzajstatystyki,jak¡stosujemy: S czyte» ˆ S .

• Je±lijestwi¦cejni»30obserwacjiwpróbie,tokorzystamyztablicrozkładunormalnego.

•

Przedziałyufno±cidlafrakcjiwpopulacji

Przypu±¢my,»echcemyoszacowa¢prawdopodobie«stwowyst¡pieniapewnegozdarzenia.Dlaprzykładu

rozwa»myniesymetryczn¡monet¦(lubkostk¦).Jakiejestprawdopodobie«stwo p uzyskaniaorławjednym

rzucie?

• Szukamytutajprawdopodobie«stwa p sukcesuwpróbachBernoulliego.

• Mogliby±myskorzysta¢zrozkładuBernoulliego,alewymagałobytouci¡»liwychrachunków.

• Korzystamyzprzybli»eniarozkładuBernoulliegorozkłademnormalnym:

• gdy Y marozkładBernoulliego B ( n,p )i n jestdu»e,wtedy Y mawprzybli»eniurozkład

• normalny N ( np, ( p np (1 − p )) 2 ).

Zmienna Y

n =cz¦sto±¢wyst¡pieniazdarzeniaw n próbach

q p (1 − p )

2 !

• mawprzybli»eniurozkładnormalny N

• Musimyjaunormowa¢,odejmuj¡c±redni¡ p idziel¡cprzezodchyleniestandardowe

n .Statystyka

•

n − p

q p (1 − p )

mawprzybli»eniurozkład N (0 , 1)(dladostateczniedu»ejliczbyobserwacji n ).

Przykład

Spo±ródstałychmieszka«cówpewnegomiastawylosowanoprób¦prost¡zło»on¡z400osóbiokazałosi¦,»e

w±ródnichjest320osób,któresi¦wtymmie±cieurodziły.

Zbudujprzedziałufno±cinapoziomie0,95dlanieznanegowska¹nikastrukturyˆ p osób,mieszkajacychwtym

mie±cieitamurodzonych.

Rozwi¡zanie

Niech Y b¦dzieliczb¡tychosóbwpróbie,któreurodziłysi¦wtymmie±cie.Poniewa» n =400jestdosta-

teczniedu»e(rz¦dukilkuset),wi¦czmienna

n − p

q p (1 − p )

• mazcałkiemdobrymprzybli»eniemrozkład N (0 , 1).

• Szukamytakiego z ,aby P ( − z <Z<z )=0 , 95.

• Ztablicrozkładunormalnegoodczytujemy z =1 , 96 .

Rozwi¡zanie-c.d.

Zatem

400 − p

@ − 1 , 96 <

q p (1 − p )

400

< 1 , 96

A =0 , 95 ,

• sk¡d,poprzekształceniach—długich,aleniezbyttrudnych,botorównaniekwadratowe,

• otrzymujemyszukanyprzedziałufno±ci

• (0 , 754;0 , 836) .

Wzoryprzybli»onenagraniceprzedziałuufno±ci

Gdy n jestdu»e,toprzedziałufno±cidla p magranice(przybli»one!)

n ± z

1 − Y n

n .

Rozkład 2

Niech X 1 ,X 2 ,...,X n b¦d¡niezale»nymizmiennymilosowymiojednakowymrozkładzienormalnym N (0 , 1).

Wtedyzmienna

q p (1 − p )

320

U n = X 2 1 + X 2 2 + ... + X 2 n

ma rozkład 2 n (czyt.:chi-kwadrat) o n stopniachswobody .

• Rozkładtenjeststabelaryzowany.

• Gdy n !1 ,tozmienna U n marozkładasymptotycznienormalny N ( k, (

2 k ) 2 ).

• Tabelezawieraj¡zwykledanedlaliczbystopniswobodyod1do30.

Rozkładwariancjizpróby

Niech X 1 ,X 2 ,...,X n b¦dzieci¡giemniezale»nychzmiennychlosowychojednakowymrozkładzie N ( m, 2 ).

Zwyklenieznamyani m ,ani ,dlategozamiast 2 u»yjemystatystyki S 2 = 1 n P n i =1 ( X i − ¯ X ) 2 .

Wówczaszmiennalosowa

nS 2

marozkład 2 n − 1 o( n − 1)stopniachswobody.

Zadanie(abstrakcyjne)

Zbudowa¢przedziałufno±cidlanieznanejwariancjirozkładunormalnegonapoziomieufno±ci1 − .

Budowaprzedziałuufno±cidlawariancji

Załó»my,»epobierzemyprób¦liczebno±ci n ,niech X 1 ,X 2 ,...,X n b¦d¡wynikamitejpróby.

Wiemy,»ezmiennalosowa nS 2

2 marozkład 2 n − 1 o( n − 1)stopniachswobody.

• Dlazadanegopoziomuufno±ciszukamywtablicachtakichdwóchliczb u 1 oraz u 2 ,aby

•

u 1 ¬ nS 2

2 ¬ u 2

=1 − .

• Takichparliczbjestniesko«czeniewiele,zwyklewybieramyjetak,aby

P (0 <U<u 1 )=

2 oraz P ( u 2 <U< 1 )=

2 .

Mamywi¦c

u 1 ¬ nS 2

2 ¬ u 2

=1 − ,

sk¡d

nS 2

u 2 ¬ 2 ¬ nS 2

=1 − .

u 1

• Szukanymprzedziałemufno±cijestwi¦cprzedział

•

nS 2

u 2 ; nS 2

u 1

Konkretnyprzykład

Zpopulacjiorozkładzienormalnympobranoprób¦prost¡iotrzymanowyniki:

3,23,74,13,53,0.

Napoziomieufno±ci0,9zbudujprzedziałufno±cidlanieznanejwariancjitegorozkładu.

Rozwi¡zanie

Obliczamy:

5 =17 , 5 / 5=3 , 5

• S 2 = 1 5 ((3 , 2 − 3 , 5) 2 +(3 , 7 − 3 , 5) 2 +(4 , 1 − 3 , 5) 2 +

+(3 , 5 − 3 , 5) 2 +(3 − 3 , 5) 2 )=0 , 74 / 5=0 , 148 .

• Ztablicrozkładu 2 4 zczteremastopniamiswobodyodczytujemy,»e P (0 , 711 < 2 4 < 9 , 488)=0 , 9 .

• St¡dprzedziałemufno±cidla 2 jest

9 , 488 ¬ 2 ¬ 5 · 0 , 148

0 , 711 czyli0 , 28 ¬ ¬ 1 , 02 .

Testowaniehipotez

Idea:

• Chcemyodpowiedzie¢napytaniedotycz¡cepewnej(lubpewnych)populacji.

• Decyzj¦podejmujemywoparciuoprób¦-dysponujemyinformacj¡fragmentaryczn¡.

• Wrezultaciemo»emypopełni¢bł¡dprzypodejmowaniudecyzji.

• Chcemyzminimalizowa¢prawdopodobie«stwobł¦du.

Typowepytania

Pytaniaowarto±ciparametrówwrozkładzie.

• DlapopulacjiorozkładzieBernoulliego:Czyprawdopodobie«stwosukcesuwynosi1/2?(„Czymoneta

jestsymetryczna?”)

• Dlarozkładunormalnego:Czy±redniawpopulacjiwynosi0?Czy±redniawpopulacjiwynosi m ?

Typowepytania

Pytaniaoposta¢rozkładu.

• Czytenrozkładjestrozkłademnormalnym?

• Amo»ejestrozkłademwykładniczym?

• Amo»etojestrozkładBernoulliego?

Pytanieoniezale»no±¢

Czydanedwiecechys¡niezale»ne?

• Naprzykładwagaiwzrost.

• Albowzrostiocenywszkole.

• Albo...

Sposóbformułowaniaodpowiedzi

Nawi¦kszo±¢zpowy»szychpyta«s¡dwiemo»liweodpowiedzi–takalbonie(prawdaalbofałsz).

Pytaniadotycz¡całejpopulacji,doktórejnaogółniemamydost¦pu.Naszadecyzja,któr¡podejmujemyw

oparciuoprób¦,jestzagro»onabł¦dem.

• Zamiast:„Prawda”mówimy:„Woparciuot¦prób¦niemo»emywykluczy¢postawionejhipotezy”.

• Przykład:„Przeprowadzonebadanianiepotwierdzaj¡,»ebadanepopulacjemaj¡ró»ny±rednipoziom

badanejcechy.”(Aleniemo»nawykluczy¢,»eniemaró»nicy).

• ¯ X = 3 , 2+3 , 7+4 , 1+3 , 5+3 , 0

5 · 0 , 148

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: