trygonom 2 z ciągami0001.pdf
(
1424 KB
)
Pobierz
----
Zestaw XIII
(Ciągi liczbowe)
Zestaw XIV
(Trygonometńa)
Zadanie
1.
Oblicz wartość
ażem
.
Zadanie
1. Ciąg
(a,.)
określony jest rekurencyjnie:
=
0~3.(sma - coaa)(sin,8
że sin (a +,8) = 0,8 Oraz coa(a:r;)
- coa,8) wiedząc,
2a,.
+n.
{ :.::
Zadanie
2.
~yznacz zbiór rozwiązań:
a) równenia sin2x - sin
x
=
O
b) nierówno.ści sin2x
>
sinx
a) Oblicz cztery początkowe wrra:zy tego ciągu.
b) Wyznacz
x,
jeśli ciąg
(0-2,
z,
a4)
jest arytmetyczny.
'
w przedziale (O,
2ro).
'
Zadanie 2. Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego równa się 5, a suma wrrazów
od dziesiątego do dwudziestego równa się 22. Znajdź piąty wyraz tego ciągu.
Zadanie
3. Rozwiąż równanie
tg
(x
+
i)
=
tg
Ci -
x)
Zadanie 3. Ciąg (e,
y,
12) jest geometryczny, a ciąg (z,
y,
9) jest arytmetyczny.
wyznacz
x
i
y.
w przedziale (_ ~ ~)
2' 2 .
Zadanie 4. Pewien rosnący ciąg geometryczny składa się z siedmiu wrrazów.
Suma pierwszych trzech wynosi 26, a trzech ostatnich 2106. wyznacz drugi wrraz
tego ciągu.
Zadanie
4 Wyzn
..
.
.
acz naJIlUllejszą i największą wartość funkcji
f(x)
=
coa
2
X -
sin
x
Zadanie
5. Rozwiąż nierówność dl
.
a
x
E
(-1r,1r):
Zadanie
5. Ciąg (3,3~+l,4-1l·
3~) jest geometryczny. Oblicz
x.
.
[coe z]
(coax -
cos~)
~ O.
Zadanie
6. Długości boków trójkąta
prostokątnego
tworzą ciąg arytmetyczny.
Zadame
6.
Oblicz cos 2a wiedz
.
ąc, ze tg a
=
4.
Krótsza przyprostokątna
ma długość 1. Oblicz pole trójkąta.
Zadanie
7. Rozwiąż równanie
Zadanie 7. Dane są dwa ciągi geometryczne
(a,,)
i
(bn)
złożone z jednakowej
liczby wrrazów o ilorazach .odpowiednio równych
qa
i ąt,. Wiadomo, że al = 12
i
qa
=
i
oraz bl
=
6 i
qb
= ~.
Gdyby pomnożyć wrra:zy ciągów
(a,.)
i
(bn)
Z
jed-
nakowymi numerami, to suma wszystkich takich iloczynów byłaby r6wlia 141,75.
Znajdź liczbę wrrazów tych
ciągów.
.
tg 110° .
tg
260° - 2 cos
2x
= O.
Zadanie
8. Oblicz wartość wyr. .
azerua
sina + sin2a + sin3a
2cosa+l
i2.
dla a=
Zadanie 8. Suma początkowych piętnastu wrrazów pewnego ciągu arytmetycz-
nego o wyrazach będących liczbami naturalnymi jest większa od 337 i jednocześnie
mniejsza od 393. ile jest równy ósmy wrraz tego ciągu, jeśli wiadomo, że jest on
wielokrotnością liczby 47
Zadanie
9. De liczb
E
(O 2 )
.
x
,
1T
spełnia równanie sin 2010
x -
cos 1005x?
Zadanie
10. Udowodnij tożsamość
Zadanie 9. Dane jest równanie
x
4
-10,,2 +m = O. Wyznacz te wartości parame-
tru m, dla których równanie to ma cztery pierwiastki, z których można utworzyć
ciąg arytmetyczny.
~_I-tga
l+sin2a-~·
Zadanie
11. Uzasadnij, że sin 10° cos 20° cos 40° = ~
8·
Zadanie
10. Niech Xl i
X2
będą miejscami zerowymi funkcji
f(x)
=
2x2
+px+q,
Zestaw XV
(Trygonometria)
...;6
.(5)..
Ciąg Xl,
4,x2
CIągiem arytmetycznym,
a ciąg (Xl>
-,X2)
ciągiem geometrycz-
nym.
2
a) Wyznacz p i
q.
b) Wyznacz zbiór wartości funkcji
f.
Zadanie
1. Jakie wartości może przyjmować sin z, jeśli
. (
7r)
l
=-27
sin
x+
3
Zadanie 11. Udowodnij twierdzenie:
Jeśli długości boków trójkąta tworzą ciąg
arytmetyczny, to długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa
!
długości wysokości opuszczonej na średni bok tego trójkąta.
=
2 cos
2
X -
cos z,
Zadanie
2. Wyznacz zbiór wartości funkcji
f(x)
3
3. Dla pewnego kąta ostrego
x
wiemy, że tg
x
=
3. Oblicz sin 4x.
Zadanie
Zadanie 4. Wyznacz zbiór rozwiązań:
a) równania 008
2x -
cos
x
=
O
b) nierówności cos
2x
<
cos
x
Zestaw
XIV
Zestaw
XIII
'
w przedziale (O,
21T)?
1. -0,5.
-
,
1. a) 1, 3, 8, 19,
b)x=l1.
Zadanie
5. Rozwiąż równanie
2.
a5
=4,5.
sin
2
x
+ v'3coa
2
X
= (v'3 + l) sin
x
cos
x,
3. {
x
= 3
lub {
x
= 27
Zadanie
6. Wyznacz najmniejsze
dodatnie rozwiązanie (w stopniach)
równania
u=
6
u=
18.
M
=
1,25.
0085° cos
x
+ cos 95° sin
x
=
cos 35°.
4. m
=
-1,
0-2
=
6.
4.
Zadanie
7. Niech
x,y
będą kątami ostrymi
W·"""""··
iecząc, ze smx + smy
= -
oraz
.
4
.
2JE
3
5. x
=
-1.
cos z + 008Y
=
-3-
uzasadnij, że
x
=
y.
6. -~.
6.
p=~.
Zadanie
8. Wykonaj wykres funkcji:
f(x)
=
sin
x .,
sin
x,
+
coe z - [cos e]
7.
x
= ±~
+
k1r,
k
E C.
7. n=6.
dla
x
E (O,
21r).
8. ~.
8.
aB
=24.
Zestaw
XV
9.4020.
1. -:-1 lub
ł.
9. m=9.
l 1/1 1
2
+
2V 2
+
:2
c
o
sa
Zadanie 9. Niech
O S
a
S
tt,
Wyrażenie
prostszej postaci.
zapisz w naj-
10. a) p
=
-5,
q
=
3
b)
f(D)
= (-i,oo). '
10.
2. (-i,3).
11.
Zadanie
10. Wiedząc, że tg a = -2
oblicz wartość
..
3. -0,96.
,
""
wyrazerua:
11.
8in
3
a - 3008
3
a
5sina-cosa·
Zadanie
11. Udowodnij równość _1_
_
v'3
- 4
sin 10°
cos 10° -
.
5.
x
=
i
+
kat ,
x
= ~
+
kn ; k
E
C.
6.
x
=
30°.
9. coa~.
t.
10.
Zestaw XII
(Ciągi liczbowe)
Zestaw XI
(Ciągi liczbowe)
Zadanie
l.
Ciąg
(a,.)
określony jest ~rem
Zadanie
1. Ciąg
(a,.)
jest określony rekureneyjnie
a,.
=
3
n
2
-15n+57'
a) Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
b) Wyznacz największy wyraz ciągu
(a,.).
Zadanie 2. Oblicz sumę wszystkich li b
. . cz naturalnych mniejszych od 10000 które
są podzielne przez 4
I
których cyfrą jedności jest 6.
=2
G.n+l
=
a,. -
n(';+1l"
{al
a)
Wyz;nac:z.
pięć początkowych wyrazów tego ciągu.
b) Znajdź taką liczbę
z;
aby ciąg
(~,x,a5)
byl ciągiem geometrycznym.
c) Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu
(a,.).
'
Zadanie
2. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych,
które są mniejsze od 1000
Zadanie 3. Niech
(b )
będzie skoń . .
dodatnich.
n
czonym ciągiem geometrycznym o wyrazach
:»
Y:W
odn
ij,
że.
bk' ~n-k+l
= ~.
bn,
gdzie 1
<
k
<
n
i
k
E N.
e wartości moze przyjmować wyrażenie lo
oraz są podzielne przez 3 i niepodzielne przez 5.
Zadanie 3. Niech
(a,.)
będzie ciągiem arytmetycznym skończonym.
a) Udowodnij, że
ak
+
a,.-k+l
=
al
+
a,., gdzie 1
<
k
<
n
i
k
E N.
b) Wiadomo, że
a(
+ag
+
al2
+a16
=
224. Znajdź sumę dziewiętnastu począt-
kowych wyrazów tego ciągu.
(b
~
jeśli bu .
b
50
#
l? Odpowiedź uzasadnij.
g"l'b,O
.
ba .....
b
6
0),
l'
Zad~e.
4.
Wiadomo, że suma
n
początkowych wyrazów pewn
.
()
ego Ciągu
a,.
wyraza. Się wzorem
Zadanie
4.
Wiadomo,
że suma
n
początkowych
wyrazów pewnego ciągu
(a,.)
4
n
-1
Bn=-3-'
a) Wyznacz wzór na wyraz ogólny tego ciągu.
b) Wykaż, że ciąg
(a,.)
jest ciągiem geometrycznym.
wyraża się wzorem
8
n
=2n
2
+3n.
a) W'j'ZDN:Zwzór na wyraz ogólny tego ciągu.
b) Wykaż, że ciąg
(a,.)
jest ciągiem arytmetycznym.
z2 _ •
.2) ~.
arytmety
Z~d~e
5.
Ciągi
(l,y,z)
oraz
(l,y2
-1
różnicę drugiego ciągu.
.
czne.
Wyznacz
,y
v-e
Zadanie
Niech (CJ,OJ,C3,C4,Q;) będzie ciągiem geometrycznym
o wyrazach
5.
róźnych od O, a (C5,6c3,27cl) ciągiem arytmetycznym.
Wyz;nac:z.
wszystkie moż-
Zadanie
6.
W ·kąt o mierze 600
.
kol
"
kola tak
.
każd
.
wpisano
o, a następnie dopisano jeszcze cztery
liwe wartości ilorazu ciągu
(en)·
, ze
e następne Jest styczn
ętrzni
d
kąta..
e zewn
e
o poprzedniego i do ramion
Zadanie
6.
Wiadomo,
że miary kątów wewnętrznych
pewnego wielokąta wy-
a) U~~j, że długości promieni tych kól two~ą ciąg geometryczn
b) Oblicz, ile razy suma p61 wszystkich
pukłego tworzą ciąg arytmetyczny.
Największy kąt ma. miarę 171
0,
a różnica. 6
0•
.
.
kół"
y.
a)
Wyz;nac:z.
liczbę boków tego wielokąta.
b) TIeprzekątnych ma. ten wielokąt?
mniejszego kola.
pięciu
Jest WIększa od pola naj-
jest ciąg arytmetyczny, w kt6rym a4
=
4 5 i as
=
6
Zadam~~"::_~any
Zadanie 7. Liczby a,
b,
c tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny o różnicy
5. Liczba. a jest wielokrotnością liczby 5. Uzasadnij, że iloczyn abc jest wielokrot-
nością 750.
--
Zadanie
a
••~~
wzór ogólny tego ciągu.
,.
b) Wiadomo, że
B2n
=
261. Oblicz
n.
8. Rozwiąż równanie
Zadanie 8. TIoraz pe . . ~
wodnij' . każd·· wnego CIągu geometrycznego wynosi
q
= ~
Ud
, ze y wyraz tego ciągu 2 .
o-
sumie dwóch poprzednich wyrazów.' począwszy od wyrazu trzeciego, jest równy
=
133 - (5,5 +7
+
8,5 + ... + (4+
l,5n»,
3+6+
9+ 12+ ...
+3(n
-1)
gdzie
n
E N.
Zadanie 9. Dana jest funkcja
f(x)
=
cos2x.
a) Wyznacz miejsca. zerowe funkcji
t.
b) Oblicz sumę wszystkich miejsc zerowych funkcji
f
należących do przedziału
(-Hm,201r).
Zadanie
9
Wyzn
.
.
acz pIerwszy wyraz i ilo
.
rym b
l
+
b
4
=
27 i
bz _
ba +
b
4
=
18.
raz ciągu geometrycznego
(bn),
W
kt6-.
Zadanie
10. W pewnym
.
.
Ciągu geometrycznym
I'
z6w, iloczyn pierwszego
i
astat
.
' z .ozonym z
2n
dodatnich wyra-
mów dziesiętnych wszystkich
mego wyrazu
~081
10000. Znajdź sumę logaryt-
wyrazów tego CIągu.
Zadanie
10. Dane jest równanie
2x2
+
(m -
l)x -
m
2
=
O.
Zadanie
11.
Liczby al
a
.
2,· .. ,
a,.
są wyrazaou ciągu geometrycznego.
,
że:
Wykaż,
Bn
=
al . a,. . (~
+ ~ + '" + ~)
Wyznacz te wartości parametru m, dla których kolejne liczby: 1, suma. pierwiast-
k6w, suma. odwrotności pierwiastków tego równania, tworzą ciąg geometryczny.
al
a2
a,.
,
A_'-
.
gdzie
Bn
jest
SIllIU!:
n
początkowych
wyr-..w
tego ciągu.
Zadanie
11.
W pewnym ciągu arytmetycznym
suma
m
początkowych
wyra-
_
zów jest równa sumie
n
początkowych wyrazów (m
#
n).
Wykaż, że suma m
+
n
_
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa. O.
-----------------~
Zestaw
XII
1. a) ciąg nie jest monotoniczny,
b)
a-,
=
as
=
3.
Zestaw
Xl
2.5006000.
Odpowiedzi
3. b)
30.
4.
a) ""
=
4
n-
l.
2. 133668.
3. 819
=
1064.
5. r=2.
4. a) a,.
=
4n
+
1.
6. 7381 razy.
7.
a) ""
=
in+~,
b)
n
=
12.
5.
q
E
{-3,-v'3,v'3,3}.
6. a)
io,
b) 35.
8.
7.
9. bl
=
3,
q
=
2.
8.
n=7.
10.4n.
9. a)
x
=
i
+
lif.
b) 860
=
3O(}rr.
11.
10. m
=
1 lub m
=
2.
11.
Plik z chomika:
HanalZuO
Inne pliki z tego folderu:
trygonometria powtorzenie.pdf
(1736 KB)
trygonom 2 z ciągami0001.pdf
(1424 KB)
teoria kwadratowa0001(1).pdf
(954 KB)
teoria kwadratowa0001.pdf
(954 KB)
teoria ciagi.pdf
(1504 KB)
Inne foldery tego chomika:
Angielski
Polski
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin