Wykład 3 - Analiza kinematyczna mechanizmów płaskich - metoda analityczna.pdf

(220 KB) Pobierz
2
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 1
ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMìW PŁASKICH
METODA ANALITYCZNA
Analiza kinematyczna mechanizmw dźwigniowych metodą wieloboku
wektorowego
W opisywanej metodzie łańcuch kinematyczny dowolnego płaskiego
mechanizmu dźwigniowego przedstawia się w postaci zamkniętego
wieloboku wektorowego (Rys. 1), ktry określa chwilowe położenie
członw.
Każdy z wektorw i
I tego wieloboku zdefiniowany jest we wspłrzędnych
biegunowych przez dwa parametry : długość wektora
I
i
I
i
oraz kąt i
określający jego kierunek.
Rys. 1. Mechanizm dźwigniowy Rys. 2. Określanie kątw w metodzie
jako wielobok wektorowy wieloboku wektorowego
jest to taki kąt o jaki należy obrcić oś x układu
wspłrzędnych Oxy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazwek zegara w
prawoskrętnym układzie w s płrzędnych aby jej dodatni zwrot pokrył się z
dodatnim zwrotem wektora i
I co przedstawiono na Rys. 2.
Przy takiej umowie wspłrzędne wektora
I
i
(
I
ix
,
I
iy
)
wynoszą zawsze:
I
ix
I
i
cos
i
,
I
iy
I
i
sin
i
(1)
a znaki wspłrzędnych są określone poprzez znaki funkcji
sin i
i
cos .
i
Mechanizm płaski zdefiniowany jest przez zamknięty wielobok składający
n
I
0
∑ =
się z n wektorw, co zapisujemy następująco:
i
(2)
i
1
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Dodatni kąt i
235828798.018.png 235828798.019.png 235828798.020.png
 
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 2
Wielobok wektorowy zbudowany na
członach mechanizmu posiada
2
⋅ ⋅
n parametrw .
n
I
0
(2)
∑ =
i
i
1
Rys. 1. Mechanizm dźwigniowy jako wielobok wektorowy
Wielobok wektorowy opisany rwnaniem (2) po zrzutowaniu go na osie
płaskiego układu wspłrzędnych odpowiada dwm rwnaniom skalarnym:
n
l
0
,
n
l
cos
0
ix
i
i
(3)
i
1
i
1
n
l
0
,
n
l
sin
0
iy
i
i
(4)
i
1
i
1
Ponieważ układ rwnań (3), (4) musi być oznaczony, na jego podstawie
można wyznaczyć dwa szukane parametry geometryczne np. dwie
długości, długość i kąt lub dwa kąty. Pozostałe 2n - 2 parametry muszą być
zatem znane i należy je przyjąć jako dane w momencie definiowania
mechanizmu.
Po zrżniczkowaniu rwnań (3), (4) względem czasu otrzymujemy układy
rwnań:
n
dl
ix
0
,
n
dl
iy
0
(5)
dt
dt
i
1
i
1
n
d
2
l
n
d
2
l
iy
ix
0
,
0
oraz
(6)
2
2
i
1
dt
i
1
dt
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
235828798.001.png 235828798.002.png 235828798.003.png 235828798.004.png
 
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 3
Z układu rwnań (5) wyznacza się dwie szukane prędkości liniowe lub kątowe
a na podstawie (6) dwa szukane przyspieszenia liniowe lub kątowe .
Przy rżniczkowaniu układu (5) względem czasu mogą zajść dwa przypadki:
a) długość danego członu jest stała
l i
const
, wtedy
dl i
d
2
l
i
0
oraz
0
, (7)
dt
dt
2
b) długość danego członu jest zmienna
l i
const
, wtedy
dl i
d
2
l
i
0
oraz
0
(8)
dt
dt
2
dl i określa prędkość
liniową skracania lub wydłużania się danego wektora reprezentującego
człon. Kierunek tej prędkości pokrywa się z kierunkiem członu.
Dla prowadnic prostoliniowych wyrażenie
dt
d
2
l
i
Wyrażenie
określa przyspieszenie liniowe wynikające ze skracania
2
dt
lub wydłużania się danego wektora reprezentującego człon. W przypadku
d
2
l
i
członw prostoliniowych (prowadnic) przyspieszenie
jest
2
dt
przyspieszeniem stycznym leżącym na linii danego członu a jego kierunek
jest
zgodny
z kierunkiem prędkości.
Zachodzą cztery możliwe przypadki zmian prędkości i przyspieszenia:
dl
i
t
i
d
2
l
i
v
0
,
a
0
- wektor i l reprezentujący element
a)
i
dt
2
dt
zwiększa swą długość i na tej podstawie określamy graficznie zwrot
prędkości końca tego wektora. Przyspieszenie styczne
a i prędkość v
mają zwroty zgodne,
dl
i
i
d
2
l
i
v
0
,
a
0
- wektor i l reprezentujący element
b)
i
dt
dt
2
zmniejsza swą długość i na tej podstawie określamy graficznie zwrot
prędkości końca tego wektora. Przyspieszenie styczne
a i prędkość v
mają zwroty zgodne,
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
235828798.005.png 235828798.006.png 235828798.007.png 235828798.008.png 235828798.009.png 235828798.010.png 235828798.011.png 235828798.012.png
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 4
dl
i
i
d
2
l
i
v
0
,
a
0
a ma
i
c)
i
- wektor przyspieszenia stycznego
dt
dt
2
zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości v . Element zwiększa dłu-
gość.
dl
i
i
d
2
l
i
d)
v
0
,
a
0
- wektor przyspieszenia stycznego
a
i
ma
i
dt
dt
2
zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości i
v . Element zmniejsza dłu-
gość.
Powyższe rozważania mają rwnież zastosowanie dla każdej wspłrzędnej
wektora ix
l oraz iy
l
.
Obliczając pochodne kątw i
względem czasu otrzymujemy odpowiednio:
ω =
i
d
i
- prędkość kątową wektora reprezentującego człon,
dt
d
i
d
2
i
i
- przyspieszenie kątowe wektora reprezentującego
dt
dt
2
człon.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
235828798.013.png 235828798.014.png 235828798.015.png
Teoria maszyn i mechanizmw Kinematyka mechanizmw. Metoda analityczna 5
Przykład 1. Mechanizm korbowo-suwakowy
Mechanizm można zapisać trzema wektorami w sposb pokazany na Rys. 3. Należy
zatem przyjąć 2
3 Î 2 = 4 parametry.
Dane:
1
1
(
t
),
0
,
AB
l
1
,
BC
l
2
Szukane:
x
C
x
C
(
t
),
ϕ =
2
2
(
t
)
,
v
C
v
C
(
t
),
2
2
(
t
)
,
a
C
a
(
t
),
ε =
2
(
t
)
Rozwiązanie
l zmienia swoją długość w czasie ru-
chu mechanizmu. Wpisujemy wielobok wektorowy w kontur mechanizmu i oznaczamy po-
łożenia kątowe poszczeglnych wektorw względem osi Ox za pomocą kątw skierowa-
nych.
l
1
,
l
2
mają stałą długość. Wektor 0
Rys. 3. Wielobok wektorowy mechanizmu korbowo-suwakowego
Opisujemy wielobok wektorowy rwnaniem wektorowym:
(P1.1)
Następnie piszemy odpowiednie rwnania skalarne:
l
1
l
2
l
0
0
l
1
cos
1
l
2
cos
2
l
0
0
(P1.2)
l
1
sin
1
l
2
sin
2
0
(P1.3)
Przyjmując oznaczenie mamy z (P1.3) mamy:
l
1
l
2
sin
2
l
1
sin
1
sin
1
P1.4)
l
2
i stąd
2
arc
sin(
sin
1
)
(P1.5)
Dalej oznaczymy:
A
cos
2
1
sin
2
2
1
2
sin
2
1
(P1.6)
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
C
2
Dwa wektory
235828798.016.png 235828798.017.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin