Przykładowe zadania dotyczące kombinatoryki
Zad.1.
Na ile różnych sposobów można posadzić pięć osób na pięciu numerowanych miejscach?
Rozwiązanie:
Tworzymy pięciowyrazowe ciągi ze zbioru pięciu różnych elementów. Każdy taki ciąg odpowiada jednemu z możliwych sposobów posadzenia pięciu osób na pięciu numerowanych miejscach. Utworzone ciągi są permutacjami z pięciu elementów. Permutacji tych jest
P5=5!=120.
Odp. Pięć osób na pięciu numerowanych miejscach można posadzić na 120 sposobów.
Zad.2. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których żadna cyfra nie powtarza się?
Tworzymy ciągi 4-elementowe ze zbioru 10-elementowego. W każdym z utworzonych ciągów elementy nie mogą się powtarzać. Liczba różnych 4-elementowych ciągów, w których elementy się nie powtarzają, równa jest liczbie wariacji bez powtórzeń z 10 elementów po 4 elementy
Musimy od obliczonej liczby wariacji odjąć liczbę takich wariacji, które na początku mają zero. Ponieważ ilości liczb 4-cyfrowych się cyfrą 0, 1, 2,..., 9 są równe, więc od otrzymanej liczby wariacji V104 musimy odjąć jej dziewiątą część
V104 – 0,1× V104 = 4536
Odp. Istnieje 4536 liczb czterocyfrowych, w których żadna cyfra nie powtarza się.
Zad.3.
Ile co najmniej liczb 5-cyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2 i 8?
Tworzymy ciągi 5-elementowe ze zbioru 3-elementowego. Elementy mogą się powtarzać. Liczba różnych 5-elementowych ciągów równa jest liczbie wariacji z powtórzeniami z 3 elementów po 5
W35= 35 = 243
Odp. Z cyfr 1, 2 i 8 można utworzyć 243 liczby 3-cyfrowe.
Zad.4.
Przypuśćmy, że numery rejestracyjne samochodów składają się z trzech liter i czterech cyfr albo z czterech liter i trzech cyfr. Ile można utworzyć różnych numerów rejestracyjnych obu tych rodzajów, jeżeli korzysta się z alfabetu 24-literowego?
Mamy dwa przypadki: numery rejestracyjne o 3 literach i 4 cyfrach oraz numery o 4 literach i 3 cyfrach.
Tworzymy ciągi 3-elementowe ze zbioru 24-elementowego i każdy z takich ciągów dołączamy do dowolnego 4-elementowego ciągu ze zbioru 10 elementów. W ten sposób możemy utworzyć
W243 × W104 = 243 × 104
Numerów rejestracyjnych pierwszego rodzaju jest 243 × 104 .
Tworzymy ciągi 4-elementowe ze zbioru 24-elementowego i każdy z takich ciągów dołączamy do dowolnego 3-elementowego ciągu zbioru 10 elementów. W ten sposób możemy utworzyć
W244 × W103 = 244 × 103
Numerów rejestracyjnych drugiego rodzaju jest 244 × 103 .
Odp. Można utworzyć 243 × 104 + 244 × 103 różnych numerów rejestracyjnych obu rodzajów.
Zad.5.
Ile nastąpi powitań, gdy jednocześnie spotka się 8 znajomych osób?
Liczba wszystkich osób n=8, natomiast k=2 jest liczbą osób, które uczestniczą w jednym powitaniu. Porządek dwóch osób witających się nie odgrywa roli, a zatem szukana liczba równa się liczbie kombinacji 2-elementowych ze zbioru 8 różnych elementów. Zatem otrzymujemy
Odp. Nastąpi 28 powitań.
Zad.6.
W urnie znajduje się 9 kul oznaczonych cyframi 1, 2, ..., 9. Wyjmujemy 3 kule. W ilu przypadkach suma napisanych na nich cyfr jest nie mniejsza niż 9?
Liczbę mniejszą niż 9 można rozłożyć na sumę trzech różnych składników naturalnych na 4 sposoby: 6=1+2+3, 7=1+2+4, 8=1+2+5 i 8=1+3+4. Ponieważ spośród 9 kul można wyjąć trzy na C93 sposoby, więc liczba przypadków, o których mowa w zadaniu wynosi
C93 – 4 = 84 – 4 =80
Odp. Suma napisanych na wylosowanych kulach cyfr jest nie mniejsza niż 9 w 80 przypadkach.
Zadanie1
Z grupy 3 kobiet i 4 mężczyzn wybieramy trzy osoby. Na ile sposobów można wybrać dwie kobiety i trzech mężczyzn?
Zadanie2
Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród nich mają być:
a) trzy kiery,
b) co najwyżej trzy kiery,
c) dwa kiery, jeden pik i jeden trefl?
Zadanie3
W urnie jest 7 kul białych, 2 czarne i 1 zielona. Ile jest możliwych sposobów wyboru dwóch kul z tej urny, aby kule były różnych kolorów?
kaka93pl