Hiperbola. Przesuwanie hiperboli

              Krzywą , która jest wykresem funkcji f(x) = , gdzie a ¹ 0 nazywamy hiperbolą. Hiperbola składa się z dwóch rozłącznych części, zwanych gałęziami hiperboli.

Wykres funkcji y = (a ¹ 0) zbliża się do obu osi układu współrzędnych (punkty tego wykresu mogą leżeć dowolnie blisko tych osi). Prosta x = 0 nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f(x) = , a prosta y = 0 nazywamy asymptotą poziomą tego wykresu.

Własności funkcji y = ,  gdy a > 0:

1.  Gałęzie hiperboli y = leżą w I i III ćwiartce układu współrzędnych.

                                                                                         Asymptota pozioma                                                                     

                                                                           asymptota pionowa

2.      Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera, czyli D = R \ {0}.

3.      Zbiór wartości to zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera, czyli Y = R \ {0}.

4.      Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

5.      Funkcja jest malejąca dla xÎ (-¥; 0) oraz dla xÎ(0; +¥).

6.      Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x Î (0; +¥).

7.      Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla xÎ (-¥; 0).

Własności funkcji y = ,  gdy a < 0:

1.      Gałęzie hiperboli y = leżą w II i IV ćwiartce układu współrzędnych.

Asymptota pozioma

          asymptota pionowa

2.      Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera, czyli D = R \ {0}.

3.      Zbiór wartości to zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera, czyli Y = R \ {0}.

4.      Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

5.      Funkcja jest rosnąca dla xÎ (-¥; 0) oraz dla xÎ(0; +¥).

6.      Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x Î (-¥; 0) .

7.      Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla xÎ(0; +¥).

Jeśli wykres funkcji f(x) = przesuniemy wzdłuż osi x  o p jednostek oraz wzdłuż osi y o q jednostek, wówczas wzór naszej funkcji przyjmuje postać f(x) = . Jeśli przesuniemy ramiona hiperboli, to przesuwamy również asymptoty tej krzywej. Zatem asymptota pozioma przyjmuje równanie x = p, a asymptota pionowa ma równanie y = q.

Przykład

Naszkicuj wykres funkcji f(x) = .

Dziedzina funkcji jest zbiór tych x, dla których x Î R i x + 1 ¹0, czyli d = R\{-1}.

Asymptoty to : x = -1 i y = 2.

Rysujemy najpierw wykres funkcji  y = , a następnie przesuwamy go o 1 jednostkę w lewo i 2 jednostki w górę.

y = -5/x

Po przesunięciu

              Każda hiperbol ma dwie osie symetrii. Wierzchołkami hiperboli nazywamy punkty hiperboli, które leżą na jednej z tych osi. Wierzchołki hiperboli   y = leżą na przecięciu tej hiperboli z prostą y = x (gdy a > 0) lub y = -x  (gdy a < 0).

Przykład

              Znajdź współrzędne wierzchołków hiperboli y = -.

              Ponieważ a <0   (a = -2), osią symetrii jest prosta o równaniu y = -x. Zatem rozwiązujemy układ równań:

- = -x /×x

-2 = -x2 /×(-1)

x2 = 2

x =    oraz x = -.

Stąd wierzchołki to punkty o współrzędnych    oraz  

              Ćwiczenie 1

              Rozwiąż  zadania 1- 9  str. 39 - 41 z podręcznika.