Równania różniczkowe zwyczajne - wykład dla studentów.pdf - Równania różniczkowe - maly_smok

ROWNANIA ROZNICZKOWE ZWYCZAJNE

WYKLAD DLA STUDENTOW NA KIERUNKU AUTOMATYKA I ROBOTYKA - WERSJA ROBOCZA (4 LIPIEC 2003)

BOGUSLAW BOZEK

1 AGH KRAKOW, WYDZIAL MATEMATYKI STOSOWANEJ

SPIS TRESCI

1 WPROWADZENIE

2 ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ

3 TWIERDZENIA O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOSCI

4 PROSTE TYPY ROWNAN ROZNICZKOWYCH SKALARNYCH 13

4.1 ROWNANIE ROZNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 ROWNANIE JEDNORODNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3 ROWNANIE ROZNICZKOWE ZUPELNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3.1 CZYNNIK CALKUJ ACY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 ROWNANIE CLAIRAUTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 LINIOWE ROWNANIA ROZNICZKOWE 19

5.1 ROWNANIA I UKLADY ROWNAN ROZNICZKOWYCH LINIOWYCH . . . . . . . . . . . . 19

5.2 SKALARNE ROWNANIE LINIOWE RZ EDU PIERWSZEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.3 ROWNANIE BERNOULLIEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4 ROWNANIE RICCATIEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.5 ROWNANIE LAGRANGE'A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.6 SKALARNE ROWNANIE ROZNICZKOWE LINIOWE

N-TEGO RZEDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.7 OBNIZANIE RZEDU ROWNANIA LINIOWEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.7.1 WZOR LIOUVILLE'A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.7.2 ROWNANIA WYZSZYCH RZEDOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.8 NIEJEDNORODNE ROWNANIE ROZNICZKOWE LINIOWE

N-TEGO RZEDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.9 ROWNANIE LINIOWE N-TEGO RZEDU O STALYCH WSPOLCZYNNIKACH . . . . . . . . . 27

5.10 METODA PRZEWIDYWAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.11 UKLAD SKALARNYCH ROWNAN ROZNICZKOWYCH LINIOWYCH RZ EDU PIERWSZEGO . . . 29

5.12 UKLADY ROWNAN LINIOWYCH O STALYCH

WSPOLCZYNNIKACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.12.1 METODA WARTOSCI I WEKTOROW WLASNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.12.2 SPROWADZANIE MACIERZY UKLADU DO POSTACI JORDANA . . . . . . . . . 33

5.13 ROWNANIE RUCHU HARMONICZNEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 ROZWI AZANIA W POSTACI SZEREGOW FUNKCYJNYCH 37

6.1 ROZWI AZANIA W POSTACI SZEREGOW POT EGOWYCH . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 ROWNANIA ROZNICZKOWE LINIOWE RZ EDU DRUGIEGO . . . . . . . . . . . . . . . . 39

SPIS TRESCI

7 STABILNOSC ROZWI AZAN ROWNAN ROZNICZKOWYCH 41

7.1 PODSTAWOWE DE¯NICJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 TWIERDZENIE LAPUNOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.3 PROBLEM ROUTHA{HURWITZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.4 PUNKTY OSOBLIWE ROWNANIA ROZNICZKOWEGO ZUPELNEGO . . . . . . . . . . . . 45

8 TRANSFORMATA LAPLACE'A 47

8.1 PODSTAWOWE DE¯NICJE I TWIERDZENIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2 WYZNACZANIE TRANSFORMATY ROWNANIA ROZNICZKOWEGO . . . . . . . . . . . . . 48

8.3 WYZNACZANIE FUNKCJI NA PODSTAWIE JEJ TRANSFORMATY . . . . . . . . . . . . . 49

9 DODATEK 53

9.1 TABLICE TRANSFORMAT LAPLACE'A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.2 PRZYKLADOWE TEMATY ZADAN EGZAMINACYJNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ROZDZIAL 1

WPROWADZENIE

ROWNANIEM ROZNICZKOWYM NAZYWAMY ZWI AZEK MIEDZY PEWN A NIEZNAN A FUNKCJ A, A

JEJ POCHODNYMI; GDY FUNKCJA NIEWIADOMA JEST FUNKCJ A JEDNEJ ZMIENNEJ, TO MOWIMY O

ROWNANIU ROZNICZKOWYM ZWYCZAJNYM, W PRZECIWNYM WYPADKU O ROWNANIU ROZNICZKOWYM

CZ ASTKOWYM. ZWI AZEK POSTACI

F(T;X(T);X

(T);:::;X (N) (T)) = 0

NAZYWAMY ROWNANIEM ROZNICZKOWYM ZWYCZAJNYM N-TEGO RZ EDU, JESLI LEWA STRONA ISTOTNIE

ZALEZY OD X (N) . NIE MUSI OBA ZALEZEC OD X I T. PRZYKLADOWO ROWNANIE

000

+ T(X

) 30 ¡E X SIN T = 0

JEST ROWNANIEM ROZNICZKOWYM RZ EDU TRZECIEGO. FUNKCJA X MOZE BYC FUNKCJ A SKALARN A,

ALBO WEKTOROW A.

ROWNANIA ROZNICZKOWE W ZAGADNIENIACH TECHNICZNYCH POWSTAJ A NA OGOL W WYNIKU

STOSOWANIA NASTEPUJ ACYCH METOD POSTEPOWANIA:

A) PRZEDSTAWIANIA PRAW ¯ZYKI W POSTACI MATEMATYCZNO-ANALITYCZNEJ.

B) PRZEDSTAWIANIA ZWI AZKOW GEOMETRYCZNYCH W POSTACI ANALITYCZNEJ.

C) RUGOWANIA PARAMETROW Z N-PARAMETROWEJ RODZINY FUNKCJI I N ROWNOSCI.

AD A) NIECH V :

R £ R 3 ¾ [T 0 ;T] £ R 3 3 (T;X) ! V(T;X) 2 R 3

BEDZIE ZADANYM

= V(T;X) OPISUJE RUCHY CZ ASTEK UNOSZONYCH W POLU V. JESLI

DODATKOWO PRZYJ AC WARUNEK X(T 0 ) = X 0 , TO X(T) JEST POLOZENIEM W CHWILI T TEJ CZ ASTKI,

KTORA W CHWILI T 0 ZNAJDOWALA SIE W PUNKCIE X 0 .

AD B) NIECH Y = F(X). WIELKOSC

1 + (Y

) 2

½(A) =

(A)

JY 00 J

NAZYWAMY PROMIENIE KRZYWIZNY, A JEJ ODWROTNOSC

½ (A) KRZYWIZN A W PUNKCIE A. ROWNANIE

ROZNICZKOWE

JY 00 J

(1 + (Y 0 ) 2 ) 2

= A

R 3 A ¸ 0

JEST ZADEM ROWNANIEM ROZNICZKOWYM, KTOREGO ROZWI AZANIEM S A KRZYWE O STALEJ KRZYWIZNIE

ROWNEJ A.

AD C) ROZWAZMY RODZINE OKREGOW

(X¡A) 2 + (Y ¡B) 2 = R 2 ;

(1.1)

POLEM PREDKOSCI. ROWNANIE X

Równania różniczkowe zwyczajne - wykład dla studentów.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: