zbiezny_uklad_sil.pdf

(294 KB) Pobierz
79498144 UNPDF
3.4.1. Wypadkowa zbieżnego układu sił
Przestrzenny układ sił
Siłami zbieżnymi nazywamy siły, których linie działania przecinają się
w jednym punkcie, nazywanym punktem zbieżności (rys. 3.12a). Ponieważ siły
działające na ciało sztywne można przesuwać wzdłuż linii ich działania, można je
uważać za siły przyłożone do jednego punktu (rys. 3.12b). W konsekwencji
otrzymaliśmy układ sił P k (k = 1, 2, 3, . . . , n) przyłożonych w jednym punkcie.
a)
b)
P 2
z
P 2
W
P 1
P 1
O
O
y
P n
P n
x
Rys. 3.12. Przestrzenny zbieżny układ sił
W punkcie 3.1.1 powiedzieliśmy, że siły przyłożone w jednym punkcie można
zastąpić jedną siłą równoważną, czyli wypadkową. Zatem wypadkowa zbieżnego
układu sił jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił, a linia jej działania
przechodzi przez punkt zbieżności:
∑ =
n
W
= P
k
.
.)
k
1
W celu obliczenia współrzędnych wypadkowej w punkcie zbieżności O
(rys. 3.12b) wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych x, y, z i wyrazimy
wszystkie siły P k oraz wypadkową W za pomocą współrzędnych w tym układzie:
P
k
=
P
kx
i
+
P
ky
j
+
P
kz
k
,
⎫
)
⎬
W
=
W
i
+
W
j
+
W
k
.
x
y
z
⎭
Po podstawieniu tych wzorów do zależności (3.10) otrzymamy:
∑
n
∑
n
∑
n
W
x
i
+
W
y
j
+
W
z
k
=
P
kx
i
+
P
ky
j
+
P
kz
k
.
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Z obustronnego porównania wyrazów przy tych samych wersorach otrzymujemy
wzory na współrzędne wypadkowej:
∑
n
∑
n
∑
n
W
x
=
P
kx
,
W
y
=
P
ky
,
W
z
=
P
kz
.
(3.11)
k
=
1
k
=
1
k
=
1
79498144.005.png
Powyższe wzory można było napisać bezpośrednio na podstawie twierdzenia, że
rzut sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów wszystkich wektorów
na tę oś (twierdzenie Charles’a).
Po wyznaczeniu współrzędnych wypadkowej można wyznaczyć jej wartość
liczbową (moduł) oraz kosinusy kierunkowe ze wzorów:
W
=
W
2
x
+
W
2
y
+
W
2
z
,
⎬
.)
cos
α
=
W
x
,
cos
β
=
W
y
,
cos
γ
=
W
z
,
⎭
W
W
W
gdzie α, β i γ są kątami, które wypadkowa W tworzy odpowiednio z osiami x, y i
z.
Płaski układ sił
Płaskim układem sił zbieżnych będziemy nazywać układ sił P k (k = 1, 2, . . . ,
n), których linie działania leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się w jednym
punkcie.
Podobnie jak w przypadku przestrzennego układu sił zbieżnych, siły te można
przesunąć do punktu zbieżności i traktować jak siły przyłożone do jednego punktu
(rys. 3.13a). Wypadkowa W płaskiego układu sił zbieżnych będzie leżeć w
płaszczyźnie działania sił i będzie przechodzić przez punkt zbieżności. Będzie ona
równa sumie geometrycznej sił składowych:
∑ =
n
W
= P
k
.
.)
k
1
Wypadkową płaskiego układu sił zbieżnych można wyznaczyć sposobem
geometrycznym i analitycznym.
a)
y
b)
W
P 3
P n
P 3
P 2
W
P 1
H
x
P 2
O
P 1
O |
P n
Rys. 3.13. Wyznaczanie wypadkowej płaskiego zbieżnego układu sił za pomocą
wieloboku sił
⎫
79498144.006.png 79498144.007.png
O 1 , a z jej końca
równolegle siłę P 2 , a następnie kolejne siły aż do P n . Wektor W łączący początek
siły P 1 i koniec siły P n jest sumą geometryczną sił składowych. Otrzymany wektor
W przyłożony w punkcie O (rys. 3.13a) jest wypadkową układu sił zbieżnych.
Dla analitycznego obliczenia wypadkowej przyjmiemy w punkcie zbieżności O
(rys. 3.13a) układ współrzędnych o osiach x i y leżących w płaszczyźnie sił. Wtedy
współrzędne P kz wszystkich sił P k będą tożsamościowo równe zeru: . W tej
sytuacji wzory na współrzędne wypadkowej płaskiego układu sił zbieżnych
otrzymamy ze wzorów (3.11) po podstawieniu do nich
P kz ≡ 0
P kz = 0 :
∑
n
∑
n
W
x
=
P
kx
,
W
y
=
P
ky
.
. )
k
=
1
k
=
1
Z kolei moduł wypadkowej oraz kąt α, który ona tworzy z osią x, obliczymy ze
wzorów:
W
=
W
2
x
+
W
2
y
,
tg
α
=
W
y
.
. )
W
x
Sposób geometryczny polega na zbudowaniu wieloboku sił, w którym
z dowolnego punktu (rys. 3.13b) odkładamy równolegle siłę P
′
79498144.008.png
3.4.2. Warunki równowagi zbieżnego układu sił
Przestrzenny układ sił
Gdy wypadkowa W przestrzennego układu sił zbieżnych jest równa zeru, układ
sił będzie w równowadze. Prowadzi to do wektorowego warunku równowagi w
postaci:
∑ =
1
n
P k
0. . )
k
=
Aby przestrzenny układ sił zbieżnych był w równowadze, warunkiem
koniecznym jest, by suma wektorowa tego układu sił była równa zeru.
Wypadkowa W omawianego układu sił będzie równa zeru, jeżeli jej
współrzędne w przyjętym układzie współrzędnych będą równe zeru. Stąd na
podstawie wzorów (3.11) można napisać trzy skalarne równania równowagi:
∑∑∑
n
n
P
=
0
,
P
ky
=
0
,
P
= 0. . )
k =
1
k
=
1
k
=
1
Powyższe warunki równowagi można wypowiedzieć słownie.
Aby przestrzenny układ sił zbieżnych był w równowadze, warunkiem
koniecznym i wystarczającym jest, by suma rzutów tych sił na każdą oś układu
współrzędnych była równa zeru.
Z równań równowagi (3.17) wynika, że w przypadku zbieżnego przestrzennego
układu sił możemy wyznaczyć trzy niewiadome, ponieważ dysponujemy trzema
równaniami.
Przykład 3.1. Wspornik składa się z trzech nieważkich prętów AB, AC i AD
połączonych przegubowo w węźle A, jak na rys. 3.14. Końce B, C i D tych prętów
są połączone również za pomocą przegubów do pionowej ściany. Pręty AB i AC
leżą w płaszczyźnie prostopadłej do pionowej ściany i tworzą z nią kąty .
Pręt AD tworzy z tą ścianą kąt i również leży w płaszczyźnie prostopadłej
do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, jeżeli do węzła A jest przyłożona siła Q ,
leżąca w płaszczyźnie pionowej prostopadłej do ściany i odchylona od poziomu o
kąt
α=60 o
β=30 o
γ=45 o
. Tarcie w przegubach pominąć.
n
kx
kz
z
C
α
S 2
y
A
S 1
γ
α
Q
x
S 3
B
β
D
Rys. 3.14. Wyznaczenie sił w prętach zbiegających się w węźle A
Rozwiązanie. Oddziaływanie prętów AB, AC i AD na węzeł A zastąpimy
odpowiednio siłami S 1 , S 2 i S 3 . Zatem węzeł ten jest w równowadze pod
działaniem czterech sił zbieżnych: S 1 , S 2 , S 3 i Q . Po wprowadzeniu w punkcie A
prostokątnego układu współrzędnych x, y, z i wykorzystaniu równań równowagi
(3.17) otrzymamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.
∑
4
P
kx
=
S
1
cos
α
−
S
2
cos
α
=
0
k
=
1
∑
4
P
ky
=
Q
cos
γ
−
S
1
sin
α
−
S
2
sin
α
−
S
3
sin
β
=
0
k
=
1
∑
4
P
kz
=
−
Q
sin
γ
−
S
3
cos
γ
=
0
.
k
=
1
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy:
79498144.001.png 79498144.002.png 79498144.003.png 79498144.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin