uklad_sil.pdf
(
299 KB
)
Pobierz
79497399 UNPDF
3.7.1. Redukcja dowolnego układu sił do siły i pary sił
Dowolnym układem sił będziemy nazywać układ sił o liniach działania
dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni. W tym punkcie zajmiemy się
sprowadzeniem (redukcją) takiego układu sił do najprostszej postaci, czyli do
najprostszego układu sił równoważnego danemu układowi sił.
Załóżmy, że mamy dowolny układ n sił
P
k
o punktach przyłożenia A
k
(k = 1, 2 ,
. . . , n), jak na rys. 3.21. W celu redukcji tego układu przyjmijmy dowolny punkt O
nazywany
biegunem redukcji
. Położenie sił
P
k
w stosunku do bieguna redukcji
niech określają wektory
r
k
.
W biegunie redukcji przyłóżmy n sił
P
k
oraz n sił o przeciwnych zwrotach:
. Takie postępowanie nie wpłynie na zmianę skutków
mechanicznych, ponieważ układ 2n sił przyłożonych w punkcie O jest
równoważny zeru. W konsekwencji otrzymaliśmy n sił
P
′ =−
P
k
k
zbieżnych w biegunie
redukcji O oraz n par sił
PP
k
i ′
k
przyłożonych odpowiednio w punktach A
k
i O o
momentach równych momentowi siły
P
k
względem bieguna O, czyli
MP r P
Ok k k
=×.
P
1
z
A
k
A
1
P
k
A
n
P
n
r
k
M
O
r
1
-
P
k
-
P
n
W
-
P
1
P
1
O
y
P
n
P
k
x
Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
Wiadomo, że układ n sił zbieżnych w biegunie redukcji O można zastąpić jedną
siłą
W,
równą ich sumie geometrycznej (wzór 3.10), również przechodzącą przez
punkt zbieżności. Podobnie układ n par sił możemy zastąpić jedną parą
równoważną o momencie równym sumie geometrycznej momentów par
składowych (wzór 3.22). Możemy zatem zapisać:
P
k
( )
∑
n
⎫
W
=
P
,
⎪
⎬
k
k
=
1
. )
n
n
∑
()
∑
⎪
⎭
M
=
M
P
=
r
×
P
,
O
O
k
k
k
⎪
k
=
1
k
=
1
Siłę
W
nazywamy
wektorem głównym
, a moment
M
O
momentem głównym
.
Definicje wektora głównego i momentu głównego możemy ująć słownie:
Wektorem głównym układu sił nazywamy sumę geometryczną wszystkich sił
przyłożoną w dowolnie obranym biegunie redukcji
O:
∑
k
k
n
WP
=
.
. )
=
1
Momentem głównym układu sił względem bieguna redukcji
O
nazywamy sumę
geometryczną momentów wszystkich sił względem tego bieguna:
Mr
O
n
= ×
=
∑
1
k
P
k
.
. )
k
Na podstawie powyższych rozważań możemy stwierdzić, co następuje:
Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem
równoważnym składającym się z jednej siły
W
przyłożonej w dowolnie obranym
biegunie redukcji
O
oraz pary sił o momencie
M
O
.
W celu obliczenia współrzędnych wektora głównego
W
i momentu głównego
M
O
przyjmiemy w biegunie redukcji O prostokątny układ współrzędnych x, y, z
(rys. 3.21). Ponadto założymy, że w tym układzie są znane współrzędne
sił
P
oraz współrzędne
kx
,P
ky
i
P
kz
k
x
k
,y
k
i z
k
wektorów
r
k
k = 1, 2, . . . , n
(
)
określających punkty przyłożenia tych sił.
Po oznaczeniu współrzędnych wektora głównego przez W na
podstawie twierdzenia o rzucie sumy współrzędne te będą równe sumie rzutów
wszystkich sił na poszczególne osie układu współ rzędnych:
x
,W
y
i W
z
∑
n
∑
n
∑
n
W
x
=
P
kx
,
W
y
=
P
ky
,
W
z
=
P
kz
.
(3.27)
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Po oznaczeniu współrzędnych momentu głównego przez i
uwzględnieniu wzorów (2.41) współrzędne te będą równe sumie momentów
wszystkich sił względem odpowiednich osi układu współrzędnych:
M
Ox
,
M
Oy
i M
Oz
P
∑
n
∑
n
(
)
⎫
M
=
M
=
y
P
−
z
P
,
⎪
Ox
kx
k
kz
k
ky
⎪
k
=
1
k
=
1
⎪
n
n
∑
∑
(
)
(3.28)
M
=
M
=
z
P
−
x
P
,
⎬
Oy
ky
k
kx
k
kz
)
⎪
k
=
1
k
=
1
n
n
∑
∑
(
M
Oz
=
M
kz
=
x
k
P
ky
−
y
k
P
kx
.
⎭
k
=
1
k
=
1
Otrzymane skalarne wzory (3.27) i (3.28) są równoważne wektorowym wzorom
(3.25) i (3.26).
Aby dwa dowolne układy sił były wzajemnie równoważne, warunkiem
koniecznym i wystarczającym jest, aby ich wektory główne i momenty główne
względem tego samego bieguna redukcji były równe.
3.7.2. Twierdzenie o momencie głównym
Ze wzoru (3.25) wynika, że wektor główny nie zależy od wyboru bieguna
redukcji O, czyli wektor główny jest niezmiennikiem układu sił w operacji zmiany
bieguna redukcji. Moment główny wraz ze zmianą bieguna redukcji ulegnie
zmianie zgodnie z następującym twierdzeniem, znanym jako
twierdzenie o
momencie głównym:
Moment główny dowolnego układu sił względem dowolnego bieguna
O
jest
równy momentowi głównemu względem innego dowolnego bieguna
O
powiększonemu o moment wektora głównego przyłożonego w biegunie
O
względem
bieguna
O′.
W celu udowodnienia tego twierdzenia przyjmijmy, że dany jest dowolny układ
n sił
P
k
przyłożonych w punktach A
k
(k = 1, 2, . . . , n), którego moment główny
względem bieguna redukcji O jest dany wzorem (3.26). Zastanówmy się, jak
zmieni się moment główny, jeżeli biegun redukcji przeniesiemy do punktu O′ (rys.
3.22).
P
1
A
k
A
1
P
k
A
n
P
n
r
k
O
′
A
k
O
′
O
O
O
Rys. 3.22. Ilustracja do twierdzenia o momencie głównym
Zgodnie z definicją moment główny względem nowego bieguna redukcji O′
wyraża wzór:
O
∑
=
n
M
′
=
O
′
A
k
×
P
k
.
k
1
Po podstawieniu do tego wzoru zależności wynikającej z rys. 3.22:
O
′
A
k
=
O
′
O
+
r
k
otrzymamy:
∑
n
( )
∑
n
∑
n
M
O
′
=
O
O
+
r
k
×
P
k
=
O
′
O
×
P
k
+
r
k
×
P
.
k
=
1
k
=
1
k
=
1
′
Po uwzględnieniu, że pierwsza suma po prawej stronie tego równania jest
wektorem głównym
W
(wzór 3.35), a druga momentem głównym
M
O
względem
bieguna O (wzór 3.36), otrzymujemy dowód twierdzenia o momencie głównym:
M
O
′
=
M
O
+
O
′
O
W
.
.)
×
Plik z chomika:
suchdmg
Inne pliki z tego folderu:
zbiezny_uklad_sil.pdf
(294 KB)
zagadnienia_ogolne.pdf
(526 KB)
wiezy_reakcje_wiezow.pdf
(253 KB)
wiadomosci_ogolne.pdf
(198 KB)
WEKTORY.pdf
(183 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin