srodek_ciezkosci_masy.pdf

(162 KB) Pobierz
4
4.1. Środek ciężkości i środek masy
Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach m k (k = 1, 2, . . . , n), na
które działają siły ciężkości G k (rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem
punktu odniesienia O określają wektory wodzące r k , jak na rysunku. Wiadomo, że
siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez
przyśpieszenie ziemskie, G k = m k g , i są skierowane do środka kuli ziemskiej.
Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach
technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły
ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił
ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt
ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego.
Skoro siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka
ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek
układu sił równoległych. Wektor wodzący r C środka ciężkości C układu punktów
materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek:
∑ 1
n
r
kk
G
r
=
k
=
. .)
C
G
Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych
otrzymamy ze wzorów (3.55):
∑
n
∑
n
∑
n
xG
yG
kk
zG
x
=
k
=
1
,
y
=
k
=
1
,
z
=
k
=1
. (4.2)
C
G
C
G
C
G
We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego:
∑ 1
n
G k
k
=
.
=
W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest
bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆m k i ciężarach ∆G k
(rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆G k zamiast G k otrzymamy
wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły:
∑
n
r
k
∆
G
k
r
=
k
=
1
, .)
C
G
kk
kk
79496414.001.png
∑
n
∑
n
∑
n
xG
k
∆
k
yG
k
∆
k
zG
k
∆
k
x
=
k
=
1
,
y
=
k
=
1
,
z
=
k
=
1
. (4.4)
C
G
C
G
C
G
z
m k
m 2
z
m 1
r 2
G 2
r k
G k
C
∆m k
G 1
r 1
r C
C
r C
r k
m n
r n
O
∆ G k
G n
G
y
O
G
y
x
x
Rys. 4.2. Wyznaczanie środka
ciężkości dowolnej bryły
Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe
Dokładny wzór na promień wodzący r C środka ciężkości C otrzymamy, biorąc
granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do
nieskończoności i ich wymiarach dążących do zera. Wtedy w miejsce sumy
otrzymamy całkę rozciągniętą na całą bryłę. Zatem wektor wodzący środka
ciężkości C
∑∫
n
n
lim
→∞
r
k
∆
G
k
r
dG
r
=
k
=
1
=
G
. .)
C
G
G
Z kolei współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami:
∫
xdG
∫
ydG
∫
zdG
x
=
G
,y
=
G
,
z
=
G
. (4.6)
C
G
C
G
C
G
Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli
przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const w całym rozpatrywanym
układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać:
GgmidGgdm
=
= ,
gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego. Po podstawieniu tych
zależności do wzorów (4.5) i (4.6) i po skróceniu przez g otrzymamy wzory:
79496414.002.png 79496414.003.png
∫
r
dm
r
=
m
, .)
C
m
∫
xdm
∫
ydm
∫
zdm
x
=
m
,y
=
m
,
z
=
m
. (4.8)
C
m
C
m
C
m
Określają one położenie środka masy bryły. W przypadku układu punktów
materialnych środek masy będzie określony przez analogiczne wzory, z tym że
miejsce całek zajmą sumy:
∑ 1
n
r
kk
m
r
=
k
=
, .)
C
m
∑
n
∑
n
∑
n
xm
kk
ym
kk
zm
x
=
k
=
1
,
y
=
k
=
1
,
z
=
k
=1
. (4.10)
C
m
C
m
C
m
Ze wzorów (4.7−4.10) wynika, że przy przyjętych założeniach w jednorodnym
polu sił ciężkości środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Z tego względu
mówiąc o środku ciężkości, możemy mieć na myśli środek masy i odwrotnie.
Trzeba jednak pamiętać, przy jakich założeniach te dwa punkty się pokrywają.
kk
79496414.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin