plaski_dowolny_uklad_sil.pdf

(359 KB) Pobierz
79564867 UNPDF
3.8.1. Redukcja płaskiego układu sił
Przez płaski dowolny układ sił będziemy rozumieć układ sił leżących w jednej
płaszczyźnie o kierunkach nie przecinających się w jednym punkcie. W dalszym
ciągu przyjmiemy, że mamy dany dowolny układ sił P k (k = 1, 2, . . . , n)
przyłożonych w punktach A k leżących w płaszczyźnie xy (rys. 3.25).
Postępując podobnie jak w przypadku dowolnego przestrzennego układu sił,
płaski układ sił można zredukować do układu równoważnego składającego się
z jednej siły W przyłożonej w dowolnie obranym biegunie redukcji O i pary sił
o momencie M O . Otrzymamy wzory wektorowe:
∑ ∑
n
n
WPM r
=
k
,
O
=
k
×
P
k
. . )
k
=
1
k
=
1
y
P 1
Wzory te są zewnętrznie
identyczne ze wzorami (3.24) na
wektor główny i moment główny
dowolnego układu sił, ale liczba
ich współrzędnych będzie inna.
Ponieważ siły leżą w płaszczyźnie
xy, wektor główny W będzie miał
dwie współrzędne, gdyż trzecie
współrzędne sił P k będą zawsze
równe zeru, . Jeżeli
natomiast jako biegun redukcji O
przyjmiemy początek układu
współrzędnych x, y (rys. 3.25), to
moment główny M
P k
A k
A 1
P n
r k
W
A n
M O
x
P kz ≡
0
O
Rys. 3. 25. Redukcja dowolnego płaskiego układu
sił
O będzie
zawsze prostopadły do płaszczyzny xy, czyli będzie miał jedną współrzędną.
Wynika to z tego, że zgodnie z definicją iloczynu wektorowego moment każdej z
sił P k względem punktu O musi być prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej
przez wektory r k i P k . Do analogicznych wniosków dojdziemy po podstawieniu do
wzorów (3.27) i (3.28) P
0 0 . Otrzymamy wtedy współrzędne wektora
głównego W i momentu głównego M O :
kz
= =
i z
∑
n
∑
n
⎫
W
=
P
,
W
=
P
,
⎪
⎬
x
kx
y
ky
k
=
1
k
=
1
(3.44)
n
n
∑
(
)
∑
⎪
⎭
M
O
=
M
Oz
=
x
k
P
ky
−
y
k
P
kx
=
M
kO
.
⎪
k
=
1
k
=
1
Z trzeciego wzoru (3.44) oraz z przedstawionych wyżej rozważań wynika, że do
określenia momentu głównego wystarczy podanie jednej liczby (moduł opatrzony
79564867.002.png 79564867.003.png
znakiem), czyli moment płaskiego układu sił można traktować podobnie jak skalar.
W tej sytuacji mówiąc o momencie głównym w płaskim układzie sił, będziemy
mieć na myśli tylko jego wartość algebraiczną.
3.8.2. Szczególne przypadki płaskiego układu sił
Układ równoważny wypadkowej
W punkcie 3.7.4 udowodniliśmy, że jeżeli moment główny M O jest prostopadły
do wektora głównego W (3.42), to układ sił można zredukować do jednej siły
wypadkowej działającej wzdłuż osi centralnej. W poprzednim punkcie
wykazaliśmy, że warunek ten jest zawsze spełniony. Wynika z tego, że jeżeli
wektor główny płaskiego układu sił jest różny od zera, W ≠ 0 , to układ ten można
zastąpić wypadkową.
W celu wyznaczenia linii działania wypadkowej załóżmy, że płaski układ sił P k
(k = 1, 2, . . . , n) został zredukowany do początku O układu współrzędnych x, y
(rys. 3.26) do wektora głównego W i momentu głównego M O o wartości M O :
∑ ∑
n
n
WP
k
,M O
=
M
kO
. (3.45)
k
=
1
k
=
1
Moment M O można zastąpić parą sił – W i W przyłożonych odpowiednio
w punktach O i A. W wyniku
takiego działania otrzymaliśmy
dwie siły – W i W przyłożone w
punkcie O oraz jedną siłę
przyłożoną wpunkcie A i
działającą wzdłuż prostej l. Siły
– W i W przyłożone w punkcie
O tworzą układ zerowy, zatem
układ sił został sprowadzony do
jednej siły W przyłożonej w
punkcie A. Siłę tę, działającą
wzdłuż prostej l, nazywamy
wypadkową płaskiego układu
sił .
y
W y
W
W
A
W x
M O
O
α
l
x
Rys. 3.26. Redukcja płaskiego układu sił do
wypadkowej
Po uwzględnieniu, że moment wypadkowej W względem dowolnego punktu
jest równy sumie momentów wszystkich sił względem tego samego punktu, oraz
oznaczeniu współrzędnych punktu A przyłożenia wypadkowej W przez x i y,
otrzymamy na podstawie trzeciego wzoru (3.44) zależność na moment
wypadkowej względem początku O układu współrzędnych:
MxWW
O
= − .
y
x
Występujące w tym wzorze wielkości W x , W y i M O są wielkościami znanymi,
określonymi wzorami (3.44), przeto jest to równanie prostej l, wzdłuż której działa
wypadkowa W . Równanie to przedstawimy w postaci kierunkowej:
=
79564867.004.png
y
= − . .)
W
W
y
x
M
W
O
x
x
Moduł wypadkowej
WWW
x
= +
2
2
, .)
y
a kąt D , jaki wypadkowa tworzy z osią x, określa wzór:
tg =
α . .)
W
W
y
x
Gdy wektor główny jest różny od zera, W ≠ 0 , a moment główny jest równy
zeru,
M O = 0
, układ sił redukuje się do wypadkowej przechodzącej przez biegun
redukcji.
Na zakończenie omówienia wyznaczania wypadkowej zauważmy istotną
różnicę między wektorem głównym i wypadkową. Zarówno wektor główny, jak i
wypadkowa są równe sumie geometrycznej wszystkich sił, ale wektor główny jest
wektorem swobodnym, a wypadkowa jest siłą o ściśle określonej linii działania.
Układ równoważny parze sił
Jeżeli wektor główny płaskiego układu sił jest równy zeru, W = 0 , a moment
główny jest różny od zera, M O ≠ 0 , to taki układ sił można zastąpić jedną parą sił
o momencie równym sumie momentów wszystkich sił względem dowolnego
punktu O:
∑ M kO
k
n
M O =
. .)
=
1
Ponieważ parę sił można dowolnie przesuwać w jej płaszczyźnie działania (p. 3.6),
wartość momentu głównego
M O
nie będzie zależna od położenia bieguna redukcji
O na płaszczyźnie działania sił.
Układ równoważny zeru
Jeżeli wektor główny i moment główny są równocześnie równe zeru, czyli
, to układ sił jest w równowadze. Przypadek ten będzie
rozpatrzony w następnym punkcie.
= 0 i O = 0
Przykład 3.3. Na płytę w kształcie kwadratu o boku a = 1 m działają cztery
siły:
P
1
=
100
N
,
P
2
=
150
N
,
P
3
=
200
N
,
P
4
=
250
N
(rys. 3.27), przy czym
D
=
30
o
, E = . Obliczyć wartość liczbową wypadkowej oraz linię jej działania.
45 o
WM
79564867.005.png
Rozwiązanie . Współrzędne wektora głównego obliczymy z pierwszych dwóch
wzorów (3.44):
∑
4
⎫
W
=
P
=
−
P
+
P
cos
α
−
P
cos
β
≈
−
147
N
,
⎪
⎬
x
kx
1
2
4
k
=
1
(a)
4
∑
W
y
=
P
ky
=
P
2
sin
α
−
P
3
−
P
4
sin
β
≈
−
302
N.
⎪
k
=
1
Zgodnie z drugim wzorem (3.45) moment główny względem początku O układu
współrzędnych
= ∑ =
4
M
O
M
kO
=
a
P
1
−
a
P
2
cos
α
+
a
P
2
sin
α
−
a
P
3
≈
−
155
N
⋅
m
(b)
k
1
Ponieważ współrzędne wektora głównego są równe współrzędnym
wypadkowej, moduł wypadkowej
WWW
x
= + = − + − ≈
2
2
( ) ( )
147
2
302
2
336 N.
y
y
P 2
P 1
a
H
a
W
O
B
I
x
l
P 4
P 3
C
Rys. 3.27. Analityczne wyznaczenie wypadkowej płaskiego układu sił
Równanie linii działania wypadkowej otrzymamy przez podstawienie obliczonych
wartości (a) i (b) do równania (3.46).
y = −
2
,05x ,05 .
1
⎭
79564867.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin