MACIERZ SZTYWNOŚCI PŁASKIEGO ELEMENTU PROSTOKĄTNEGO

KROK 1. OKREŚLENIE TYPU ELEMENTU.

Zbudujemy macierz sztywności płaskiego elementu prostokątnego pokazanego na rys.1

Element ten o wymiarach podstawy 2a i wysokości 2b posiada 4 wierzchołki oznaczone jako: 1,2,3,4

Nieznane przemieszczenia wierzchołków są dane jako:

                            (1)

u1 – v4 są to parametry geometryczne, poziome i pionowe przemieszczenia węzłów.

KROK 2. OPIS POLA PRZEMIESZCZEŃ.

Parametry geometryczne (1) zostały zebrane w dwie macierze z elementami uszeregowanymi w kolejności odpowiadającej osiom x,y dla poszczególnych węzłów.

Opis pola przemieszczeń będzie wyrażony za pomocą  składowych: u(x,y) v(x,y)

Funkcje przemieszczeń u i v elementu muszą być liniowe, ponieważ wzdłuż każdej krawędzi istnieją tylko dwa wierzchołki.

u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4xy                                                                        (2)

              v(x, y) = a5 + a6x + a7y + a8xy

Poszukiwana macierz sztywności ma wymiary 8x8 . Składowe pola przemieszczeń opisane są wielomianami liniowymi dwóch zmiennych . Z każdą ze składowych związane są 4 parametry węzłowe.

Niewiadome stałe a1, a2 do a6 wyrażamy przez geometryczne parametry węzłowe, rozwiązując dwa układy równań:

u1 = a1 + a2x1 + a3y1 + a4x1y1

u2 = a1 + a2x2 + a3y2 + a4x2y2                                                                                                                (3)

u3 = a1 + a2x3 + a3y3 + a4x3y3

u4 = a1 + a2x4 + a3y4 + a4x4y4

v1 = a1 + a2x1 + a3y1 + a4x1y1

v2 = a1 + a2x2 + a3y2 + a4x2y2

v3 = a1 + a2x3 + a3y3 + a4x3y3                                                                                                               (4)

v4 = a1 + a2x4 + a3y4 + a4x4y4

gdzie:

u1 = u(x1,y1), u2 = u(x2,y2), itd.

Po rozwiązaniu układów równań (3) i (4) i wstawieniu do równania (2) otrzymujemy:

u(x, y) = [(b - x)(h - y)u1 + (b + x)(h - y)u2+ (b + x)(h + y)u3 + (b - x)(h + y)u4]    (5)

ν(x, y) = [(b - x)(h - y)v1 + (b + x)(h - y)ν2 + (b + x)(h + y)u3 + (b - x)(h + y) ν4]

Dostrzegamy, że wyrażenia w (5) są przedstawione za pomocą funkcji kształtu oraz przemieszczeń wierzchołków:

{ψ} = [N]{d}                                                        (6)

gdzie:

d – wektor przemieszczenia wierzchołków

N – macierze funkcji kształtu :

N1 =                                             N2 =

                                                                                                                                                       (7)

N3 =                                           N4 =

Przykładowo: N1 = 1 dla wierzchołka 1 i N1 = 0 dla pozostałych wierzchołków.

W formie rozszerzonej, równanie (6) ma postać:

                                                                          (8)             

KROK 3. OPIS POLA ODKSZTAŁCEŃ.

Odkształcenia możemy wyrazić w nast. sposób:

                                                                                                                        (9)

Po podstawieniu równania  (8) i do równania (9) oraz po wyliczeniu pochodnych

u i v, możemy wyrazić odkształcenia w nast. sposób:

{ε} = [B]{d}                                                                                                                                    (10)

gdzie:

B - macierz przemieszczeń

d – wektor przemieszczenia wierzchołków

(11)

Z równań (9) i (10) wynika, że εx jest funkcją y ; ε y jest funkcją x, a γxy jest funkcją

x i y.

KROK4. OPIS POLA NAPRĘŻEŃ.

Pole naprężeń opisujemy:

                                                                                        (12)

gdzie:

D – macierz sztywności materiału

KROK5. RÓWNANIE  MACIERZY SZTYWNOŚCI ELEMENTU.

Równanie to ma postać:

                                                                                          (13)

Poszukiwana macierz sztywności [k] dla elementu prostokątnego jest macierzą o wymiarach 8x8.

Uwzględnienie obciążeń międzywęzłowych , objętościowych i powierzchniowych wygląda następująco:

                                                                                  (14)

gdzie:

{X} – siły od obciążeń objętościowych

{T} – siły od obciążeń powierzchniowych

{P} – siły od obciążeń skupionych

[N] - prostokątna macierz funkcji kształtu z wzoru (8)

MACIERZ SZTYWNOŚCI DLA ELEMENTU IZOPARAMETRYCZNEGO.

Koncepcja elementu izoparametrycznego (elementu o konturach zakrzywionych) powstała na tle trudności występujących przy analizowaniu obszarów z brzegami zakrzywionymi. Uzyskanie dokładnych wyników przy użyciu elementów ograniczonych liniami prostymi wymagałoby użycia dużej liczby takich elementów. Główna trudność jaka występuje przy analizie elementów izoparametrycznych dotyczy opisu pola przemieszczeń i uzyskania macierzy sztywności. Trudności te zostały przezwyciężone dzięki możliwości odwzorowania skomplikowanego kształtu geometrycznego przez prostszy. Można zatem przeprowadzać wszystkie operacje na elemencie prostszym – macierzystym i przenosić wyniki na element izoparametryczny. Opisu geometrii i przemieszczeń elementu izoparametrycznego dokonujemy za pomocą tych samych funkcji i takiej samej liczby parametrów jak dla elementu prostego.

Rozważymy element tarczowy , prostokątny o 4 węzłach ( Rys.1 ). Jest to element 8 parametrowy. Parametrami są przemieszczenia węzłów.

Rys.2

Rys.1

KROK1. WYZNACZENIE POLA PRZEMIESZCZEŃ I FUNKCJI KSZTAŁTU.

Pole przemieszczeń opisane jest równaniem macierzowym:

                                                                     (1)

Występujące we wzorze (1) funkcje kształtu mają jak wcześnie postać:

N1 =                                             N2 =

                                                                                                                                                                   (2)

N3 =                                           N4 =

Funkcje te dla kwadratu pokazanego na Rys.1 wyrażają się następująco:

N1 =                                             N2 =

                                                                                                                                                                 (3)

N3 =                                           N4 =

Potraktujemy ten kwadrat jako element macierzysty i powiążemy jego geometrie z geometrią dowolnego czworokąta pokazanego na Rys.2

Boki czworokąta są liniami prostymi więc współrzędne x, y będą zależały liniowo od współrzędnych s, t

Współrzędne x, y określamy wzorami:

x = a1 + a2s + a3t + a4st                                                                                      (4)                                                    

y = a5 + a6s + a7t + a8st

Chcąc otrzymać niewiadome stałe a1, a2 do a8 postępujemy jak w przypadku elementu prostokątnego i otrzymujemy:

x = [(1 - s)(1 - t)x1 + (1 + s)(1 - t)x2+ (1 + s)(1 + t)x3 + (1 - s)(1 + t)x4]                    (5)

y = [(1 - s)(1 - t)y1 + (1 + s)(1 - t)y2 + (1 + s)(1 + t)y3 + (1 - s)(1 ...