07-dynamika.pdf

(1305 KB) Pobierz
Mechanika budowli - Dynamika Semestr letni 2008/2009
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
MostwTacoma
Mechanikabudowli
Dynamika
Semestr letni 2008/2009
A.JarominiakiA.Rosset:”Katastrofyiawariemostów”
Po czterech miesi¡cach istnienia, 7.11.1940, silny sztorm wiej¡cy
od oceanu (56-67 km/h) spowodował wprowadzenie mostu w
drgania odpowiadaj¡ce ruchowi falowemu. Pocz¡tkowo był to ruch
pomostu w płaszczy¹nie pionowej, który pó¹niej zamienił si¦ w
dwufalowy ruch skr¦caj¡cy (z wychyleniem do 8,4 m). Ok. 10:30
nast¡piło pierwsze załamanie jednej z płyt pomostu, a ok. 11:00
most rozpadł si¦ ostatecznie.
Powodem katastrofy mostu, oprócz małej sztywno±ci prz¦seł, była
tak»e niewystarczaj¡ca stateczno±¢ aerodynamiczna i zwi¡zana z
ni¡ nieszcz¦±liwa zbie»no±¢ cz¦sto±ci własnej drga« prz¦seł i
pylonów (zjawisko rezonansu).
drin».BartoszMiller
KatedraMechanikiKonstrukcji
PolitechnikaRzeszowska
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 1
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 2
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Dynamikabudowli
Dynamika budowli bada zachowanie si¦ konstrukcji pod działaniem
obci¡»e« wywołuj¡cych takie przyspieszenia elementów konstrukcji,
»e towarzysz¡ce im siły bezwładno±ci nie mog¡ by¢ pomini¦te.
Przykładowe obci¡»enia dynamiczne:
impuls
obci¡»enia ruchome
obci¡»enia zmienne w czasie
wpływy (para)sejsmiczne
Celem dynamiki budowli jest okre±lenie maksymalnych napr¦»e« i
przemieszcze« w konstrukcji oraz taki dobór parametrów
konstrukcji (wymiarów, przekrojów, amortyzatorów) aby te
napr¦»enia i przemieszczenia zminimalizowa¢.
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 3
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 4
269307473.039.png 269307473.040.png 269307473.041.png
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Sztywno±¢ipodatno±¢
Stopnie swobody dynamicznej
Niezale»ne współrz¦dne niezb¦dne do jednoznacznego okre±lenia
poło»enia skupionej masy podczas drga«. Liczba stopni swobody
dynamicznej jest równa najmniejszej liczbie dodatkowych wi¦zów
niezb¦dnych do pełnego unieruchomienia wszystkich mas układu.
Sztywno±¢ k
k = P l
Podatno±¢
=
UWAGA
Dla P = 1 otrzymamy = l 1 = l , gdzie l = l ( P = 1 )
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 5
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 6
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Z zasady d’Alemberta mamy:
Równanie ruchu masy o jednym stopniu swobody dynamicznej:
P = S + O + B
m x + c _ x + kx = P ( t )
gdzie P = P ( t ) to zewn¦trzna siła wymuszaj¡ca
S = kx to siła w spr¦»ynie
O = c _ x to siła tarcia mi¦dzy mas¡ a podło»em
B = m x to siła bezwładno±ci
za± x to wychylenie z poło»enia równowagi
k to wsp. spr¦»ysto±ci spr¦»yny
c to współczynnik tłumienia
W przypadku drga« swobodnychnietłumionych mamy:
m x + kx = 0
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 7
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 8
l
P
269307473.042.png 269307473.001.png 269307473.002.png 269307473.003.png 269307473.004.png 269307473.005.png 269307473.006.png 269307473.007.png 269307473.008.png 269307473.009.png 269307473.010.png 269307473.011.png 269307473.012.png 269307473.013.png 269307473.014.png
 
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Do równania m x + kx = 0 podstawiamy ! 2 = k m , otrzymujemy
x + ! 2 x = 0
x ( t ) = Asin ( ! t + )
Jest to równanie ró»niczkowe zwyczajne, przy warunkach
pocz¡tkowych x ( 0 ) = x 0 oraz _ x ( 0 ) = v 0 rozwi¡zaniem jest funkcja
x ( t ) = x 0 cos ! t + v 0
! sin ! t
co mo»na przedstawi¢ jako
x ( t ) = Asin ( ! t + )
! cz¦sto±¢ kołowa [ rad s ]
liczba pełnych cykli drga« podczas 2 sekund
przesuni¦cie fazowe [ rad ]
T okres drga« (czas trwania jednego pełnego cyklu) [ s ]
A amplituda drga« (maksymalne wychylenie) [ m ]
q
x 2 0 + v 0 !
2
gdzie A =
tg = ! x 0 v 0
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 9
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 10
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Cz¦sto±¢własnamasynawsporniku ! =?
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanie ruchu układu o 1ssd
x ( t ) = Asin ( ! t + )
q k m =
q 1 m cz¦sto±¢ kołowa
h rad s
i
gdzie ! =
cz¦stotliwo±¢ [ Hz ] = h 1 s
i
f = ! 2
p
q 1 m gdzie =
T = 1 f = 2 ! = 2
m okres drga« [ s ]
! =
P = 11 1 = 11 , za± 11 to statyczne ugi¦cie.
Bez znajomo±ci warunków pocz¡tkowych ( x 0 i v 0 ) nie mo»na
wyznaczy¢ amplitudy drga« A ani przesuni¦cia fazowego . Dla
ró»nych kombinacji x 0 i v 0 układ b¦dzie drgał z ró»n¡ amplitud¡ i
faz¡, natomiast cz¦sto±¢własna ! jestdladanegoukładu
zawszetakasama .
11 = l 3
q 3 EI
ml 3
! =
= 1 . 045
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 11
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 12
1 P
3 EI
!
269307473.015.png 269307473.016.png 269307473.017.png 269307473.018.png 269307473.019.png 269307473.020.png 269307473.021.png 269307473.022.png 269307473.023.png 269307473.024.png 269307473.025.png
Równanieruchu
Rozwi¡zanierównaniaruchu
Dyskusjarównaniaruchu
Wzorydlaukładówo1ssd
Przykłady
Cz¦sto±¢własnamasyna±rodkubelki ! =?
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Przykład—belkawspornikowa
LSSD = 2
! = q 1 m gdzie = 11 czyli statyczne ugi¦cie.
11 = PR M 2
l 2
EI ds + R 2
2
k s
Z zasady d’Alemberta mamy dla ka»dej z mas:
P i = S i + B i
gdzie P i = P i ( t ) siła wymuszaj¡ca na kierunku i
S i siła spr¦»ysto±ci układu na kierunku i
B i siła bezwładno±ci działaj¡ca na mas¦ i
gdzie P i = P i ( t )
S i = r i 1 x 1 + r i 2 x 2
B i = m i x i
(
11 = 2 EI 1 3
l +
( 1 / 2 ) 2
k s
11 = l 3
6 EI + 1 4 k s = 2 l 3 k s + 3 EI
! = q 12 EIk s
m ( 2 l 3 k s + 3 EI )
12 EIk s
m 1 x 1 + r 11 x 1 + r 12 x 2 = P 1 ( t )
m 2 x 2 + r 21 x 1 + r 22 x 2 = P 2 ( t )
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 14
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 13
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Przykład—belkawspornikowa
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Przykład—belkawspornikowa
(
Równanie drga« układów o wielu st. swobody w pełnej wersji:
m 1 x 1 + r 11 x 1 + r 12 x 2 = P 1 ( t )
m 2 x 2 + r 21 x 1 + r 22 x 2 = P 2 ( t )
M x + C _ x + Kx = P
"
#" x 1
x 2
#
"
#"
#
"
#
w przypadku drga« swobodnych nietłumionych upraszcza si¦ do:
m 1 0
0 m 2
r 11 r 12
r 21 r 22
x 1
x 2
P 1 ( t )
P 2 ( t )
+
=
M x + Kx = 0
lub
M x + Kx = P
M x + x = 0
gdzie = K − 1 to macierz podatno±ci:
Macierz mas
"
#
M. sztywno±ci
Przemieszcz.
"
#
Wymuszenia
"
#
"
#
"
#
11 12
21 22
m 1 0
0 m 2
x 1
x 2
=
r 11 r 12
r 21 r 22
P 1 ( t )
P 2 ( t )
M =
K =
x =
P =
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 15
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 16
269307473.026.png 269307473.027.png 269307473.028.png 269307473.029.png 269307473.030.png 269307473.031.png
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Przykład—belkawspornikowa
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Przykład—belkawspornikowa
Rozwi¡zaniem układu równa«
Po podstawieniu x = A sin ( ! t + ) oraz x = − ! 2 A sin ( ! t + ) do
układu równa«
M x + x = 0
M x + x = 0
otrzymujemy
s¡ funkcje x 1 ( t ) = A 1 sin ( ! t + ) oraz x 2 ( t ) = A 2 sin ( ! t + ) , co
mo»na zapisa¢ w postaci
− ! 2 M + I
A sin ( ! t + ) = 0
"
x 1 ( t )
x 2 ( t )
#
"
A 1
A 2
#
co przy sin ( ! t + ) 6 = 0 (układ drga!) daje
x =
=
sin ( ! t + ) = A sin ( ! t + )
− ! 2 M + I
A = 0
Wektor przyspiesze« x ma wówczas posta¢:
− 1 ! 2
x = − ! 2 A sin ( ! t + )
a po przemno»eniu obustronnie przez
M − 1
! 2 I
A = 0
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 17
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 18
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Przykład—belkawspornikowa
Wprowadzenie
Stopnieswobodydynamicznej
Układyojednymstopniuswobody
Układyowielustopniachswobody
Drganiawymuszone
Równanieruchu
Przykład—belkawspornikowa
Ostatecznie otrzymujemy jednorodny układ równa«:
M − 1
1 LSSD = 2
2 Macierz mas M
! 2 I
A = 0
"
2 m 0
0 m
#
M =
który dla niezerowego wektora A ma rozwi¡zanie wył¡cznie
wówczas, gdy macierz współczynników jest osobliwa
3 Wykresy M i i macierz
M − 1
det
! 2 I
= 0
= l 3
6 EI
"
2 5
5 16
#
Drugie równanie wykorzystamy do obliczenia cz¦sto±ci własnych ! i
układu, z pierwszego obliczymy stosunek amplitud niezb¦dny przy
rysowaniu form drga« własnych. Uwaga:zewzgl¦dunaA
pierwszyukładrówna«b¦dziemiałniesko«czeniewiele
rozwi¡za«.
4 Obliczenie ! i z równania
det
M − 1
! 2 I
= 0
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 19
PolitechnikaRzeszowska BartoszMiller Mechanikabudowli—dynamika 20
269307473.032.png 269307473.033.png 269307473.034.png 269307473.035.png 269307473.036.png 269307473.037.png 269307473.038.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin