LINIE WPĹYWU -przyk2[1].pdf

LINIE WPŁYWU – przykład 2 – sposób kinematyczny

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH

SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu

twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń (tw. Rayleigha), które brzmi:

reakcja r ji w punkcie " j " wywołana siłą jednostkową działającą w punkcie " i " jest równa co do

wartości i różna co do znaku przemieszczeniu δ ij w punkcie " i " na kierunku działania siły

wywołanemu przemieszczeniem jednostkowym zadanym w punkcie " j " na kierunku reakcji.

Tok postępowania przy sporządzanie linii wpływu sposobem kinematycznym jest następujący:

1. przecięcie więzi odpowiadającej poszukiwanej wielkości statycznej (powstaje mechanizm) i

zastąpienie jej poszukiwaną wielkością statyczną,

2. określenie tarcz mechanizmu,

3. znalezienieśrodków obrotów tarcz między sobą i z fundamentem wykorzystując twierdzenie o

trzech tarczach (Aronholdta),

4. narysowanie linii odniesienia odpowiadającej fundamentowi, prostopadłej do siły obciążającej,

5. narysowanie wykresu przesunięć (równoległych do siły jednostkowej składowych

przemieszczeń punktów toru siły jednostkowej),

6. określenie znaków i rzędnych linii wpływu z wykorzystaniem zasady prac przygotowanych

(wirtualnych).

Przykład 1. W układzie trójprzegubowym jak na rys. 1 sporządzić linię wpływu momentu zginającego

w przekroju α

0.667a

Rys. 1.

Przecinamy więź odpowiadającą momentowi zginającemu wstawiając przegub w przekroju αi

zastępujemy ją momentami (Rys.2). Oznaczamy tarcze. Wyznaczamy środki obrotu tarcz między sobą

i z fundamentem. Środek obrotu tarczy 2 z 0 wyznaczamy wykorzystując fakt, że łącznikami między

tarczami 2 i 0 są tarcze 1 i 3. Z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz 2, 1, 0 wynika, że jeśli

wzajemny ruch tych tarcz jest możliwy to biegun chwilowego obrotu (2,0) leży na prostej

przechodzącej przez punkty (2,1) i (1,0), zaś z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz 2, 3, 0 wynika,

że biegun chwilowego obrotu (2,0) leży na prostej przechodzącej przez punkty (2,3) i (3,0). Jeśli więc

jest możliwy wzajemny ruch tarcz 2 i 0 to biegun chwilowego obrotu tych tarcz względem siebie (2,0)

leży na przecięciu dwu prostych: prostej przechodzącej przez punkty (0,1) i (1,2) i prostej

poprowadzonej przez punkty (0,3) i (2,3). Skrótowo będziemy to zapisywać następująco:

2 0

(2,0)

Rysujemy poziomą linię odniesienia (odpowiadającą tarczy 0). Rzutujemy na nią środki obrotu (1,0),

(2,0), (3,0). Uwzględniając, że mechanizm ma jeden stopień swobody nadajemy obrót tarczy 1

i rysujemy prostą 1 o dowolnym nachyleniu przez punkt (1,0) odpowiadającą tarczy 1 po obrocie.

Położenie prostych odpowiadających pozostałym tarczom jest już jednoznacznie określone przez

bieguny chwilowego obrotu, które rzutujemy na odpowiednie proste i rysujemy kolejne proste..

Po zrzutowaniu punktu (1,2) na prostą 1 rysujemy przez punkty (2,0) i (1,2) prostą 2

odpowiadającą tarczy 2. Podobnie, po zrzutowaniu punktu (2,3) na prostą 2, rysujemy przez punkty

(3,0) i (2,3) prostą 3 odpowiadającą tarczy 3. Zaznaczamy odcinki prostych odpowiadające torowi siły

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski Przykład opracowała R.Sieniawska

r −

LINIE WPŁYWU – przykład 2 – sposób kinematyczny

jednostkowej. Są to: odcinek prostej 1 między punktami (1,0) i (1,2), odcinek prostej 2 między

punktami (1,2) i (2,3) oraz odcinek prostej 3 między punktami (2,3) i A (punkt stanowiący rzut końca

toru siły jednostkowej na prostą 3). W ten sposób otrzymaliśmy wykres przesunięć toru siły

jednostkowej (wykres, którego rzędnymi są rzuty przesunięć poszczególnych punktów na kierunek siły

jednostkowej). Wykres ten ma kształt szukanej linii wpływu momentu zginającego. Aby określić

rzędnie i znaki linii wpływu wypisujemy równanie zasady prac przygotowanych dla wybranego

ustawienia siły jednostkowej (na ogół w punkcie załamania linii wpływy). Rozpatrywanym przypadku

wygodnie jest wybrać ustawienie w punkcie (2,3). Pracę wykonują momenty M na kątach obrotu ϕ

(tarczy 2) i ϕ (tarczy 3) oraz siła jednostkowa na przesunięciu punktu jej przyłożenia. Równanie prac

przygotowanych ma postać:

−

⋅

−

⋅

−

⋅

ϕ =

667

ϕ =

667

Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy:

−

⋅

−

⋅

−

⋅

667

α dla ustawienia siły jednostkowej w punkcje (2,3). Oznacza to, że

rzędne nad prostą odniesienia są ujemne. Wartości innych rzędnych wyznaczamy wykorzystujac

twierdzenie Tallesa. Przykładowo rzędną odpowiadajacą ustawieniu siły jednostkowej w punkcie (1,2)

(

)

−

333

wyznaczymy ze związku:

(

)

(

)

. Ma ona wartość

⋅

−

333

⋅

667

(

)

(

)

(2,0)

P=1

(1,2)

(2,3)

(3,0)

0. 667a

(1,0)

Wykres przesunięc dla

mechanizmu jak powyżej

oraz

(1,2)

(2,3)

LwM

δ P

(1,0)

ϕ 1

(3,0)

ϕ 3

ϕ 2

0. 333a

(2,0)

Rys. 2.

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski Przykład opracowała R.Sieniawska

α .

Aby równanie rozwiązać określamy związki między przemieszczeniami występującymi w równaniu.

i skąd

LINIE WPŁYWU – przykład 2 – sposób kinematyczny

Przykład 2. W układzie trójprzegubowym jak na rys. 3 sporządzić linię wpływu siły tnącej

w przekroju α.

Rys.3.

Zastępujemy podporę przegubowo-przesuwną więzią elementarną. W przekroju α zastępujemy siłami

V więź odpowiadającą siłom tnącym, co przekształca układ dany w mechanizm. Mechanizm wraz z

oznaczonymi tarczami i środkami chwilowego obrotu pokazano na rys. 5. Połączenie między tarczami

2 i 3 zaznaczone na rys. 5 schematycznie jest połączeniem jak na rys. 4.

Rys.4.

Z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz 2, 6 i 3 oraz 2, 7 i 3 otrzymujemy, że biegun chwilowego

obrotu tarcz 2 i 3 względem siebie leży na przecięciu prostych przechodzacych przez punkty (2,6) i

(6,3) oraz (2,7) i (7,3) czyli w nieskończoności (proste te są równoległe) na prostej prostopadłej do

kierunku działania siły tnącej.

2 3

(2,3)

Analogicznie wyznaczamy środki obrotu (2,0) przez tarcze 1 i 3, oraz (4,0) przez tarcze 1 i 5.

2 0

(2,0)

4 0

(4,0)

Można pominąć wyznaczenie położenia środka obrotu tarczy 4 względem 0. Do narysowania

przesunięć tej tarczy wystarczy informacja, że środek ten musi leżeć na pionowej prostej

przechodzącej przez punkty (5,0) i (4,5), wiadomo więc w którym miejscu będzie jego rzut na osi

odniesienia. Rysujemy oś odniesienia i rzutujemy na nią punkty obrotu tarcz z ostoją. Rysujemy prostą

2 odpowiadajacą tarczy 2 obracając ją o dowolny kąt wokół jej środka obrotu (2,0). Następnie

rzutujemy na tę prostą środek obrotu (1,2) i rysujemy przez ten punkt i punkt (1,0) prostą 1

odpowiadającą tarczy 1. Prosta 3 jest równoległa do prostej 2, ponieważ ich punkt wspólny leży w

nieskończoności (wzajemny środek obrotu (2,3) leży w nieskończoności). Rysujemy więc przez punkt

(3,0) prostą 3 równoległą do prostej 2. Prostą 4 odpowiadającą tarczy 4 prowadzimy przez punkt (4,0)

zrzutowany na prostą odniesienia (0) i punkt (4,1) zrzutowany na prostą 1. Wykres przesunięć o

kształcie takim jak kształt linii wpływu otrzymamy zaznaczając na prostych odcinki odpowiadajace

torowi siły jednostkowej. Są to: odcinek między punktami (4,0) i (4,1) na prostej 4, odcinek między

punktami (4,1) i (1,2) na prostej 1, odcinek między punktami (1,2) i α na prostej 2, odcinek między

punktami α i A na prostej 3.

W celu wyznaczenia rzędnej linii wpływu wykorzystamy równanie prac przygotowanych. Dla

wyznaczenia rzędnej dla tarczy 2 przy przekroju α ustawimy tam siłę jednostkową.

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski Przykład opracowała R.Sieniawska

LINIE WPŁYWU – przykład 2 – sposób kinematyczny

Z faktu, ze biegun obrotu tarcz 2 i 3 leży w nieskończoności wynika, że proste 2 i 3 są do siebie

równoległe, a stąd wynika, że ich kąty obrotu są sobie równe

−

⋅

−

⋅

(

ϕ = ).

Wykorzystując powyższe otrzymujemy zależności

skąd

δ = , równanie przyjmuje postac

−

⋅

V V

⋅

−

⋅

jego

V . Oznacza to, że rzędne nad prostą odniesienia są ujemne a pod nia

dodatnie. Inne rzędne rzędnej można wyznaczyć wykorzystując tw. Tallesa.

(4,0)

−

P=1

(1,2)

(2,3)

∞

(4,5)

(4,1)

(2,0)

(3 , 0 )

(5,0)

(1,0)

Wykres przesunięc dla

mechanizmu jak powyżej

oraz

(1,2)

δ V2

LwV

(1,0)

ϕ 2

ϕ 3

δ V3

(4,0)

(4,1

)

(2,0)

(

3,0)

Rys.5.

Przykład 3. W kratownicy jak na rys. 6 sporządzić linię wpływu siły osiowej w pręcie α. V

3 a

Rys. 6

Zastępujemy podporę przegubowo-przesuwną więzią elementarną. Pręt α zastępujemy siłami N .

Grupujemy pręty tworzące tarcze i numerujemy te tarcze (rys. 7) i opisujemy istniejące bieguny obrotu

tarcz względem siebie: (1,0), (4,0), (2,4), (1,3), (2,3), (1,2).

Z twierdzenia o trzech tarczach wyznaczamy bieguny chwilowego obrotu (2,0) i (3,0)

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski Przykład opracowała R.Sieniawska

Równanie prac przygotowanych ma

rozwiazanie daje wartośc

LINIE WPŁYWU – przykład 2 – sposób kinematyczny

2 0

(2,0)

3 0

(3,0)

Rysujemy oś odniesienia i rzutujemy na nią punkty obrotu tarcz z fundamentem. Rysujemy prostą 1

odpowiadajacą tarczy 1 obróconą o dowolny kąt wokół jej środka obrotu (1,0). Następnie rzutujemy na

tę prostą środek obrotu (1,3) i rysujemy przez ten punkt i punkt (3,0) prostą 3 odpowiadającą tarczy 3,

na prostą 3 rzutujemy punkt (2,3) i przez ten punkt oraz punkt (2,0) rysujemy prostą 2 odpowiadającą

tarczy 2. Wykres przesunięć o kształcie takim jak kształt linii wpływu otrzymamy zaznaczając na

prostych odcinki odpowiadajace torowi siły jednostkowej. Są to: odcinek między punktami (1,0)

i (1,3) na prostej 1, odcinek między punktami (1,3) i (2,3) na prostej 3, odcinek między punktami (2,3)

i A na prostej 2.

W celu wyznaczenia rzędnej linii wpływu odpowiadającą ustawieniu siły jednostkowej w

punkcie (2,3) ustawiamy tam siłę. Równanie prac przygotowanych ma postać

⋅

N N

⋅

gdzie δ , 1

δ , 2

δ przesunięcia w miejscach i kierunkach działania odpowiednio siły α

N działającej

na tarczy 1, siły α

N działającej na tarczy 2 i siły jednostkowej w punkcie (2,3).

Uwzględniając fakt, że

δ ,

1 =

ϕ =

otrzymujemy

2 =

⋅

Stąd

α N

−

667

(

)

co oznacza, że rzędne pod linią odniesienia są ujemne a nad tą linią są dodatnie. Wartości innych

rzędnych można wyznaczy z tw. Tallesa.

(2,0)

(3,0)

P=1

(1,2)

(1,3)

(2,3

)

ϕ 2

(1,0)

δ N2

(4,2)

N α

(

4,0)

Wykres przesunięc dla

mechanizmu jak powyżej

oraz

LW N &

(1,3)

(1,0)

(3,0)

0.667

(2,0)

ϕ 2

δ P

(2,3)

Rys.7

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski Przykład opracowała R.Sieniawska

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: