Zadanie 3.pdf

(242 KB) Pobierz
Zadanie 1
Przykład 7.3. Skręcanie pręta sprężyście zamocowanego
Rozwiązać zagadnienie pręta skręcanego zamocowanego sztywno na jednym końcu i
sprężyście na drugim.
Rysunek 1. Pręt skręcany
Rysunek 2. Przekrój pręta w punkcie B
Warunek równowagi:
M A
− Sd
+
=
0
.
(1)
Warunki zgodności przemieszczeń:
ϕ
=
0
i B
=
()
l
=
2
∆
l
(2)
A
d
M
ϕ
ϕ
186683573.009.png 186683573.010.png
 
Obliczymy:
ϕ
=
M
A
l
−
M
α
'
l
,
ϕ
=
2
Sa
(3)
B
GJ
GJ
B
d
EA
0
0
Zatem,
M A
l
−
M
α
'
l
=
2
Sa
(4)
GJ
GJ
d
EA
0
0
lub
M A
− α
M
'=
2
SaGJ
0
i
M A
−
M
=
−
Sd
.
(5)
d
EAl
Odejmując stronami powyższe równania otrzymujemy:
M
α
=
S
d
+
2
a
G
J
0
.
(6)
d
E
Al
Tak, więc:
1
α
d
S
= α
M
,
M A
=
M
1
−
(7)
a
J
G
a
J
G
d
+
2
0
d
+
2
0
d
Al
E
d
Al
E
Mamy dwa graniczne przypadki szczególne:
1. , tzn. sztywność pręta rozciąganego jest wyraźnie większa od
sztywności pręta skręcanego. Wtedy rozwiązania dążą do:
K
s
=
GJ
0
/
l
<<
K
r
=
EA
/
a
Sd
=
M
α M
,
M
A =
α
'
(8)
Rysunek 3. Wykres momentu skręcającego
2.
K
s
=
GJ
0
/
l
>>
K
r
=
EA
/
a
, tzn. mamy przypadek odwrotny. Wtedy rozwiązania dążą do
Sd
→
M
α
K
r
d
2
→
0
,
M
=
M
(9)
2
K
A
s
Rysunek 4. Wykres momentu skręcającego
2
186683573.011.png
W ogólnym przypadku mamy:
1
α
Sd
= α
,
M
=
M
1
−
,
(10)
1
K
A
1
K
1
+
2
s
1
+
2
s
d
2
K
d
2
K
r
r
gdzie
K s
= ,
GJ
0
K r =
EA
(9)
l
a
są sztywnościami pręta skręcanego i rozciąganego, odpowiednio. Wykresy momentu
skręcającego i kąta skręcenia mają postać:
Rysunek 5. Wykresy momentu skręcającego i kąta skręcenia
Tablica 1 Charakterystyki geometryczne przekroju w zagadnieniu skręcania:
Przekrój
Moment bezwładności
Wskaźnik wytrzymałości
π
r
4
π
4
J
π
3
π
3
J
=
=
W S
=
0
=
=
0
2
32
r
2
16
3
M
d
r
d
186683573.001.png 186683573.002.png 186683573.003.png
π
R
4
π
r
2
π
R
4
( )
= π
R
3
( )
J
=
=
1
−
m
4
W S
1
−
m
4
,
0
2
2
2
2
= π
D
4
( )
= π
D
3
( )
J
1
−
m
4
,
W S
1
−
m
4
0
32
16
r
d
m
=
=
<
1
R
D
J
=
4
A
2
0
,
W S =
2 δ
A
0
min
,
0
ds
∫
()
δ
s
J
=
4
A
2
0
δ
=
2
π
r
3
δ
,
δ
=
const
W S = ,
2 A
0
δ
=
const
0
2
π
r
1
=
3
W = , =
J
1
3
J δ
=
3
a
S
W
=
δ
2
a
S
3
i
S
δ
S
3
i
i
1
min
i
1
J S
=
1
δ =
3
2
π
r
2
πδ
3
r
W S
=
2 πδ
2
r
3
3
3
ab
3
a
2
b
2
J skr
≅
⋅
W skr
≅
,
3
3
a
+
1
b
b
b
5
⋅
1
−
0
63
+
0
052
+
.
.
.
a
a
J skr =
0 a
141
4
, a=b
W skr =
0 a
208
3
, a=b
a
2
3
2
a
2
3
3
4
W skr
=
2
A
δ
=
2
δ
=
a
δ
4
0
4
2
4
A
2
0
1
J skr
=
=
=
a
3
δ
ds
3
a
4
∫
()
δ
s
δ
J skr = ,
1 a
4
δ
=
1
a
3 a
1
40
10
W skr = ,
3
δ
=
a
20
10
4
A
2
0
4
b
2
h
2
b
2
h
2
W skr
=
2
A
δ bh
=
2
δ
J skr
=
=
=
2
δ
0
ds
2
h
+
2
b
h
+
b
∫
()
δ
s
δ
4
2
186683573.004.png 186683573.005.png
Tablica 2 Naprężenia styczne i kąty skręcenia w zagadnieniu skręcania pręta o różnych
przekrojach:
Przekrój poprzeczny
Naprężenia styczne τ Kąt skręcenia na jednostkę
długości ϕ
2
M S
a
2
+
b
2
M
τ =
S
A
π
ab
2
π
a
3
b
3
G
τ
A =
20
a
M S
46
.
M
S
3
a
4
G
*
τ = ,
M S
τ =
γτ
*
1
β
M
S
A
α
ab
2
B
A
ab
3
G
τ
A =
M S
at
+
bt
1
M
S
2 abt
2
tt
a
2
b
2
G
1
1
τ
=
M S
B
2
abt
τ
=
M S
2
( )
a
2
+
b
2
M
S
A
2
π
abt
4
π
a
2
b
2
t
G
*) gdzie:
a/b β
α
γ
1.0
0.141
0.208
0.208
2.0
0.229
0.246
0.309
3.0
0.281
0.282
0.379
∞
1/3
1/3
0.422
5
186683573.006.png 186683573.007.png 186683573.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin