Wprowadzenie.pdf

(247 KB) Pobierz
Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory
Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory
Dana jest figura płaska o polu A oraz prostokątny układ współrzędnych Oxy .
y
dA
y
A
O
x
x
Momentem bezwładności figury względem osi x jest
dA
I
x ∫
=
y
2
.
A
Momentem bezwładności figury względem osi y jest
dA
I
y ∫
=
x
2
.
A
Momentem dewiacyjnym figury względem prostokątnego układu osi x i y jest
∫
I
xy
=
xydA
.
A
Z definicji momentów bezwładności wynika, że mogą być one tylko dodatnie.
Natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero.
W przypadku równoległego przesunięcia osi układu korzystamy z twierdzenia
Steinera, wyrażonego poniższymi wzorami:
y
b
y c
A
x c
C ( b , a )
a
O
x
I
=
I
+
A
⋅
a
2
x
x
c
I
=
I
+
A
⋅
b
2
y
y
c
=
gdzie osie x c i y c są osiami centralnymi, natomiast b i a są współrzędnymi punktu C w
układzie Oxy . Z rysunku wynika, że są to odległości między osiami.
Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi
centralnych można wyznaczyć korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
2
I
xy
I
x
c y
c
+
A
⋅
a
⋅
b
I
=
I
−
A
⋅
a
x c
x
I
=
I
−
A
⋅
b
2
b
y c
y
I
x c
c
=
I
xy
−
A
⋅
a
⋅
.
1110378.013.png
Przyjmijmy prostokątny układ współrzędnych Oξη obrócony o kąt φ względem układu
Oxy . Współrzędne dowolnego punktu figury płaskiej spełniają zależności:
ξ = x cos φ + y sin φ
η = y cos φ − x sin φ.
η
y
A
φ
y
ξ
η
ξ
φ
O
x
x
Wykorzystując te zależności wyznaczamy momenty bezwładności i moment
dewiacyjny w obróconym układzie Oξη :
I
= ∫
η
2
dA
=
I
cos
2
ϕ
+
I
sin
2
ϕ
−
2
I
sin
ϕ
cos
ϕ
ξ
x
y
xy
A
I
= ∫
ξ
2
dA
=
I
cos
2
ϕ
+
I
sin
2
ϕ
+
2
I
sin
ϕ
cos
ϕ
η
y
x
xy
A
( )
)
I
= ∫
ξηdA
=
I
−
I
sin
ϕ
cos
ϕ
+
I
(
cos
2
ϕ
−
sin
2
ϕ
ξη
x
y
xy
A
lub
I
=
( ) ( )
I
x
+
I
y
+
I
x
−
I
y
cos
2
ϕ
−
I
sin
2
ϕ
ξ
2
2
xy
I
=
( ) ( )
I
x
+
I
y
−
I
x
−
I
y
cos
2
ϕ
+
I
sin
2
ϕ
η
2
2
xy
I
=
( )
I
x
−
I
y
sin
2
ϕ
+
I
cos
2
ϕ
.
ξη
2
xy
Osie układu prostokątnego, w którym moment dewiacyjny I ξη = 0 nazywamy
głównymi osiami bezwładności. Kąt φ o między osiami prostokątnego układu Oxy i układu
głównych osi bezwładności spełnia równanie:
tg
2
ϕ
=
−
2
I
xy
I
o
I
−
x
y
Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności osiągają wartości
ekstremalne:
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
y
+
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
+
I
2
1
max
2
2
xy
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
y
−
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
+
I
2
.
2
min
2
2
xy
Z powyższych wzorów wynika, że
I
x
+
I
y
=
I
ξ
+
I
η
=
I
1 I
+
2
I =
I
łówna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
tworzy z osią x kąt , natomiast główna oś bezwładności, względem której
ϕ
2
1
max
1110378.014.png
ϕ . Kierunki główne
minimalnego i maksymalnego momentów bezwładności wyznaczamy następująco:
I =
2
I
min
tworzy z osią x kąt 2
π
1. I x > I y to
ϕ
=
ϕ
, natomiast
ϕ
=
ϕ
+
1
o
2
o
2
π
2. I x < I y to
ϕ
=
ϕ
+
, natomiast
ϕ
=
ϕ
1
o
2
2
o
3. I x = I y , I xy > 0 to
ϕ , natomiast
=
−
π
ϕ
=
π
1
4
2
4
π
π
4. I x = I y , I xy < 0 to
ϕ , natomiast
=
ϕ .
=
−
1
4
2
4
Znak dodatni bądź ujemny kąta φ ilustruje poniższy rysunek.
y
y
φ > 0
x
x
O
O φ < 0
O głównych centralnych osiach bezwładności mówimy wówczas, gdy układ osi
głównych ma początek w środku ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej. Momenty
bezwładności względem tych osi nazywamy głównymi centralnymi momentami
bezwładności.
Jeżeli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii figury płaskiej, to moment
dewiacyjny figury w takim układzie współrzędnych jest równy zero.
W przypadku wyznaczania momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego figury
złożonej będziemy stosować metodę superpozycji, traktując rozpatrywaną figurę jako sumę
figur elementarnych, takich jak np. prostokąt, trójkąt i fragment koła. Korzystać będziemy z
wartości momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego dla wymienionych figur.
1. Prostokąt
y
b
y c
y
2
dA = dxdy
dy
y
h
h
x c
C
h
2
x
x
O
x
O
b
dx
b
bh
1 bh
I
=
∫
y
2
dA
=
∫∫
y
2
dxdy
=
3
x
3
A
00
3
moment bezwładności ma wartość
1110378.015.png 1110378.016.png 1110378.001.png 1110378.002.png
bh
1 hb
I
=
∫
x
2
dA
=
∫∫
x
2
dxdy
=
3
y
3
A
00
bh
1
I
xy ∫∫
=
∫
xydA
=
xydxdy
=
b
2
h
2
4
A
00
⎛
h
⎞
2
1
⎛
h
⎞
2
1
I
=
I
−
A
⋅
⎝
⎠
=
bh
3
−
bh
⋅
⎝
⎠
=
bh
3
x c
x
2
3
2
12
⎛
b
⎞
2
1
⎛
b
⎞
2
1
I
=
I
−
A
⋅
⎝
⎠
=
hb
3
−
bh
⋅
⎝
⎠
=
hb
3
y c
y
2
3
2
12
I
=
I
−
A
⋅
⎝
b
⎠
⋅
⎝
h
⎠
=
1
b
2
h
2
−
bh
⋅
⎝
b
⎠
⋅
⎝
h
⎠
=
0
x c
c
y
xy
2
2
4
2
2
2. Trójkąt
y
b
y c
y
3
dA = dxdy
h
dy
h
x c
y
C
h
x
3
x
x
O
O
h
b
dx
y=− h
⋅
x
+
b
b
⎡
h
⎛ −
1
x
⎠
⎤
b
⎢
b
⎥
1 bh
I
=
∫
y
2
dA
=
∫∫
⎢
y
2
dy
⎥
dx
=
3
x
12
⎢
⎥
A
0
0
⎣
⎦
⎡
h
⎛ −
1
x
⎠
⎤
b
⎢
b
⎥
1 hb
I
=
∫
x
2
dA
=
∫∫
⎢
x
2
dy
⎥
dx
=
3
y
12
⎢
⎥
A
0
0
⎣
⎦
⎡
h
⎛ −
1
x
⎠
⎤
b
⎢
b
⎥
1
I
xy ∫∫
=
∫
xy
dA
=
⎢
xy
dy
⎥
dx
=
h
2
b
2
24
⎢
⎥
A
0
0
⎣
⎦
⎛
h
⎞
2
1
1
⎛
h
⎞
2
1
I
=
I
−
A
⋅
⎝
⎠
=
bh
3
−
bh
⋅
⎝
⎠
=
bh
3
x c
x
3
12
2
3
36
⎛
b
⎞
2
1
1
⎛
b
⎞
2
1
I
=
I
−
A
⋅
⎝
⎠
=
hb
3
−
bh
⋅
⎝
⎠
=
hb
3
y c
y
3
12
2
3
36
I
=
I
−
A
⋅
⎝
b
⎠
⋅
⎝
h
⎠
=
1
b
2
h
2
−
1
bh
⋅
⎝
b
⎠
⋅
⎝
h
⎠
=
−
1
b
2
h
2
x c
c
y
xy
3
3
24
2
3
3
72
4
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎞
⎝
⎞
⎝
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
1110378.003.png 1110378.004.png 1110378.005.png
 
3. Ćwiartka koła
4
r
y
y
3
π
y c
dρ
dA = ρdφdρ
ρ
x c
dφ
y=ρsinφ
C
4
r
φ
x
3
π
x
O
O
x=ρcosφ
r
r
π
2 r
1
I
=
∫
y
2
dA
=
∫∫
ρ
2
sin
2
ϕρ
d
ϕ
d
ρ
=
π
r
4
x
16
A
00
π
2 r
1
I
=
∫
x
2
dA
=
∫∫
ρ
2
c
os
2
ϕρ
d
ϕ
d
ρ
=
π
r
4
y
16
A
00
π
2 r
1
I
xy ∫∫
=
∫
xy
dA
=
ρ
2
sin
ϕ
c
os
ϕρ
d
ϕ
d
ρ
=
r
4
8
A
00
⎛
4
r
⎞
2
1
1
⎛
4
r
⎞
2
I
=
I
−
A
⋅
⎝
⎠
=
π
r
4
−
π
r
2
⋅
⎝
⎠
≅
0
.
05488
r
4
x c
x
3
π
16
4
3
π
⎛
4
r
⎞
2
1
1
⎛
4
r
⎞
2
I
=
I
−
A
⋅
⎝
⎠
=
π
r
4
−
π
r
2
⋅
⎝
⎠
≅
0
.
05488
r
4
y c
y
3
π
16
4
3
π
⎛
4
r
⎞
2
1
1
⎛
4
r
⎞
2
I
=
I
−
A
⋅
⎝
⎠
=
r
4
−
π
r
2
⋅
⎝
⎠
≅
−
0
.
01647
r
4
x c
c
y
xy
3
π
8
4
3
π
4. Półkole
y c = y
C
4
r
x c
3
π
x
O
r
r
I
=
I
=
1
2 πr
⋅
⋅
πr
4
=
1
4
x
y
16
8
5
1110378.006.png 1110378.007.png 1110378.008.png 1110378.009.png 1110378.010.png 1110378.011.png 1110378.012.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin