Zadanie 3.pdf

(200 KB) Pobierz
Przykład 2
Przykład 2.3. Figura złożona
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
3 r
3 r
·
·
4 r
W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów
bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy dwa współśrodkowe prostokątne układy
współrzędnych Oxy i Ouv oraz dzielimy rozpatrywaną figurę na dwie figury podstawowe.
v
y
u
I
II
3 r
3 r
·
α
·
O
x
4 r
Z wymiarów zadania wynika, że przeciwprostokątna trójkąta (figura II) ma długość
równą :
() ()
r
2
+
4
r
2
=
25
r
2
=
5
r
, a więc
sin
α
=
3
,
cos
α
=
4
.
5
5
v
v
c
y
u
u
c
y
c
2
I
II
C
C 1
3 r
x
3 r
C 2
c
2
·
α
·
O
x
4 r
3
186655860.013.png 186655860.014.png
Układ współrzędnych Ouv obrócony jest o kąt α względem układu Oxy . Współrzędne
dowolnego punktu spełniają zależności:
u = x cos α + y sin α
v = y cos α − x sin α.
Współrzędne środka ciężkości trójkąta (II figury) w układzie Oxy są równe:
~ c
=
2
⋅
4
r
=
8
r
,
~ c
= 3
3
1
⋅
r
=
r
2
3
3
2
zaś w układzie Ouv przyjmują wartości:
~ c
=
8
r
⋅
4
+
r
⋅
3
=
41
r
,
~ c
=
r
⋅
4
−
8
r
⋅
3
=
−
4
r
2
3
5
5
15
2
5
3
5
5
Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości w
układzie Ouv .
A
I
=
1
⋅
π
⋅
()
3
r
2
=
9
πr
2
,
~ c
=
4
⋅
3
r
=
4
r
,
~ c
=
4
⋅
3
r
=
4
r
,
4
4
1
3
π
π
1
3
π
π
1
41
4
A
II
=
⋅
4
r
⋅
3
r
=
6
r
2
,
~ c
2 = ,
r
~ c
= .
−
r
2
15
2
5
Całkowite pole figury wynosi:
A
=
A
I
+
A
II
=
9
⋅
πr
2
+
6
r
2
=
13
.
0686
r
2
4
Moment statyczny względem osi v wynosi:
S
=
A
I
⋅
~
+
A
II
⋅
~
=
9
π
r
2
⋅
⎝
4
r
⎠
+
6
r
2
⋅
41
r
=
25
.
4
r
3
v
c
1
c
2
4
π
15
Moment statyczny względem osi u wynosi:
S
=
A
I
⋅
~
+
A
II
⋅
~
=
9
π
r
2
⋅
⎝
4
r
⎠
+
6
r
2
⋅
⎛ −
4
r
⎠
=
4
.
2
r
3
u
c
1
c
2
4
π
5
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury w układzie Ouv wynoszą
odpowiednio:
~
S
25
.
4
r
3
~
S
4
r
3
=
v
=
=
1
.
9436
r
oraz
=
u
=
=
0
.
3214
r
.
c
A
13
.
0686
r
2
c
A
13
.
0686
r
2
v
v
c
y
y
u
c
u
c
2
I
II
C 1
C
3 r
x
3 r
C 2
c
2
·
α
·
x
4 r
Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla obu figur składowych
w układzie osi Ouv . Dla pierwszej figury (ćwiartka koła) mamy
()
I
I
=
I
I
=
1
⋅
π
⋅
3
r
4
=
15
.
904
r
4
, ()
I uv
I
=
1
⋅
3
r
4
=
10
.
125
r
4
.
u
v
16
8
Dla drugiej figury (trójkąt) obliczenia przeprowadzimy w układzie osi Oxy .
2
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎞
186655860.015.png 186655860.016.png 186655860.001.png 186655860.002.png 186655860.003.png 186655860.004.png 186655860.005.png 186655860.006.png
 
I x
II
=
1
⋅
4
r
⋅
()
3
r
3
=
9
r
4
12
W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi y figury II, przedstawimy
ją jako różnicę dwu figur, zgodnie z poniższym rysunkiem.
y
y
3 r
O
x
O
x
4 r
4 r
I y
II
=
1
⋅
3
r
⋅
() ()
4
r
3
−
1
⋅
3
r
⋅
4
r
3
=
48
r
4
3
12
Moment dewiacyjny figury II w układzie Oxy wyznaczymy korzystając z twierdzenia
Steinera
I
II
=
I
II
+
A
II
⋅
~
⋅
~
=
1
⋅
()()
4
r
2
⋅
3
r
2
+
6
r
2
⋅
8
r
⋅
r
=
18
r
4
.
xy
x
y
c
c
72
3
c
c
2
2
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny figury II w obróconym układzie Ouv
wyznaczamy z zależności:
I
II
=
I
II
cos
2
α
+
I
II
sin
2
α
−
2
I
II
sin
α
cos
α
=
9
r
4
⋅
16
+
48
r
4
⋅
9
−
18
r
4
⋅
4
⋅
3
=
5
.
76
r
4
u
x
y
xy
25
25
5
5
16
9
4
3
I
II
=
I
II
cos
2
α
+
I
II
sin
2
α
+
2
I
II
sin
α
cos
α
=
48
r
4
⋅
+
9
r
4
⋅
+
18
r
4
⋅
⋅
=
51
.
24
r
4
v
y
x
xy
25
25
5
5
)
I
II
=
( )
I
II
−
I
II
sin
α
cos
α
+
I
II
(
cos
2
α
−
sin
2
α
=
uv
x
y
xy
=
( )
9
r
4
−
48
r
4
⋅
3
⋅
4
+
18
r
4
⋅
⎝
16
−
9
⎠
=
−
13
.
68
r
4
5
5
25
25
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury
I i II, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.
4
I
=
I
I
+
I
II
=
15
.
904
r
4
+
5
.
76
r
4
=
21
.
664
r
u
u
u
I
=
I
I
+
I
II
=
15
.
904
r
4
+
51
.
24
r
4
=
67
.
144
r
4
4
v
v
v
= .
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta w obróconym układzie Ouv
możemy obliczyć bez konieczności transformowania ich przez obrót układu. Trójkąt można
podzielić na dwa trójkąty prostokątne, których boki przyprostokątne są równoległe do osi
układu Ouv zgodnie z poniższym rysunkiem.
I
I
I
+
I
II
=
10
.
125
r
4
−
13
.
68
r
4
=
−
3
.
555
r
uv
uv
uv
sin
α
=
3
,
cos
α
=
4
5
5
3
12
h
=
4
r
⋅
sin
α
=
4
r
⋅
=
r
5
5
4
16
b
=
4
r
⋅
cos
α
=
4
r
⋅
=
r
2
5
5
3
⎛
⎞
186655860.007.png 186655860.008.png 186655860.009.png 186655860.010.png
b
=
3
r
⋅
sin
α
=
3
r
⋅
3
=
9
r
3
5
5
y
b
u
v
c
3
v
III
h
u
b
v
·
c
2
·
c
3
3 r
C 3
α
C 2
u
c
2
II
4 r
x
Pola powierzchni figury II i III oraz współrzędne ich środków ciężkości w obróconym
układzie Ouv wynoszą
A
II
=
1
⋅
b
⋅
h
=
1
⋅
16
r
⋅
12
r
=
96
r
2
,
A
III
=
1
⋅
b
⋅
h
=
1
⋅
9
r
⋅
12
r
=
54
r
2
2
2
2
5
5
25
2
3
2
5
5
25
~ c
=
2
⋅
b
=
2
⋅
16
r
=
32
r
~ c
=
b
+
1
⋅
b
=
16
r
+
1
⋅
9
r
=
19
r
2
3
2
3
5
15
3
2
3
3
5
3
5
5
~
=
~
=
−
1
⋅
h
=
−
1
⋅
12
r
=
−
4
r
c
2
c
3
3
3
5
5
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta, będącego sumą trójkątów II i
III, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.
1
1
⎛
12
⎞
3
144
I
II
+
I
III
=
⋅
( )
b
+
b
⋅
h
3
=
⋅
5
r
⋅
⎝
⋅
r
⎠
=
r
4
=
5
.
76
r
4
u
u
12
2
3
12
5
25
I
II
+
I
III
=
I
II
+
A
II
⋅
~
2
+
I
III
+
A
III
⋅
~
2
=
v
v
v
c
2
c
2
v
c
3
c
3
1
12
⎛
16
⎞
3
96
⎛
32
⎞
2
1
12
⎛
9
⎞
3
54
⎛
19
⎞
2
=
⋅
r
⋅
⎝
r
⎠
+
r
2
⋅
⎝
r
⎠
+
⋅
r
⋅
⎝
r
⎠
+
r
2
⋅
⎝
r
⎠
=
51
.
24
r
4
36
5
5
25
15
36
5
5
25
5
I
II
+
I
III
=
I
II
+
A
II
⋅
~
⋅
~
+
I
III
+
A
III
⋅
~
⋅
~
=
uv
uv
u
c
2
v
c
2
c
2
c
2
u
c
3
v
c
3
c
3
c
3
1
⎛
16
⎞
2
⎛
12
⎞
2
96
32
⎛ −
4
⎞
1
⎛
9
⎞
2
⎛
12
⎞
2
54
19
⎛ −
4
⎞
=
−
⋅
⎝
r
⎠
⋅
⎝
r
⎠
+
r
2
⋅
r
⋅
⎝
r
⎠
+
⋅
⎝
r
⎠
⋅
⎝
r
⎠
+
r
2
⋅
r
⋅
⎝
r
⎠
=
72
5
5
25
15
5
72
5
5
25
5
5
=
−
13
.
68
r
4
Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury
I, II i III w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych.
4
I
=
I
I
+
I
II
+
I
III
=
15
.
904
r
4
+
5
.
76
r
4
=
21
.
664
r
u
u
u
u
I
=
I
I
+
I
II
+
I
III
=
15
.
904
r
4
+
51
.
24
r
4
=
67
.
144
r
4
v
v
v
v
= .
Otrzymane wyniki są identyczne z uzyskanymi przy zastosowaniu podziału na dwie
figury składowe.
Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi
centralnych
I
I
I
+
I
II
+
I
III
=
10
.
125
r
4
−
13
.
68
r
4
=
−
3
.
555
r
4
uv
uv
uv
uv
u
c v
c
wyznaczymy korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
I
=
I
−
A
⋅
~
2
=
21
.
664
r
4
−
13
.
0686
r
2
⋅
( )
0
.
3214
r
2
=
20
.
3140
r
4
u c
u
c
4
186655860.011.png
 
I
=
I
−
A
⋅
~
2
=
67
.
144
r
4
−
13
.
0686
r
2
⋅
( )
1
.
9436
r
2
=
17
.
7763
r
4
v c
v
c
I
=
I
−
A
⋅
~
⋅
~
=
−
3
.
555
r
4
−
13
.
0686
r
2
⋅
1
.
9436
r
⋅
0
.
3214
r
=
−
11
.
7186
r
4
.
u c
c
v
uv
c
c
Kąt φ o między osiami prostokątnego układu
u
c v
c
i układu głównych osi bezwładności
spełnia równanie:
( )
−
2
I
−
2
⋅
−
11
.
7186
r
4
tg
2
ϕ
=
u
c
v
c
=
=
9
.
2356
o
I
−
I
20
.
3140
r
4
−
17
.
7763
r
4
u
c
v
c
ϕ
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
tworzy z osią kąt , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość
2
ϕ
o
=
1
.
4629
rad
, a więc
o
=
0
.
7315
rad
.
I =
1
I
max
u
c
ϕ
I =
2
I
min
tworzy z osią kąt
c
u
ϕ .
2
I > to
I
ϕ
=
ϕ
=
0
.
7315
rad
, a
ϕ
=
ϕ
+
π
=
⎝
0
.
7315
+
π
⎠
rad
=
2
.
3023
rad
u
c
v
c
1
o
2
o
2
2
Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności
u
c v
c
osiągają wartości
ekstremalne:
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
u
c
v
c
+
⎜
⎝
u
c
v
c
⎟
⎠
+
I
2
=
1
max
2
2
u
c
v
c
20
.
3140
r
4
+
17
.
7763
r
4
⎛
20
.
3140
r
4
−
17
.
7763
r
4
⎞
2
( )
2
=
+
⎜
⎟
+
−
11
.
7186
r
4
=
30
.
8322
r
4
2
2
⎝
⎠
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
u
c
v
c
−
⎜
⎝
u
c
v
c
⎟
⎠
+
I
2
=
2
min
2
2
u
c
v
c
20
.
3140
r
4
+
17
.
7763
r
4
⎛
20
.
3140
r
4
−
17
.
7763
r
4
⎞
2
( )
2
=
−
⎜
⎟
+
−
11
.
7186
r
4
=
7
.
2581
r
4
2
2
⎝
⎠
Kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
v
c
u
ϕ
c
ϕ
2
Kierunek minimalnego
momentu bezwładności
C
5
stąd
⎛
⎞
186655860.012.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin