Zadanie 6.pdf

(79 KB) Pobierz
WM0106P
Przykład 1.6. Obci ąŜ enie termiczne
Wyznaczyć siły w prętach przedstawionego układu prętowego wywołane obciąŜeniem
termicznym t [˚C] jednego pręta. Przekroje poprzeczne prętów są jednakowe i wynoszą
A [m 2 ], długości l w [m], ich moduł Younga - E [N/m 2 ] i współczynnik rozszerzalności
liniowej α t [1/˚C],
l
l
l
E,A
E, A, α t , t
l
l
Rozwi ą zanie
ObciąŜenie termiczne t > 0 pręta wywołuje jego wydłuŜenie. PoniewaŜ jednak swoboda jego
odkształcania jest ograniczona, więc powstaje stan wstępnych napręŜeń wywołany
niemoŜnością swobodnego odkształcenia ogrzanego pręta i odkształceniami pozostałych
prętów układu.
Wprowadźmy oznaczenia sił w prętach i opiszmy przemieszczenia dwu swobodnych węzłów
1 i 2 składowymi wektorów ich przemieszczeń, odpowiednio u 1 , v 1 i u 2 , v 2 .
1
y
1
S 1
S 2
u 1
S 3
x
V 1
S 3
2
U 2
S 4
2
S 5
V 2
Równania geometryczne.
Równania geometryczne przyjmują postać
D
l
1
=
-
u
1
cos
45
o
+
v
1
cos
45
o
D
l
2
=
u
1
cos
45
o
+
v
1
cos
45
o
186635301.046.png 186635301.047.png 186635301.048.png 186635301.049.png 186635301.001.png 186635301.002.png 186635301.003.png 186635301.004.png 186635301.005.png 186635301.006.png 186635301.007.png 186635301.008.png 186635301.009.png 186635301.010.png 186635301.011.png 186635301.012.png 186635301.013.png 186635301.014.png 186635301.015.png 186635301.016.png 186635301.017.png 186635301.018.png 186635301.019.png 186635301.020.png 186635301.021.png 186635301.022.png 186635301.023.png 186635301.024.png 186635301.025.png
D
l
3
=
-
v
1
+
v
2
D
l
4
=
u
2
cos
45
o
-
v
2
cos
45
o
(1-5)
D
l
5
=
-
u
2
cos
45
o
-
v
2
cos
45
o
Warunki fizyczne
WydłuŜenia prętó w wynoszą:
D
l
=
S
1
2
l
,
D
l
=
S
2
2
l
+
2
α
D
tl
,
D
l
=
S
3
l
,
1
2
t
3
EA
E A
EA
D
l
=
S
4
2
l
,
D
l
=
S
5
2
l
(6-10)
4
5
EA
EA
Wyznaczając siły z równań (6-10) i uwzględniając równania (1-4) otrzymujemy
(
=
EA
-
u
+
v
)
1
1
1
2
l
EA
S
=
(
u
+
v
-
2
α
D
tl
)
2
1
1
t
2
l
S
=
EA
(
-
v
+
v
)
(6*-10*)
3
1
2
l
S
=
EA
(
u
-
v
)
4
2
2
2
l
EA
S
=
(
-
u
-
v
)
5
2
2
2
l
Zapiszemy teraz równania równowagi dla węzłów swobodnych 1 i 2.
Węzeł 1
∑
P
=
0
⇒
-
S
1
+
S
1
=
0
ix
1
2
2
2
(11,12)
1
1
∑
P
=
0
⇒
S
+
S
-
S
=
0
iy
1
2
3
2
2
Węzeł 2
∑
P
=
0
⇒
-
S
1
+
S
1
=
0
ix
4
5
2
2
(13,14)
1
1
∑
P
=
0
⇒
-
S
-
S
+
S
=
0
iy
4
5
3
2
2
Podstawiając wyraŜenia (6*-10*) do równań (11-14) mamy układ 4 równań:
(
EA
-
u
+
v
)
+
EA
(
u
+
v
-
2
α
D
tl
)
=
0
1
1
1
1
t
2
l
2
l
EA
(
-
u
+
v
)
+
EA
(
u
+
v
-
2
α
D
tl
)
-
2
EA
(
-
v
+
v
)
=
0
1
1
1
1
t
1
2
2
l
2
l
l
-
EA
(
u
-
v
)
+
EA
(
-
u
-
v
)
=
0
2
2
2
2
2
l
2
l
EA
EA
EA
-
(
u
-
v
)
-
(
-
u
-
v
)
+
2
(
-
v
+
v
)
=
0
2
2
2
2
1
2
2
l
2
l
l
który po uporządkowaniu ma postać:
2
S
-
186635301.026.png 186635301.027.png 186635301.028.png 186635301.029.png 186635301.030.png 186635301.031.png 186635301.032.png 186635301.033.png 186635301.034.png 186635301.035.png 186635301.036.png 186635301.037.png 186635301.038.png
u
1
-
α
t
D
tl
=
0
(
)
2
+
2
2
v
1
-
2
v
2
=
2
t
D
tl
u 2
=
0
(
)
-
Z rozwiązania układu otrzymujemy
tl
v
1
2
+
2
v
2
=
0
u
1
=
α
t
D
,
u 2 = 0 ,
v
=
3
+
2
α
D
tl
,
1
t
7
v
=
4
-
2
α
D
tl
.
2
t
7
Z równań (6*-10*) wyznaczamy siły w prętach
(
S
=
S
=
S
=
S
=
-
1
4
-
2
EA
α
D
t
=
-
0
.
1847
×
EA
α
D
t
,
1
2
4
5
t
t
14
S
=
-
1
(
2
2
-
1
)
EA
α
D
t
=
-
0
.
2612
×
EA
α
D
t
.
3
t
t
7
Wszystkie pręty są ściskane.
Ć wiczenie
Wykorzystując przedstawione rozwiązanie wyznacz siły w prętach tego układu, przy
załoŜeniu, Ŝe pręt nr 2 jest nieodkształcalny (np. wykonany jest z materiału o duŜo większym
module Younga, niŜ pozostałe pręty). Porównaj rozwiązania.
E,A
E, A, α t , t
E 1 E 1 A→∞
3
2
)
186635301.039.png 186635301.040.png 186635301.041.png 186635301.042.png 186635301.043.png 186635301.044.png 186635301.045.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin