Zadanie 7.pdf

(65 KB) Pobierz
WM0107RP
Przykład 1.7. Obci ąŜ enie monta Ŝ owe
Wyznaczyć siły w prętach przedstawionego układu prętowego wywołane wymuszonym
montaŜem spowodowanym błędną długością jednego pręta – mniejszą od wymaganej o m .
Przekroje poprzeczne prętów oraz moduł Younga jak na rysunku. Wyznaczyć połoŜenie
węzła po połączeniu prętów.
l
l
l
E,2A
E,A
Ș m
l
Rozwi ą zanie
Zadanie rozwiąŜemy metodą przemieszczeń wyraŜając wszystkie niewiadome za pomocą
przemieszczeń.
Wymuszony montaŜ oznacza, Ŝe mimo niedokładności wykonania prętów (układ
przedstawiony na rysunku) zostaną one połączone w jednym węźle. Wymaga to wstępnego
odkształcenia pręta i wywoła w całym układzie wstępny stan napręŜenia tzw. napręŜenia
montaŜowe. Wprowadzając oznaczenia sił w prętach zapiszemy równania równowagi dla
węzła swobodnego 1.
1
y
S 1
S 2
S 3
x
Węzeł 1
∑
P
=
0
⇒
-
S
1
+
S
1
=
0
ix
1
2
2
2
(1,2)
1
1
∑
P
=
0
⇒
S
+
S
-
S
=
0
iy
1
2
3
2
2
Uzyskaliśmy układ 2 równań jednorodnych z 3 niewiadomymi. Brakujące równanie
uzyskamy z analizy warunków geometrycznych i fizycznych zadania.
Warunki fizyczne
WydłuŜenia prętów wynoszą:
D
l
=
S
1
l
1
,
D
l
=
S
2
l
2
,
D
l
=
S
3
l
3
.
(3,4,5)
1
2
3
E
A
E
A
E
A
1
1
2
2
3
3
186635233.046.png 186635233.047.png 186635233.048.png 186635233.049.png 186635233.001.png 186635233.002.png 186635233.003.png 186635233.004.png 186635233.005.png 186635233.006.png 186635233.007.png 186635233.008.png 186635233.009.png 186635233.010.png 186635233.011.png 186635233.012.png 186635233.013.png 186635233.014.png 186635233.015.png 186635233.016.png 186635233.017.png
Po uwzględnieni u d anych mamy
D
l
1
=
S
1
2
l
,
D
l
2
=
S
2
2
l
,
D
l
3
=
S
3
l
.
EA
E
2
A
EA
Stąd łatwo wy zn aczamy siły w prętach za pośrednictwem wydłuŜeń
S
=
2
EA
D
l
,
S
=
2
EA
D
l
,
S
=
EA
D
l
.
(3*,4*,5*)
1
1
2
2
3
3
2
l
l
l
Zapiszemy teraz równania geometryczne czyli wydłuŜenia prętów wyraŜone przez
przemieszczenia węzłów.
Przemieszczenie węzła 1 opiszemy składowymi u 1 , v 1 wektora jego przemieszczenia. Opisują
one połoŜenie węzła 1 po połączeniu prętów
1
u 1
V 1
Równania geometryczne przyjmują postać
D
l
=
u
1
+
v
1
,
D
l
=
-
u
1
+
v
1
,
D
l
=
D
-
v
.
(6, 7, 8)
1
2
3
m
1
2
2
2
2
W równaniu (8) uwzględnione zostało wstępne wydłuŜenie pręta 3 do węzła 1 o wielkość
błędu montaŜowego. Podstawiając otrzymane wyraŜenia do (3*-5*) otrzymujemy siły
wyraŜone przez przemieszczenia
(
S
=
1
EA
u
+
v
)
,
S
=
-
EA
(
u
-
v
)
,
S
=
EA
(
D
-
v
)
,
1
1
1
2
1
1
3
m
1
2
l
l
l
a po podstawieniu ich do równań równowagi dostajemy układ dwu równań względem dwu
niewiadomych przemieszczeń
3
EA
u
-
1
EA
v
=
0
1
1
2
l
2
l
-
2
EA
u
+
-
3
2
EA
+
EA
v
-
EA
D
=
0
1
1
m
4
l
4
l
l
l
Z rozwiązania powyŜszego układu dostajemy
v
=
3
D
@
0
.
52
D
1
m
m
3
+
2
2
u
=
1
D
@
0
.
17
D
1
m
m
3
+
2
2
Węzeł przemieszcza się w załoŜonym kierunku. Przesunięcie w poziomie wynika z róŜnych
sztywności prętów 1 i 2. Jako ćwiczenie polecamy rozwiązanie tego zadania w przypadku
jednakowych przekrojów prętów.
2
186635233.018.png 186635233.019.png 186635233.020.png 186635233.021.png 186635233.022.png 186635233.023.png 186635233.024.png 186635233.025.png 186635233.026.png 186635233.027.png 186635233.028.png 186635233.029.png 186635233.030.png 186635233.031.png 186635233.032.png 186635233.033.png 186635233.034.png 186635233.035.png 186635233.036.png 186635233.037.png 186635233.038.png 186635233.039.png 186635233.040.png 186635233.041.png 186635233.042.png 186635233.043.png 186635233.044.png 186635233.045.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin