MN10.pdf

(132 KB) Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
Metody Numeryczne
Wykład 10
870701075.051.png
Wielomianowa aproksymacja ciągła
(metodą najmniejszych kwadratów)
Dana jest funkcja fϵC[a,b] poszukujemy wielomianu p n , stopnia
co najwyżej n , minimalizującego błąd aproksymacji zdefiniowany
następująco:
b
2
∫
E
=
f
(
x
)
-
p
(
x
)
dx
(
)
a
a
Zakładając wielomian postaci:
n
∑ =
n
n
-
1
k
p
(
x
)
=
a
x
+
a
x
+
3
+
a
x
+
a
=
a
x
n
n
n
-
1
1
0
k
k
0
Otrzymujemy:
2
b
n
∑
) ∫
k
E
a
,
a
,...
a
=
f
(
x
)
-
a
x
dx
(
0
1
n
k
k
=
0
a
870701075.062.png
7
n
∑ =
k
6
a
k x
k
0
5
4
f
( x
)
3
3
f
( x
)
2
2
n
∑ =
k
10
×
f
(
x
)
-
a
k x
1
k
0
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
870701075.072.png 870701075.075.png 870701075.001.png 870701075.002.png 870701075.003.png 870701075.004.png 870701075.005.png 870701075.006.png 870701075.007.png 870701075.008.png 870701075.009.png 870701075.010.png 870701075.011.png 870701075.012.png 870701075.013.png 870701075.014.png 870701075.015.png 870701075.016.png 870701075.017.png 870701075.018.png 870701075.019.png 870701075.020.png 870701075.021.png 870701075.022.png 870701075.023.png 870701075.024.png 870701075.025.png 870701075.026.png 870701075.027.png 870701075.028.png 870701075.029.png 870701075.030.png 870701075.031.png 870701075.032.png 870701075.033.png 870701075.034.png 870701075.035.png 870701075.036.png 870701075.037.png 870701075.038.png 870701075.039.png 870701075.040.png 870701075.041.png 870701075.042.png 870701075.043.png 870701075.044.png 870701075.045.png 870701075.046.png 870701075.047.png 870701075.048.png 870701075.049.png 870701075.050.png 870701075.052.png 870701075.053.png 870701075.054.png 870701075.055.png 870701075.056.png 870701075.057.png 870701075.058.png 870701075.059.png 870701075.060.png 870701075.061.png 870701075.063.png 870701075.064.png 870701075.065.png 870701075.066.png 870701075.067.png 870701075.068.png 870701075.069.png 870701075.070.png
 
Współczynniki wielomianu aproksymacyjnego a j , minimalizującego
zdefiniowany uprzednio błąd E , znajdujemy rozwiązując układ
równań:
E
(
a
,
a
,...
a
)
=
0
j
=
0
1
...,
n
0
1
n
a
j
Ponieważ:
2
2
b
b
b
b
n
n
n
∑
∑
∫ ∑
2
∫
k
∫
∫
k
k
E
=
f
(
x
)
-
a
x
dx
=
(
f
(
x
)
)
dx
-
2
a
x
f
(
x
)
dx
+
a
x
dx
k
k
k
k
=
0
k
=
0
k
=
0
a
a
a
a
a
k
=
0
a
k
=
0
a
a
k
=
0
Otrzymujemy:
b
b
n
∑
∫
j
∫
j
+
k
E
=
-
2
x
f
(
x
)
dx
+
2
a
x
dx
k
a
k
=
0
j
a
a
Co prowadzi do układu normalnego postaci:
b
b
n
∑
∫
= ∫
j
+
k
j
a
x
dx
x
f
(
x
)
dx
;
j
=
0
1
...,
n
k
k
=
0
a
a
870701075.071.png
b
b
n
∑
∫
= ∫
j
+
k
j
a
x
dx
x
f
(
x
)
dx
;
j
=
0
1
...,
n
k
k
=
0
a
a
b
b
b
b
∫
0
∫
1
∫
n
∫
0
x
dx
x
dx
3
x
dx
x
f
(
x
)
dx
a
a
a
a
a
0
b
b
b
b
a
∫
∫
∫
∫
1
2
n
+
1
1
x
dx
x
dx
3
x
dx
x
f
(
x
)
dx
1
=
4
a
a
a
a
4
4
6
4
4
a
b
b
b
b
n
∫
n
∫
n
+
1
∫
2
n
∫
n
x
dx
x
dx
x
dx
x
f
(
x
)
dx
3
∫
x
n
dx
∫
x
n
+
1
dx
3
∫
x
2
n
dx
∫
x
n
f
(
x
)
dx
a
a
a
a
Współczynniki macierzy głównej układu mają postać:
b
j
+
k
+
1
j
+
k
+
1
b
-
a
∫
j
+
k
x
dx
=
j
+
k
+
1
a
Macierz główna jest nieosobliwa, jednak źle uwarunkowana
(podobna do macierzy Hilberta)
870701075.073.png 870701075.074.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin