analpodst.pdf

(616 KB) Pobierz
Ci¹giem nieskoñczonym nazywamy funkcjê f, która odwzorowuje zbiór N na pewien niepusty zbiór Y
1. DZIAŁANIA UOGOLNIONE
Rodziną indeksowaną nazywamy f-cję która liczbom naturalnym przyporządkowuje zbiory. Przykład.: N 0 – liczby naturalne z zerem właściwym; I=N 0 , X∈R, X-przestrz./zbór,
Φ–rodzina indeksowana; Φ i =A i =[i,i+1], i=0,1,...; A 0 =[0,1], A 1 =[1,2], ...; przykł: (brak)
Rodzina indeksowana zbioru: niech I ≠ ∅ będzie rodziną indeksów. Funkcję Φ: I→ρ(x) ; i→Φ(i)=Φ i nazywamy rodziną indeksowaną zbioru.
Sumą uogólnioną podzbio. rodziny Φ nazyw: ∪(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φ i }
Iloczynem uogóln. podzbio. rodziny Φ nazyw.: ∩(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φ i } przykł: I=N 0 , X∈R, Φ i =A i –[i,i+1), i=0, 1, ...; ∪(i∈I)A i =[0,+∞)=R + =Φ;
∩(i∈I)A i =[0,+∞)=R + =Φ; Własności sumy i iloczynu uog. : 1) Prawa de Morgana (∪(i∈I)Φ i )’=∩( i∈I)Φ i ’ ; (∩(i∈I))’=∪(i∈I)Φ i ’ ; 2) Prawa de Morgana uogólnione dla
różnicy zbiorów: A\∪(t∈T) A t = ∩(t∈T) (A\A t ) ; A\∩(t∈T) A t = ∪(t∈T) (A\A t ) 3) Własności: a) (x∈∪(t∈T) A t )⇔ (t∈T) (x∈A t ) ; b) (x∈∩(t∈T) A t )⇔ (t∈T) (x∈A t ) ; c)
(x∉∪(t∈T) A t )⇔ (t∉T) (x∈A t ) ; d) (x∉∩(t∈T) A t )⇔ (t∉T) (x∈A t ) ; e) A∨ ∪(t∈T) A t = ∪(t∈T) (A∨A t ) ; f) ∪(t∈T) (A t B t )⊂ ∪(t∈T) A t ∪(t∈T) B t ; g) ∩(t∈T) A t ∨
∩(t∈T) B t ⊂ ∩(t∈T) (At∨Bt);
2. RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI
Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy zbiór {{a},{b}}, Iloczynem kartezjańskim nazywamy zbiór A 1 × A 2 ×...×A n = {(a 1 , a 2 , ...a n ):a i ∈A i , i=1,2,...,n} Relacja: Niech X≠∅≠Y,
wtedy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X×Y nazywamy relacją binarną (dwuelementową), między elementami zbioru X i zbioru Y. Dziedziną relacji R⊂X×Y nazywamy
zbiór D R ={x:X, (y∈Y) xRy}, przeciwdziedziną nazywamy zbiór D R -1 ={y:Y, (x∈X) xRy};
Relację R⊂X×X nazywamy relacją równoważności w X jeżeli ma ona własności: 1. jest zwrotna (x∈X) xRx inaczej- [(x,x)∈R], 2. Jest symetryczna (x∈X) xRy⇒yRx
inacz- [(x,y)∈R⇒(x,y)∈R], 3. Jest przechodnia (x,y∈X) xRy yRz⇒xRz inacz- [(x,y)∈R (y,z)∈R ⇒(x,z)∈R], przykład: (brak)
Zasada abstrakcji : Tw. Jeżeli R jest relacją równoważn. w zb. X to odwzorowanie: ϕ:X→P(x), x→ϕ(x)=(notujemy)=[x] {y∈X:xRy} (czyt. elem. zbioru X przyporządkow.
cały podzb.), ma własn : 1. (x∈X) ϕ(x)≠∅, 2. (y∈X) (x∈X) y∈ϕ(x)=[x], 3. (x∈X) [[x]=[y] ([x] [y]≠0)]; [x] – klasa abstrak. elem. x = klasa elem. x; „ ” – czyt.
albo kroją się te klasy,
3. RELACJA CZĘŚCIOWEGO I LINIOWEGO PORZĄDKU
Df. Mowimy że relacja ≤ jest relacja częściowego porządkującą zbiór X, jeżeli relacja ≤ ma własn: 1. (x∈X) x∈X (zwrotność), 2. (x,y∈X) [x≤y y≤x ⇒ x=y]
(antysymetria), 3. (x,y,z∈X) [x≤y x≤z ⇒ x≤z] (przechodniość); Przykł: Relacja ≤ w R: X≠∅, P(x), gdzie P to zb. liczb rzeczy.: ( A , B ∈P(x)) [A≤B ⇔ A⊂B], spełnia 1.
A≤A (A⊂A),itd. dla ‘≤’ i ‘⊂’ pkty 2 i 3; R częściowo porządkuje zbiór A jeżeli D R =A i R jest relacją częściowo porządkującą.
Df. Mówimy że relacja częściowego porządku ≤ w zbiorze X porządkuje x liniowo , jeżeli jest dodatkowo spójna i spełnia war spójności 4. (x,y∈X) x≤y ∨ y≤x;
Element największy (najmniejszy) A⊂X, Df. Elem. x o ∈A nazyw. najw. (najmn.) w zbiorze A jeżeli: najw: (x∈A) x≤x 0 , najmn: (x∈A) x 0 ≤x;
Element maksymalny: x 0 ∈A jest elem. maksym. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x 0 ≤x x 0 ≠x). Element minimalny: x 0 ∈A jest elem. minim. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x 0 ≥x x 0 ≠x).
Kresy zbiorów: X≠0, (X, ≤), ∅≠A⊂X Df. Mowimy ze A jest ograniczone z góry jeżeli (a∈X) (x ∈ A) x ≤a; ograniczone z dołu jeżeli (b∈X) (x ∈ A) b ≤x; Zbiór
oraniczony m nazyw. taki który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. || Jeżeli zb. A jest ograniczony gory i zbiór ograniczeń ma element najmniejszy, to ten elem.
nazyw. kresem górnym zb. A (supA). || Jeżeli zb. A jest ograniczony dołu i zbiór ograniczeń ma element największy, to ten elem. nazyw. kresem dolnym zb. A (intA).
4. FUNKCJE
Def. Funkcji: Relację f spełniającą warunek (x,y,z) ((x,y)∈f (x,z)∈f ⇒ y=z) nazywamy funkcją . F-cja jest przykładem relacji binarnej. Inaczej: Mówimy że relacja
R⊂X×Y jest f-cją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X w Y, jeżeli (x∈X) cięcie relacji R[x] jest zbiorem co najwyżej 1-dno e;emetowym. Piszemy: f: X→Y.
Zbiór X to dziedzina f-cji (D f ), każdy element x∈X to argument f-cji. Zbiór Y to przeciwdziedziną f-cji (D f -1 ). Elementy zbioru Y to wartości f-cji.
Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy injekcją jeżeli f-cja f jest różnowartościowa, tzn spełnia warunek: (x1,x2) x 1 ≠x 2 ⇒ f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) (odwzorowanie różnowartościowe)
Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy surjekcją jeżeli f-cja f spełnia warunek: (y∈Y) (x∈X) f(x)=y, tzn. jeżeli f(X)=Y (odwzorowanie X ma w Y); Def. Odwzorowanie
f: X→Y nazywamy bijekcją jeżeli f-cja jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
Obrazy i przeciwobrazy : f: X→Y, (X≠∅≠Y), A⊂X; Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy nastepujacy podzb. zbioru Y: f(A):={y∈Y: (x∈A) y=f(x)}.
Przeciwobrazem zbioru B⊂Y przy odwzorow. f nazyw. następuj. podzb. zbioru X: f -1 (B):={x∈X: f(x)∈B}; Własności obrazów i przeciwobr .: 1. f(∪(t∈T) A t )= ∪(t∈T) f(A t ),
A={A t ⊂X: t∈T}, 2. f(∩(t∈T) A t ) ⊂ ∪(t∈T) f(A t ), 3. f -1 (∪(t∈T) B t )= ∪(t∈T) f(B t ), 4. a) f -1 (∩(t∈T) B t ) ⊂ ∪(t∈T) f -1 (b t ); b) f(A 1 )\f(A 2 ) ⊂ f(A 1 \A 2 ), f -1 (B 1 \B 2 ) = f -1 (B 1 )\f -1 (B 2 ),
f(f -1 (B)=B o ile B⊂f(x), f -1 (f(A))⊃A;
Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) Niech f-cja równowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Jeżlei każdemu elem. y∈Y przyporządkowujemy jedyny elem.
x∈X spełniający równość y=f(x), to tak określone odwzorow. zbioru Y na zbiór X nazyw. f-cją odwrotną do f i oznaczamy symb. f –1 , tj. f –1 :Y→X, gdzie
(x∈X, y∈Y) y=f(x)⇔ x= f –1 (y); Z tego wynika że: f -1 (f(x))=x i f -1 (f(y))=y. Wyktesy takich f-cji są symetr. względem f=x.
5. CIAŁA LICZBOWE
Ciało jest tpo zespół ( A ,□,○) złożony ze zb. A , 1. działania □, które: a) jest przemien. i łączne, b) wyznacza w zbi. A elem. neutr. ō, c) każdemu elem. a ze zb. A
przyporządkowuje elem. odwrotny ā ; 2. oraz działania ○, które: a) jest przemienne (abelowe) i łączne, b) jest rozdzielne wzgl. działa. □, c) wyznacza w zbiorze A elem. neutral.
ŏ rózny od ō, d) każdemu elementowi a zbioru A różnemu od ō przyporządkowuje elem. odwrotny ă. Przykł.: jest ciało liczbowe R liczb rzecz. w którym a,b,c, Działanie □ to
dodaw. i ○ mnożenie. Łączność: a(ab)=(ab)c, przemienno: ab=ba, rozdzieln: a(b+c)=ab+ac, elem. neutral, 0(+) i 1(×). W ciele rzeczyw. dane sa tez wlasnoci (a-b)+b=a, (a/b)b=a
Ciało liczb zespolonych Własności: 1. łącz. dodaw. (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= [(a,b)+(c,d)]+(e,f); 2. ele. neutr.+ ((a,b)∈Z) (a,b)+(0,0)= (0,0)+(a,b)=(a,b) 3. elem.
przeciw. ((a,b)∈Z) (-(a,b)) (a,b) (a,b)+[- (a,b)]= -(a,b)+ (a,b)=(0,0) 4. przemien.+(abelow.) (a,b)+(c,d)= (c,d)+(a,b); 5. łącz. × . (a,b)[(c,d)(e,f)]= [(a,b)(c,d)](e,f); 6. ele. neutr.
(a,b)(1,0)= (1,0)(a,b)=(a,b); 7. roz. × wzgl.+ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f); 8. el. odwr. ( (a,b)≠(0,0) )( (a,b) -1 ) (a,b)(a,b) -1 = (a,b) -1 (a,b)=(1,0) 9. przemien. ×
(a,b)(c,d)=(c,d)(a,b) (zob. więcej Liczb. zesp. 6)
6. LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb
rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną. ( własności ciała zob. pkt. 5 Ciało liczbowe)
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:
(a,b)=(c,d) Ù a=c∧b=d; (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc);
Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.
Modułem liczby z=a+jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby:
|z|= √(a 2 +b 2 ); Wł: 1. ||z 1 |-|z 2 ||≤ |z1±z2|≤|z 1 |+|z 2 | 2. |z 1 z 2 |=|z 1 ||z 2 | 3. |z 1| /z 2 |=|z 1 |/|z 2 |
Tw. Licz. zesp. jest ⇔ =0, gdy jej moduł jest =0: (z=0) Ù (|Z|=0).
Liczbą sprzeżoną z liczbą z=a+jb, którą będziemy oznaczać przez (ž), nazywamy liczbami sprzężonymi. sp(z)=sp(x+iy) x-iy; Wł: 1. z⋅sp(z)= x 2 +y 2 = |z| 2
2. sp(z 1 +z 2 )=sp(z 1 )+sp(z 2 ) 3. j.w.(⋅) 4. j.w.(:) 5. j.w.(-) 6. sp(sp(z))=z 7. |sp(z)|=|z| 8. x=((z+sp(z))/2) y=((z-sp(z))/2i)
Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez z n , nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.
Ineterpret. geometr. licz. zesp .: Liczbę zesp. z=x+iy interpretujemy jako wektor wodzący OP=[x,y] punktu P(x,.y) na płaszczyżnie zespol., gdzier na osi odcietych odkładamy
część rzeczyw. a na osi rzędnych urojoną, dla li.zesp. z≠0 mamy z= √( x 2 +y 2 )⋅ ((x/√( x 2 +y 2 ))+ i(y/√( x 2 +y 2 )))= r(cosΦ+ i sinΦ)), r=|z|
Def. Argumentem liczby z =x+jy ≠0, oznaczanym przez Arg z , nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Φ, spełniającą dwa warunki: cosΦ=x/| z |, sinΦ=y/| z |, gdzie | z |=√(x 2 +y 2 )>0
jest modułem liczby z .
Def. P ierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z (n∈N) nazyw. każdą li. zesp., której n-ta potęga równa się z, Jeżeli z=r(cosΦ+ i sinΦ) ≠ 0 i n∈N to istnieje dokładnie n różnych
pierwiastków n-tego stopnia z liczby z. Są nimi liczby: z k = n √r (cos((Φ+2kπ)/n)+ i sin((Φ+2kπ)/n)), k∈Z=0, 1,…, n-1, r=|z|.
W przypadku n=2 piszemy √z. Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym . Def. ( Wzór Eulera ). Potęgę e x o podstawie w i wykładniku z= x+ j y, należącym do ciała liczb
zespolonych , określamy: e jy :=cosy+jsiny,; F-jce elementarne l.zesp.: 1. e x =e x e jy = e x (cosy+ j siny), 2 . sin z = (e zi -e -zi )/z 3 . cos z = (e zi +e -zi )/z 4. ln z ={ln|z|+ i (Φ+2kπ), k∈Z};
Wrór de Moivre’a (cosΦ+ i sinΦ) n = cos nΦ+ i sin nΦ, n∈N; z n =n|z| (cos nΦ+ i sin nΦ); Wzór ma zasosow. w trygonom.: (cosΦ+ i sinΦ) n = cos n Φ+ ( n 1 ) i cos n-1 ΦsinΦ-
( n 2 )cos n-2 Φsin 2 Φ+ …+ i n sin n Φ; Oddzielając część rzecz. i uroj. otrzymujemy: cos n Φ= cos n Φ- ( n 2 )cos n-2 Φ⋅ sin 2 Φ+…, sin n Φ= ( n 1 )cos n-1 Φ⋅ sinΦ– ( n 3 )cos n-3 Φ⋅ sin 3 Φ+…;
7. PRZESTRZEŃ LINIOWA
Def: Przestrz. liniowa na R : Niech A będzie zb.. zaś „+” i „⋅” działaniami określonymi na tym zb. Układ złoż. ze zb. A i wymień. działań będziemy nazyawali przestrz.
wektorową lub liniową, elem. tego zb. wektorami, jeż. będą spełn. warunki: 1 . ukł. złoż. ze zb. A i działania „+” stanowi grupę abelową 2 . dla dowolnych wekt. x i y przestrzeni
A i dow. liczb rzeczyw. α i β zachodzą równości a ) α(x+y)= αx+αy b ) (α+β)x= αx+βx c ) (αβ)x= α(βx) d ) 1⋅x=x; Przykł : R n - zb. wszystk. ciągów (x 1 , ...,x n ), gdzie x 1 , ...,x n są
licz. rzeczyw. dodaw. 2 takich ciągów: (x 1 , ...,x n )+ (y 1 , ...,y n )= (x 1 +y 1 , ...,x n +y n ), mnoż : α(x 1 , ...,x n )= (αx 1 , ...,αx n ), Układ taki (R n ,+,⋅) stanowi przestrz. liniową.
8. PRZESTRZEŃ METRYCZNA I
Metryka – Określenie metryki: X≠∅, d: X 2 →R + , (x,y)→d(x,y); F-cję d: X 2 →R + nazywamy metryką, gdy ma własn: 1 . d(x,y)=0 ⇔ x=y (jednozn) 2 . d(x,y)=d(y,x) (symetr.)
3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (nier. trójkąta)
Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną przy czym (brak)
Przykład: X=R, d(x,y)=|x-y|, x,y∈R, (R,||) przestrzeń liczb rzeczywistych z metryką naturalną, spr. własn: 1 . d(x,y)=0 ⇔ |x-y|=0 ⇔ x-y=0 ⇔x=y,
2 . d(x,y)=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=d(y,x),
3 . D(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|x-y|=d(x,z)+d(z,y);
Kule w p.m. x 0 ∈X, r>0; Kulą otwartą o środku x 0 i promieniu r nazywamy zbiór: Kº(x 0 ,r) {x∈X: d(x 0 ,x)<r}; Kulą domkniętą o środku x 0 i prom. R nazywamy zbiór:
K¯(x 0 ,r) { x∈X: d(x 0 ,x) ≤r}; Zbiór otwarty df: mówimy że A⊂X jest zbio. otwa. w p.m. (X,d) jeżeli ma własn: (x∈A) (Kº(x,ε)) Kº(x,ε)⊂A; Każdy pkt. o własności zbiou
otw. Nazywamy punktem wewnętrz. zbioru A; Zbiór wszystkich punktów wewn. zbioru A nazywa się wnętrze m zbioru A i oznacza symb. „Aº” lub „intA”; Zbiór jest
domknięty ⇔ gdy zbiór A⊂Aº (tzn. gdy jest = swojemu wnętrzu), Zbiór jest dmknięty w p.m. (x,d) ⇔ ma własn: ((x n )⊂ A ) x n →x ⇒ x∈A; Brzeg: (X,d), A⊂X, ∂A A ¯\Aº =
A ¯ A’ ¯, pkt P nazywamy brzegowym zbioru A, gdy P nie jest ani wewnętrzny ani zewn. wzgl. zbio. A, tzn jeśli w każdym otoczeniu pktu P conajm. jedn. pkt ∉ A i jedn. ∈
A. Brzegiem nazywamy zb. pktów brzegowych; Domknięcie1: Jeżeli zb. A jest podzb p.m. to domknięciem zb. A nazyw. zbiór A ¯={x∈W: ((x n )⊂A) lim x n =x};
Domknięciem2 nazywamy sumę: zbioru A i pochodnej zb. A i oznaczamy „clA” lub „Ā”; ( więcej zobacz Granice )
Ciągi zbieżne w p.m. : (X,d) x n ∈X Df. Ciągiem (x n ) elementów p.m. (X,d) nazywamy zbieżnym do granicy x∈X jeżeli ma on własn.:
(ε>0) (n 0 ∈N) (n>n 0 ) d(x n ,x)<ε ;lim(x→0) n n =x, x n –(n→∞)→x, d(x n ,x) –(n→∞)→0; Własności ciągów zbieżn. w p.m. (X,d): 1. ciąg stały jest zbieżny {x n =x, n=1,2,...;
lim(n→∞) x n =x} 2 . ciąg ma conajwyżej 1 granicę, 3. Jeżeli Xn→X to dla dowolnego podciągu Xn k ciągu Xn: lim(k→∞) Xn k =X
9. PRZESTRZEN METRYCZNA II
Warunek zbieżności ciągu (Cauchy’ego) : Mówimy że ciąg (x n ) w przestrz. metryczn. (X,d) spełnia warunek Cauchy’ego jeżeli ma własn:
(ε>0) (n 0 ∈N) (n>n 0 ) (m∈N) d(x n ,x n+m )<ε, d(x n ,x n+m )–(n→∞)→0; Tw. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego: (ε>0) (n 0 ∈N) (n>n 0 ) d(x n ,x)<ε (x n →x);
d(x n ,x n+m )≤d(x n ,x)+d(x n+m ,x)< ε/2+ε/2 dla n>n 0 ; Przestrzeń metr. zupełna, to przestrzeń metr. (X,d) o własn.: (x ⊃ (xn)∈(c)) lim ( n→∞ ) x n = x∈X, {{gdzie (x n )∈(c)
oznacza: x n spełnia war. Cauchy’ego}} Przykł : 1. zb. licz. rzecz. ze zwykłą metryką d(a,b)= |a-b| jest przestrz. zupełną, 2 . (R,||) 3 . (r 2 ,d ε ) d ε (P,Q)= √((x P -x Q ) 2 + (y P -y Q ) 2 ), P(x P ,y P ),
Q(x Q ,y Q ) 3 . (R n ,d), x=(x 1 , ..., x n ). y=(y 1, ..., y n ), d(x,y)= √( (i=1) Σ (n) (x i -y i ) 2 )
Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli f: (X,d)→(X,d) jest odwzorowaniem zwężającym p.m. zupełnej w siebie ze stałą kontrakcji (punktem stałym) 0≤α<1, to
1 . (sp(x)∈X) sp(x)=f(sp(x)) 2 . dla dowolon. x 0 ∈X ciąg kolejnych przybliżeń (x n ) startujacy z pktu x 0 jest zbież. do sp(x), 3 . zachodzi oszacowanie d(sp(x),x n )≤(α n /(1-
α)) d(x 0 ,f(x 0 )) Dow ód: Wykazać że (x n ) spełnia war. Cauchy’ego: d(x 1 ,x 2 )= d(f(x 0 ),f(x 1 ))≤ L d(x 0 ,x 1 ) ,, d(x 2 ,x 3 )= d(f(x 1 ),f(x 2 ))≤ L d(x 1 ,x 2 ) ,, ..(z zasady trójk.).. ,, d(x n ,x n+1 )≤
L n d(x 0 ,x 1 ) ;; d(x n ,x n+p )≤ d(x n ,x n+1 )+ d(x n+1 ,x n+p )≤ d(x n ,x n+1 )+ d(x n+1 ,x n+2 )+ …+ d(x n+p-1 ,x n+p )≤ L n d(x 0 ,x 1 )+ L n+1 d(x 0 ,x 1 )+ …+ L n+p-1 d(x 0 ,x 1 )= (L n + L n+1 + …+ L n+p-1 ) d d(x 0 ,x 1 )=
L n ((1-L p )/ (1-L)) d(x n ,x 1 )≤ L n (1/ (1-L)) d(x 0 ,x 1 );; L n →0 ponieważ L<1 →0. Stąd wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego. Ponieważ (X,d) to przestrz. metr. zupełna to
lim(n→∞) X n = sp(x)∈X.
10. PRESTRZEŃ METRYCZNA III
Zbieżność „po współrzędnych” w R n :
Zbieżność jednostajna ciągu f-cyjnego w p.m. C[a,b]: f: [a,b]→R ; f n →f ;; sup([a,b]) |f n (x)- f(x)|→0 ;; (ε>0) (n 0 ∈N) (n>n 0 ) (x∈[a,b]) |f n (x)- f(x)|<ε ;. Zbieżność niemal
jednostajna: Mowimy że ciąg f-cji (f n ) taki że f: (a,b)→R jest niemal jednost. zbież. do f-cji granicznej f, jeżeli jest on jednostaj. zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym
[α,β]⊂(a,b) .; Przestrzeń metrzeń metrzyczna C[0,1]:
11. PRZESTRZEŃ METR. IV, GRANICE, CIĄGŁOŚĆ F-CJI
Definicja granicy lim(x→x 0 ) f(x) f-cji f: (X,d)→(Y, ρ)
Def ( Heinego ): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x 0 granicę g co zapisujemy lim(x→x 0 )f(x)=g) ⇔ gdy dla każdego ciągu (x n ) o wyrazach ze zbioru D f \{x 0 } i zbieżnego do
punktu x 0 ciąg (f (x n )) jest zbieżny do punktu g.; lim(x→x 0 ) f(x)=g⇔ ((x n )∈D f \{x 0 }) x n →x 0 , f(x n )→g .;
Def ( Cauchy’ego ): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x 0 granicę g ⇔ gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df 0<|x-x 0 |< r⇒|f(x)-g|< ε;
lim(x→x 0 ) f(x)=g⇔ (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x 0 )< δ⇒ d(f(x),g) <ε; W ł a s n o ś c i : działania arytmet. na granicach f-cji: Jeżeli lim(x→x 0 ) f(x)=g, lim(x→x 0 )=p, i x 0 jest pktem
skupienia zbio. D f D h , to: 1,2,3. lim(x→x 0 ) [f(x)±×h(x)]= g±×p; 4. lim(x→x 0 ) [f(x)/h(x)]=g/p, p ≠ 0; 5. Jeż. lim(x→x 0 ) f(x)=g oraz lim(y→g) h(y)=p, to lim(x→x 0 ) h[f(x)]=p;.
Ciągłość funkcji: Niech f oznacza f-cję liczbową i niech x 0 ∈D f :
Def ( Heinego ciągłości funkcji ): Mówimy, że f-cja jest ciągła w punkcie x 0 ⇔ gdy dla każdego ciągu (x n ) o wyrazach ze zbioru D f i zbieżnego do punktu x 0 ciąg (f(x n )) jest
zbieżny do punktu f(x 0 ).
Def ( Cauchy’ego ): Mówimy, że f-cja f jest ciągła w punkcie x 0 ⇔ gdy (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x 0 )<δ ⇒ ρ(f(x 0 )-f(x))<ε.
Tw. F-cja f jest ciągła w punkcie x 0 będącym punktem skupienia dziedziny Df ⇔ gdy lim(x→x 0 ) f(x)=f(x 0 ).
Def: Mówimy, że f-cja f jest ciągła ⇔ gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność : F-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest jednost. ciągła na X gdy: (ε>0) (δ>0) (x 1 ,x 2 ∈X) d(x 1 ,x 2 )≤δ ⇒ρ(f(x 1 ),f(x 2 ))<ε;
Def . (Warunek Lipschitza): Mówimy że f: (X,d)→(Y,ρ) spełnia war. Lipsch. ze stałą Lipsch. L, jeżeli: (0≤L) (x 1 ,x 2 ∈X) ρ(f(x 1 ),f(x 2 ))≤ L⋅d(x 1 ,x 2 ). F-cja, która spoełnia war.
Lipsch. jest jednostajnie ciągła: (1) ρ(f(x 1 ),f(x 2 ))≤ L⋅d(x 1 ,x 2 )< L⋅δ ;; d(x 1 ,x 2 )<δ - jednostajność ;; (2) ρ(f(x 1 ),f(x 2 ))<ε - jednostajność:: z (1) i (2) wynika, że L⋅δ=ε ⇒ δ=ε/L
12. WŁASNOŚCI F-CJI CIĄGŁYCH NA ZB. ZWARTYM
Zbiory zwarte: Podzbiór A p.m. (X,d) nazyw. zb. zwartym, jeżeli ma własność: dowol. ciąg (x n )⊂A zawiera podciąg zbież. do elem. zbioru A, tzn: (Xn⊂A) (Xn k ) Xn k –
(k→∞)→ x∈A; Podzb. zwarty p.m. (X,d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Ciągły obraz p.m. zwartej jest zbio. zwartym. Def. Przestrz. metr. (X,d) nazyw. zwartą gdy:
(Xn⊂X) (Xn k ) Xn k –(k→∞)→ x∈X Tw. podzbiór zwarty w p.m. (X,d) jest zb. domkn. i ogranicz.
Tw. ( Cantora o jedn. ciągł.) Jeż. f-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest ciągłym odwzorow. p.m. zwartej (X,d) w p. m. (Y,ρ), to f jest jednost. ciągła na X. Dowód:
~ (ε>0) (δ>0) (x 1 ,x 2 ∈X) [d(x 1 ,x 2 )<δ ⇒ρ(f(x 1 ),f(x 2 ))<ε];;
E (ε>0) (δ>0) (x 1 ,x 2 ∈X) [d(x 1 ,x 2 )<δ ⇒ρ(f(x 1 ),f(x 2 ))≥ε];;
δ 1 =1, x 1 ,y 1 d(x 1 ,y 1 )<1 ρ(f(x 1 ),f(y 1 ))≥ε;;
δ 2 =1/2, x 2 ,y 2 d(x 2 ,y 2 )<1/2 ρ(f(x 2 ),f(y 2 ))≥ε;; ...
δ n =1/n, x n ,y n d(x n ,y n )<1/n ρ(f(x n ),f(y n ))≥ε;; (x n ),(y n )⊂X;;
(Xn k ),Xn k –(n→∞)→ sp(x) – zbieżny;; d(x nk ,y nk )<1/n k ρ(f(x nk ),f(y nk ))≥ε;;
(Xn k ),Xn k –(m→∞)→ sp(y);; d(x nkm ,y nkm )<1/n km ρ(f(x nkm ),f(y nkm ))≥ε;;
x n →sp(x), y n →sp(y) ⇒ d(x n ,y n )→ d(sp(x),sp(y));;
d(x nkm 0 ,y nkm )→ d(sp(x) 0 ,sp(y)), stąd sp(x)=sp(y);;
f(xn km )→f(sp(x)), f(yn km )→f(sp(y)) ⇒ d(f(xn km ),f(yn km ))→ d(f(sp(x)),f(sp(y)));;
d(f(xn km ) 0 ,f(yn km ))→ d(f(sp(x)) 0 ,f(sp(y))) stąd : f(sp(x))=f(sp(y));;
a więc f(xn km )-f(yn km )= 0 ~(≥ε);;.
Tw. (Weierstrassa): F-cja rzeczyw. f: (X,d)→(R,||) okraślona i ciągła na przestrz. metr. zwartej (X,d) (np. f-cja f określona i ciągła na przedz.<a,b>) jest f-cją ograniczona (na
tym określonym przedziale) i osiąga swoje kresy {tzn. isnieją takie liczby c 1 i c 2 że f(c 1 )= inf (a≤x≤b) f(x)), f(c 2 )= sup (a≤x≤b) f(x)}. Dowód: ograniczoność jest oczywista, gdyż
funkcja jest określona na ograniczonym przedziale domkn., mając zaś na myśli że f-cja jest ciągła na przedziale domkniętym i osiąga na tym przedziale kres dolny i górny zbioru
swoich wartości. Jeż. fcja ciągła jest określ. na przedz. otwartym, to nie może być ograniczona, więc kresy zbioru jej wartości nie mogą w ogóle isnieć np. tg x x∈(-π/2,π/2). Jeż
f-cja ciągła na przedz. otw. jest ogranicz. na przedz. otwar. to i tak nie może osiągać na nim kresu swoich wartości np. f(x)=x, x∈(a,b) tylko inf (a,b) x=a, sup (a,b) x=b.
13. CIĄGI RZECZYWISTE I
Granica właściwa ciagu i własn .: war. Cauchy’ego zbieżności ciągu : Liczba x jest granicą ciągu (x n ) ⇔ gdy: lim(n→∞) x n =x ⇔ (ε>0) (n 0 ) (m>n 0 ) (k>n 0 ) (|x m -x k |<ε);
Własn. c. zbież. do gran wł. w R – 1. działania na gran. ciągów: Dane są ciągi x n i y n : a,b,c. lim( n →∞) (x n ±×y n )= lim (n→∞) x n ±× lim (n→∞) x n d . lim (n→∞) (x n /y n )= (lim (n→∞) x n )/
(lim (n→∞) y n ), y n ≠0 , lim (n→∞) y n ≠0; e. jeż. (n 0 ) (n 0 ≤n) x n <y n to lim (n→∞) x n ≤ lim (n→∞) y n 2 . ciągi stałe są zbież. (x n =x, n=1,2... to lim(n→∞)x n =x) 3 . ciąg ma conawyż. jedn. granicę
4 . dowol. podc. ciągu zbież. jest zbież. i to do tej samej granicy 5 . Tw. dla a>0 n √a→n, n √n→1 6 . w przestrz. zupełn (R,||) każdy ciąg który spł. war Cauch. jest zbież. do elem. z
R 7 . Tw. o 3 ciągach: Jeż. ciągi (x n ) i (y n ) są zbież. w R i lim (n→∞) x n = lim (n→∞) y n oraz ciąg (z n ) ma własn.: (n 0 ∈N) (n>n 0 ) x n ≤z n ≤y n , to ciąg (z n ) jest zbież. oraz lim (n→∞) x n =
lim (n→∞) y n = lim (n→∞) z n Przykład: liczba Eulera e=(1+1/n) n
Tw. ( o ciągu ograniczonym ) 8 . c. monotonicz. i ogranicz. jest zbieżn. 9 . ciąg zbieżny jest ogranicz. 10 . c. ogranicz. zawiera podciąg zbieżny ( tw. Balzano -Weierstr. ) 11 .
każdy c. niemalej./ nierosn. ogranicz. z góry/ dołu ma granicę właściw. w R 12. c. jest ogran. w R jeżeli spełnia war. Cauchy’ego.
Tw . ( O ciągu monotonicznym ) Ciąg x n nazyw.: 1 . rosną. jeż. (n∈N) (x n <x n+1 ) 2 . malej. jeż. (n∈N) (x n >x n+1 ) 3 . niemalej. (n∈N) (x n ≤x n+1 ) 4. nierosn. (n∈N) (x n >=x n+1 )
14. CIĄGI RZECZYWISTE II
Zupełność przetrz. metryczn. R : Przestrzeń (R,||), przestrz. liczb rzeczyw. z metryką natur. jest przestrz. metr. zupełną; Przestrzenią zupełna nazyw. p.m. (X,d) o własn:
(x⊃x n ∈(c)) lim(n→∞)x n =x∈X czyli taką w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbież. do jakiegoś elem. tej przestrz.
Granice niewłaściwe : Ciąg x≡n≡ nazyw. rozbieżnym do „±∞” lub zbież. do granicy niewł. „±∞” jeżeli: lim (n→∞) x n =+(-)∞ ⇔ (M) (n 0 ) (n>n 0 ) x n >(<)M
15. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ I
Def: Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy ∆x→0 nazywamy pochodną f-cji w punkcie i oznaczamy symbolem f‘(x 0 ), f‘(x 0 )=lim(∆x→0) [f(x 0 + ∆x) - f(x 0 )] / ∆x.
Def: Iloraz różnicowy f-cji f w punkcie x 0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x 0 +∆x)-f(x 0 )]/∆x.
Tw. (O reprezentacji przyrostu) : Jeżlei f: Ux 0 →X ma pochodna f’(x 0 ) w p. x 0 to słuszny jest wzór: ∆f(x 0 )=f(x 0 +∆x)-f(x 0 )= f’(x 0 )dx+ω(∆x) gdzie ω jest f_cją taką że ω(0)=0,
lim(∆x→0) ω(∆x)/∆x=0 Dowód: ∆f(x 0 )=f’(x 0 )∆x+ (∆f(x 0 )- f’(x 0 )∆x) (ω(∆x)) ;; lim(∆x→0) ((∆f(x 0 )- f’(x 0 )∆x)/∆x)= lim(∆x→0) [(∆f/∆x)⋅( x 0 )- f’(x 0 )]=0.;
Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m. : Tw. jeż. f-cja f: Ux 0 →R ma poczhodą w p. x 0 , to f-cja f jest ciągła w p. x 0 , Dowód: lim(∆x→0) f(x 0 +∆x)= f(x 0 ).
16. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ II
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeż. R⊃Ux 0 – f →f(Ux 0 )– g →R, jeż. f-cja f ma pochodną w p. x 0 , a f-cja g ma pochodną w punkcie y 0 = f(x 0 ) to istnieje poch. fcji g⋅f w x 0 :
g’[f(x 0 )]* f’(x 0 )= (g⋅f)’(x 0 ).
Def: Pochodną n-tego rzędu f-cji f w punkcie x okreœlamy następująco: f (n) (x)= [f (n-1) ](x), n=1,2,...przy czym [f (0) ]’(x)=f‘(x).
Def: Zakładamy że ist. pochodna f (n-1) (x) f-cji f: R⊃Ux 0 →R dla x∈Ux 0 . Oznaczamy Φ(x)=f n-1 (x). Jeż. istnieje Φ’(x 0 ), to tę f-cję (pierwsz. poch. f-cji Φ) nazywamy n-ta poch.
f-cji f w p. x 0 lub poch. n-tego rzędu w p. x 0 , f n (x 0 ), n=0,1,...;
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeż. f-cja f: R⊃D f –na→D f -1 ⊂R, jeż. f-cja f jest ciągła i monoton. i ma poch. w D f : f’(x)≠0, x∈D f to f-cja odwrotna f -1 ma poch. w D f -1 y
f -1 ’(x 0 )=1 / f’(f -1 (x 0 ));
Tw. (O pochodneej sumy, ilocz. ilorazu ) f-cji : Dane sa f-cje f,g: Ux o →R takie że isnieje f’(x 0 ) i g’(x 0 ), wtedy: 1. (f(x 0 )±g(x 0 ))’= f’(x 0 )± g’(x 0 ) 2. [f(x 0 )g(x 0 )]’= f’(x 0 )g(x 0 )+
f(x 0 )g’(x 0 ) 3. [f(x 0 )/g(x 0 )]’= {[f’(x 0 )g(x 0 )- f(x 0 )g’(x 0 )]/ g 2 (x 0 )}
17. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
Tw. (Rolle’a): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale <a;b> i różniczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c∈(a;b), że f ‘(c)=0. Dowód: A) f(x)=const
f’(x)=0 B) f(x)≠const. x∈<a,b> istnieje sup f(x)>f(a)∨ inf f(x<f(a), z tw. Weiestr. f(c)= inf f(x)), c≠a, c≠b:: [f(c+ ∆x)-f(c)]/∆x ={≥0 dla ∆x>0, ≤0 dla ∆x<0}, Ponieważ
c+∆x∈<a,b>, z założ. wiemy że istnieje poch. f’(c) więc 0≤f - ‘(c)= f’(c)= f + ’(c)≤0 czyli f’(c)=0;.
Tw. (Lagrange’a): Jeżeli f-cja f:[x 0 ,x]→R jest ciągła na przedziale domkn. <x 0 ,x> ist f’(x) dla x∈(x 0 ,x), to istnieje taki punkt c ∈(x 0 ,x), że f(x)-f(x 0 )= f’(c)(x-x 0 ). Wnioski: 1)
Jeż. f-cja f: R⊃D f →R ma w D f poch. ograniczoną to f-cja jest lipschitzowalna. 2) jeż. f-cja f: R⊃(a,b)→R istnieje f’(x)=0, x∈(a,b) to f=cont. inacz: jeżeli dla każdego x∈<a;b>
f’(x)=0 to dla każdego x∈<a;b> f(x)- f(x 0 )=0(x-x 0 ) ⇒ f(x)=f(x 0 ). Jeżeli f’(x 0 )=0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale stała. 3) jeżeli dla każdego
x∈ (a;b) f‘(x)>0 to: a) x<x 0, f(x)-f(x 0 )=f‘(x)(x-x 0 )<0; f(x)-f(x 0 )<0⇒f(x)<f(x 0 ) b) x 0 <x, f(x)-f(x 0 )=f(x 0 )(x-x 0 )>0⇒ f(x)>f(x 0 ). Jeżeli f‘(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to
f-cja f jest na tym przedziale rosnąca 4) Jeżeli f ‘(x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale malejąca.
Tw. (Taylora): Jeżeli f-cja f: Ux 0 →R ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 f-cji w Ux 0 oraz ma pochodną rzędu n w Ux 0 , to (x∈Ux 0 ) oraz x≠x 0 istnieje liczba ς∈(0,1) taka że
f(x)= K=0 Σ n-1 [(f K (x 0 )/k!)* (x-x 0 ) K ]+ [(f (n) (c))/n!)* (x-x 0 ) n ] reszta Lagrangea , c=x 0 +ς(x-x 0 ) Dowód: ( dla przypadku 2≤n) –dla n=1 twierdzenie zredukuje się bowiem do tw. Lagrange’a
o wart. średniej.;; Obieram dowol. x∈Ux 0 , obierając dowolną licz. λ∈R definiujemy f-cję φ=φ x,λ : Ux 0 →R, t→φ(t);; φ(t) f(x)- K=0 Σ n-1 [(f K (t)/k!)* (x-t) K ]- λ((x-t) n )/n! ,t∈Ux 0 ,
Rozpatrzmy zawężenie (restrykcję) f-cji φ do przedź. ([x 0 ,x] lub [x,x 0 ]); φ(x)=0; Dobieram λ aby φ λ (x 0 )=0, Z tw. Rolla : poniważ spełnione są założ. tw. Rolla, istnieje c należące
do przedz. o końc. (x) i (x 0 ) takie że φ’(c)=0;;
φ’(t)= (-1) K=0 Σ n-1 [(f K+1 (t)/k!)* (x-t) K ]+ K=0 Σ n-1 [(f K (t)/ (k-1)!)* (x-t) K-1 ]+ [λ(x-t) n-1 /(n-1)!]= (-1) K=0 Σ n-1 [(f K+1 (t)/ k!)* (x-t) K ]+ K=0 Σ n-2 [(f K+1 (t)/ k!)* (x-t) K ]+ [λ(x-t) n-1 / (n-1)!]= (-1)⋅
[(f n (t)/ (n-1)!)* (x-t) n-1 ]+ [λ(x-t) n-1 / (n-1)!]= (-1)⋅ [(f n (c)/ (n-1)!)* (x-c) n-1 ]+ [λ(x-c) n-1 / (n-1)!]=0;; (x-c) n-1 / (n-1)!⋅ [λ- f n (φ)]=0;; λ=f n (φ), c=x 0 + ς(x-x 0 ), ς∈(0,1);;.
Wz. Maclaurina: We wzorze Taylora kładąc x 0 =0 otrzymamy K=0 Σ n-1 [(f (K) (0)) / k!]*x K +R n , gdzie R n =[f (n) C / n!]* x n . Punkt c jest położony między 0 i x.
18. CAŁKA RIEMANNA I
Suma całkowa Riemanna f-cji f na przedziale <a;b>: R n = k=1 Σ n f(c k )*∆x k , δ n =max(1≤k≤n)∆x k – średnica przedziału, ∆x k =x k -x k-1 , k=1, 2, ..,n – długość prezdz. częściowego;
Def: Jeżeli dla każdego ciagu normalnego podziału przedziału [a,b] na przedzialiki częściowe, ciąg sum częściowych (R n ) jest zbież. do granicy właści. niezależnie od wyboru
punktów pośrednich c i , to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) z f-cji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem a ∫ b f(x)dx. O f-cji mówimy że jest ona R
całkowalna na przedziale domkniętym <a,b>;
Warunek koniczny R-całkow. f-cji: jeż. f-cja f: [a,b]→R jest r-całkow. to jest ona f-cją ograniczoną na [a,b],
Warunek koniczny i wystarczaj. R-całkow. f-cji: Całka ozn. Riemanna z f-cji f na [a,b] isnieje ⇔ gdy istnieją całki Darboux i są sobie równe (S n →S;; s n →s) i s=S
19. CAŁKA RIEMANNA II
Liniowość całki Riemanna : Tw. Jeżeli f-cje f,g: [a,b]→R sa R-całkowal. na przedz. [a,b] to 1) (dodaw.) f-cja f+g: [a,b]→R: x→(f+g)(x)=f(x)+g(x), jest również całkowalna na
tym przedz. [a,b] i ma miejsce równość: a ∫ b [f(x)+g(x)]dx= a ∫ b f(x)dx+ a ∫ b g(x)dx ( addytywność całki wzgl. f-cji podcałk.) 2) (wyłącz. czynn. stałego) f-cja αf: [a,b]→R
,α∈R( jednorodność całki ) : x→(αf)(x)=αf(x);;
R(a,b) – zbiór wszystk. f-cji R całkow. na [a,b], (a,b)- przestrz. wektorowa z działań. dodaw. mnoż. f-cji przez skalar po wspólczynnikach.;; Operator całkowy T: R(a,b)→R,
f→T(f)= a ∫ b f(x)dx, jest funkcjonałem liniowym T(f+g)=T(f)+T(g); T(αf)=αT(f), całkoa liniowa jest funkcjon. liniowym;;
Tw. (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): Jeżeli: 1) f-cja g(t) jest ciągła na przedziale <a,b> i przekształca go na przedz. <α,β> 2) f-cja t= h(x) jest klasy C 1 <a;b> 3)
zbiorem wartości f-cji t= h(x) jest przedział <α,β>, i przy tym α=h(a) i β=h(b) to prawdziwy jest wzór dla całki oznaczonej a ∫ b g[h(x)]h’(x)dx= α ∫ β g(t)dt. ;; Zeszyt: Jeż. 1.
φ:<α,β> -na→<a,b> ma choch w <α,β> 2. f:<a,b>→R ma f. pierwotną na <a,b> to ∫(f⋅φ)f’(t)dt= (F⋅Φ)(t)+c, t∈<a,b>;
Tw. (O całkowaniu przez części): Jeżeli f-cje u i v są klasy C 1 na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór ∫u(x)*v’(x)dx = u(x)*v(x) -∫u’(x)*v(x)dx ,
który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
Tw. (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli f-cje U i V są klasy C 1 <a;b> to a ∫ b U(x)*V’(x)dx= U(x)*V(x) a b - a ∫ b U’(x)*V(x)dx.
Tw. (O jednostajnej ciągłości) F-cja ciągła określ. na przedz. domkn., a więc zwartym jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własności całki oznaczonej: 1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) F-cja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także
całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również f-cja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz
a ∫ b [f(x)+g(x)]dx= a ∫ b f(x)dx+ a ∫ b g(x)dx. 4) Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const również f-cja A*f jest całkowalna na tym przedziale i a ∫ b Af(x)dx= A a ∫ b
f(x)dx. 5) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest f-cją całkowalną na tym przedziale, iloczyn zawiera punkty nieciągłości funkcji f i g 6)
Zmiana wartości f-cji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej f-cji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli f-cja ta jest całkowalna. 7)
Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym f-cja f jest całkowalna, to a ∫ c f(x)dx + c ∫ b f(x)dx= a ∫ b f(x)dx 8) Niech f i g będą f-cjami całkowalnymi na
przedziale <a;b>, wówczas f(x)≤g(x); dla x∈<a,b>⇒ a ∫ b f(x)dx≤ a ∫ b g(x)dx 9) Niech f będzie f-cją na przedziale <a;b>, wówczas: m≤f(x)≤M dla x∈<a,b>⇒ m⋅(b-a)≤
a∫ b f(x)dx≤M⋅(b-a). 10) (Newtona - Leibniza): Jeżeli ∅ jest dowolną f-cją pierwotną f-cji f ciągłej na przedziale <a;b>, to a ∫ b f(x)dx=∅ (b) -∅ (a). 11) Jeż. f-cja f:<a,b> jest R-
całkow. i jest f-cja ograniczoną na <a,b> poza zbiorm A miary (Lebesque) zero, oraz f(x)=0 dla x∉A, to a ∫ b f(x)dx=0,;
20. CAŁKA RIEMANNA III
Interpretacja geometryzna całki oznaczonej : Def: niech f będzie f-cją ciągłą i przyjmującą na przedz. <a,b>jedynie nieujemne wart.: 0≤f(x). Wiemy, że istn. wówczas całka
a ∫ b f(x)dx, równa wspólnej granicy sum dolnych i górnych, która to granica nie zależy od ciagu normalnego podziałów przedz. <a,b>. Tę wspólną granicę lim s n = lim S n = a ∫ b f(x)dx
nazywamy w tym przy. polem figury płaskiej określonej w protokatnym ukł. kartezjańskim OXY układem nierówności a≤x≤b, 0≤y≤f(x), Takie oznaczenie pola figury jest
zgone z określeniem pola figury płaskiej.
Tw. Jeżeli ciągłe na przedziale <a;b> f-cje f 1 i f 2 spełniają na tym przedziale nierówność f 1 (x)≤ f 2 (x) to pole D figury D ograniczonej wykresami tych f-cji i prostymi x= a i
x= b wyraża się wzorem D= a ∫ b [f 2 (x)-f 1 (x)]dx.
Tw. Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t∈<α,β.> gdzie obie są ciągłe oraz ciągła dodatnia pochodna dx/dt na przedziale <α,β>, to
pole D fig. pładkiej D ograniczonej tą linią, osią ox oraz prostymi x=a, x=b gdzie x(α)=a, x(β)=b, dane jest całką |D|= α ∫ β |y(t)|*x’(t)dt., gdy postać wyraźna : to jej pole
P= a ∫ b |f(x)|dx, gdy postać bigunowa : Jeż. dan jest we współrz. bigunowych: r=f(φ), φ∈<α,β>, 0<β-α<2π, przy czym f(φ) jest ciągła, nieujem. na przedz. <α,β> to pole :
P=1/2 a ∫ b r 2 dφ;
Tw. Łuk AB określony równaniem wyraźnym y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C 1 <a;b> ma długość l wyrażającą się wzorem l= a ∫ b √(1+f ’ 2 (x)) dx.
Tw. Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t∈<α,β> jest łukiem zwykłym oraz f-cje x(t), y(t) są klasy C 1 <α,β> to jej długość l wyraża się całką l=
α ∫ β √([x’(t)] 2 +[y‘(t)] 2 )dt ; długość wyraźną postacią: L= a ∫ b √(1+[f(x)] 2 )dx, gdy w post, biegunowej : (r-nia jak przy polu) L= a ∫ b √(f 2 (φ)+[f’(φ)] 2 )dφ;
Tw. Objętość V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale <a;b> f-cji f, wyraża się całką V =∏
a ∫ b f 2 (x)dx.
Tw. Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x=x(t), y=y(t), t∈<α,β> oraz f-cje x=x(t) i y=y(t) są klasy C 1 <α,β>, f-cja x(t) jest ściśle monotoniczna i y(t)
nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem V= ∏ α ∫ β y 2 (t)*x’(t)dt.
Tw. Pole S powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C 1 <a;b> wyraża się całką S=2∏
a ∫ b f(x)√(1+f ’ 2 (x)) dx.
20. B RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcją pierwotną danej f-cji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną f-cję F, której pochodna F’ jest równa f-cji f na tym przedziale, tj. dla każdego x∈X
F’(x)=f (x).
F-cję F mającą w pewnym przedziale f-cję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie f-cji pierwotnych danej f-cji f nazywamy
całkowaniem f-cji f. Całkowanie to znajdowanie fcji. pierwotnej.
PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć
Tw. 1.1. (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda f-cja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale f-cję pierwotną.
Tw. 1.2. (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to wszystkie f-cje postaci
F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również f-cjami pierwotnymi f-cji f na tym przedziale.
Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to każda inna f-cja
pierwotna G f-cji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do f-cji F i G dobraną stałą.
Def: Zbiór wszystkich f-cji pierwotnych f-cji f na przedziale X i tylko takich f-cji nazywamy całką nieoznaczoną f-cji f na przedziale X i oznaczamy symbolem ∫f (x) dx.
Z definicji całki nieoznaczonej i twierdzeń o f-cjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór ∫f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na
przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.
Tw. (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa f-cji podcałkowej: [∫f(x)dx]’= f(x); ∫f(x)dx= F(x)+C, F’(x)= f(x); [∫f(x)dx]’= (F(x)+C)’= F’(x)+f(x).
Tw. (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej f-cji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf’(x)dx=f(x)+C
Tw. (O ograniczoności funkcji podcałkowej): F-cja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale.
Tw. (O całkowaniu funkcji ciągłej): F-cja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
Tw. F-cja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale.
DF: Wzór rekurencyjny : In= ∫ x n e x dx = x n e x - nI n - 1 .
21. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Def.1a: Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz : Niech f-cja f: <a,∞)→R jest R-całkow. na każdym przedziale <a;b>⊂<a,+∞), tedy rodzine całek I f (a,∞)=
a ∫ b f(x)dx b∈(a,∞), nazywamy całką niewł. f-cji f w granicach <a,∞> i oznaczamy a ∫ ∞ f(x)dx
Def.1b: (zbieżność) mówimy że cał. niewł. a ∫ ∞ f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(b→+∞) a ∫ b f(x)dx
Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ. : Niech Rodzinę całek ( a ∫ α f(x)dx) a<α<b, lim(x→b - )f(x)=±∞, nazyw. całk. niewł f-cji nieogr. f w przedz. <a,b>
Def.2b: (zbieżność) mówimy że cał. niewł. a ∫ b f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(α→b - ) a ∫ α f(x)dx
Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł. : 1. Keż. f,g: <a,∞)→R są R-całkow. na każdym przedz. <a,β>⊂<a,∞) oraz (a≤A) ( x>A)f(x)≤g(x) to a) ze zbież. całk. a ∫ ∞ g(x)dx
wynika zbieżn. a ∫ ∞ f(x)dx b) odwrotnie: ze zb. a ∫ ∞ f(x)dx ⇒ a ∫ ∞ g(x)dx 2. Jeż. zbież. jest a ∫ ∞ |f(x)|dx to mowim. że cał. niewł. a ∫ ∞ f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna , także zbież w
zwykł. sensie 3. Jeż. zbież. jest a ∫ ∞ f(x)dx i jednocześnie a ∫ ∞ |f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że a ∫ ∞ f(x)dx jest warunkowo zbieżna . 4. Kryterium zbież. całki (Dirichleta)(?) Jeżeli
a) f-cja f: <a,∞)→R jest R-całk. w każd. <a,b>⊂<a,∞) oraz (k>0) (a ≤ b )| a ∫ b f(x)dx|≤k b) f-cja g: <a,∞)→R jest monotonicznie zbież. do 0 to a ∫ b f(x)g(x)dx jest zbież.
Różne rodzaje zbieżn. cał niweł. : 1. Jeż. zbież. jest a ∫ ∞ |f(x)|dx to mówimy że całk niewł. a ∫ ∞ f(x)dx jest bezwzgl. zbież . (też zbież. w normal. znaczeniu) 2. Jeż. a ∫ ∞ f(x)dx jest
zbież. i jednocześ. a ∫ ∞ |f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że całk. a ∫ ∞ f(x)dx jest warunkowo zbież .;
22. CAŁKI EULERA
Def. Całka Eulera 1-ego rodzaju (β-eulera): β(a,b) 0 ∫ 1 x a-1 (1-x) b-1 dx, a,b>0 Całka Eulera 2-ego rodzaju (Γ-eulera): Γ(a) 0 ∫ ∞ x a-1 e -x dx, a>0
Własn: 1. całka β a) β(a,b)=β(a,b) b) β(a,b)= [(b-1)/ (a+b-1)]β⋅ (a,b-1) c) β(n,a)= [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ ((a+1) ⋅..⋅(a+n-1))] d) β(m,n)= [((n-1)!(m-1)!)/ (m+n-1)!] e) β(a,1-a)= [-π / sin aπ],
0<a<1 f) β(1/2,1/2)=π 2. całka Γ a) Γ(a,b)= lim(n→∞) n a ⋅ [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ (a(a+1)⋅...⋅(a+n-1))] b) Γ(a+1)= aΓ(a) c) Γ(n+1)= n! d) β(a,b)= [Γ(a)Γ(b)]/ [Γ(a+b)] e) Γ(a)Γ(1-a)=
π/ sin aπ f) Γ(1/2)=√π;
23. SZEREGI LICZBOWE
Def. Szeregiem liczbowym rzeczyw. nazyw. parę uporządkjow. ((a n ),(s n )) Tradycyjnie te parę notujemy (k=1) Σ (n) a k , (s n )- ciąg sum częściowych,
Def. ( zbieżności szeregu ) Szereg (k=1) Σ (∞) a k jest zbież ⇔ gdy zbież. jest do gr. właściw. ciąg sum częściow. tego szeregu. W przeciw. wypadku mówimy że szer. (k=1) Σ (n) a k jest
rozbież.
Tw. ( war. koniczny zbieżn. szeregu ) Jeż. (k=1) Σ (∞) a k jest zbież. to lin(n→∞)a n =0 Dowód: Szereg (k=1) Σ (∞) a k jest zbież ⇔ lim(n→∞)s n =s∈R, (s n )- spełnia war. (Cauch.) ⇔
(ε>0) (n 0 ∈N) (n>n 0 ) (m∈N) |s n+m -s n |<ε ⇒ |s n -s n-1 |→0;; | (k=1) Σ (k) a k - (k=1) Σ (n-1) a k |=|a n |
Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Szereg (n=1) Σ (∞) a n jest zbież. bezwzgl. jeż. zbież. jest szereg (n=1) Σ (∞) |a n |, Dowód: (n=1) Σ (∞) a’ n - utworzony z wyrazów dodatn. (n=1) Σ (∞) a n ::
(n=1) Σ (∞) a’’ n - utworzony z wyrazów ujemn. (n=1) Σ (∞) a n ;; (s n )-ciąg sum (n=1) Σ (∞) a n ;; (s’ n )-ciąg sum (n=1) Σ (∞) a’ n ;; (s’’ n )-ciąg sum (n=1) Σ (∞) a’’ n ;; (s*)- suma (n=1) Σ (∞) |a n |;; s’ n ≤s* oraz s’’ n ≤s*,
więc (s’ n ) i ( s’’ n ) są rosnące więc sa zbiezne, więc (n=1) Σ (∞) a’ n i (n=1) Σ (∞) a’’ n są zbieżne;; S’-suma (n=1) Σ (∞) a’ n ; S’’ suma (n=1) Σ (∞) a’’ n ; S-suma (n=1) Σ (∞) a n ;; S n =S’ m -S’’ r i n=m+r, jeżeli
n→∞to m,r→∞;; limS n = limS’ m - limS’’ r =S’-S’’ czyli szereg (n=1) Σ (∞) a n jest zbieżny i jego sumą jest liczba S’-S’’. ;;
Tw. (szereg zespolony ) szer. zesp. (n=0) Σ (∞) z n jest zbież. ⇔ gdy zbieżny jest szreg części rzeczyw. (n=0) Σ (∞) x n i części urojonej (n=0) Σ (∞) y n
24. SZEREGI LICZBOWE II
Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. dla szer. li. nieujemn. ) Dane sa szer. (n=1) Σ (∞) a n ; (n=1) Σ (∞) a n ; (a n, b n ≥0, n=1,2,...), Jeżeli (n 0 ∈N) (n 0 ≤n) a n ≤b n , to: a) jeżeli szer.
(n=1) Σ (∞) b n jest zbież, to zbież. jest też szer. (n=1) Σ (∞) a n ; b) jeż. szer. (n=1) Σ (∞) a n jest rozbież. to rozbież jest szr. (n=1) Σ (∞) b n ;
Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego ) Dany jest szer. (n=1) Σ (∞) a n ; Oznaczamy α=lim n sup n √(|a n |). Jeżeli 1) α<1 to (n=1) Σ (∞) a n jest zbieżny 2) α>1 to (n=1) Σ (∞) a n jest rozbież.
3) α=1 to przypadek wątpliwy;
Tw. Jeż. szeregi (n=1) Σ (∞) a n i (n=1) Σ (∞) b n są zbieżne to zbieżne są tez szeregi: (n=1) Σ (∞) (a n +b n ) oraz (n=1) Σ (∞) δa n i (n=1) Σ (∞) (a n +b n )= (n=1) Σ (∞) a n + (n=1) Σ (∞) b n ; i (n=1) Σ (∞) δa n = δ (n=1) Σ (∞) a n
Tw. (Kryterium ilorazowe d’Alamberte’a ) Dany jest szer. (n=1) Σ (∞) a n wtedy a) jeżeli lim sup |a n+1 /a n |<1 to szer. jest zbireż. b) jeż lim sup |a n+1 /a n |≥ dal n≥n 0 to szer. jest rozb.
Tw. (kryterium całkowe zbieżn szer. liczb. o wyr. dodat. ) Jeż. dany jest szer. (n=1) Σ (∞) a n o wyraz. dodatnich oraz f-cja f:[a,∞]→R + \{0} ma własn: a) f jest ciągła b) f
monotonicznie dąży do 0 począwszy od pewnego x 0 ≥1 c) f(n)=a n , n=1,2,... to: szereg (n=1) Σ (∞) a n jest zbież. (rozbież) ⇔ gdy zbieżna (rozbież.) jest całka niewł. 1 ∫ ∞ f(x)dx
25. SZEREGI LICZBOWE III
Szereg naprzemienny : szereg (n=1) Σ (∞) (-1) n+1 a n , a n >0, nazyw. szer. naprzem.
Tw. (Kryterium Leibnitza ) Jeż. a n monotonicznie dąży do 0, to szer. (n=1) Σ (∞) (-1) n+1 a n jest zbież. oraz |R n |≤a n+1 , n=1,2,...
Uwaga, jeż. szereg jest zbież. w zwykłym sensie, lecz nie bezwzgl. zbież. nazywamy go szeregiem warunkowo zbieżnym , przykładowo szereg anharmoniczny (n=1) Σ (∞) (-1) n /n
**Tw: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.
**Tw. Jeżeli wyrazy szeregów Σ(od n=1 do ∞) a n oraz Σ (od n=1 do ∞) b n są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona
nierówność a n <=b n to z e zbieżności szeregu b n wynika zbieżność a n i odwrotnie.
26. SZEREGI FUNKCYJNE I
Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Dany jest ciąg funkcji (f n ) n∈N 0 ; f n : R⊃D→R, x→f n (x), n=0,1,..., Piszemy ciąg sum częściowych (s n ) n∈N 0 : S n :D→R,
x→S n (x) (k=0) Σ (n) f n (x), k=0,1,2,...; Uporządkowane pary ((f n ),(S n )) nazywamy szeregiem funkcyjnym, notujemy (n=0) Σ (∞) f n (x), x∈D
Zbieżność punktowa: Mówimy że szereg (n=0) Σ (∞) f n jest zbież. punktowo w D, jeż. szer. (n=0) Σ (∞) f n (x) jest zbieżny (jako szre. liczb.)
Def. (Zbieżność jednostajna) : szer. f. (n=0) Σ (∞) f n jest zbież. jednost. do sup S na D jeż. sup (x∈D) |S n (x)- S(x)|→0 Piszemy wtedy że S n S(x) („ ” jednostajnie dąży),
(ε>0) (n 0 ) (n>n 0 ) (x∈D) |S n (x)- S(x)|<ε
Def. (niemal jednost. zbież ) Jeż. szereg f-cyjny (n=0) Σ (∞) f n jest jednost. zbież. na każdym przedz. [a,b]⊂D, to szereg nazyw. niemal jednostajnie zbieżnym na D.
Tw. (kryterium Weierstrassa,) Jeż. szer. f. (n=0) Σ (∞) f n określony na D ma własn: a) (n 0 ∈N) (n 0 ≤n) (x∈D) |f n (x)|≤a n , b) szereg liczbowy o wyrazach dodatnich (n=0) Σ (∞) a n
jest zbież. to : szer. (n=0) Σ (∞) f n jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie .
Tw. (o ciągłości sumy szer. f. ) jeż. (f n )n∈N 0 jest ciągiem f-cji ciągłych na D, oraz szer. (n=0) Σ (∞) f n jest jednost. zbież. do sumy S, to S jest f-cją ciągłą na D.
Tw. (o całkowaln. sumy szer. ) Jeż. wyrazy szer. (n=0) Σ (∞) f n sa R-całkow. (w sensie Riem.) na D=(a,b) oraz szer. (n=0) Σ (∞) f n jest jednost. zbież. na D (niemal jed. zbież.) to:
a ∫ b (n=0) Σ (∞) f n (x)dx= (n=0) Σ (∞) a ∫ b f n (x)dx
Tw. (o różniczkowaln. sumy szer. ) Jeż. wyrazy szer. (n=0) Σ (∞) f n mają ciągłe pochodne w (a,b), szer. (n=0) Σ (∞) f n jest zbież. (pktowo) w (a,b) oraz szer. (n=0) Σ (∞) f ’ n jest zbież. jednost.
(niemal jednost. zbież) to ma pochodną ( (n=0) Σ (∞) f n (x))’= (n=0) Σ (∞) f n ’(x)
27. SZEREGI FUNKCYJNE II POTEGOWE
(*)(*) (n=0) Σ (∞) a n (x-x 0 ) n ; (*) (n=0) Σ (∞) a n x n , a n - współczynnik szer. potęgowego.
Promień zbieżn szer. potęgow. R R sup {r≥0 (n=0) Σ (∞) a n r n } jest zbieżny, |x|<r
Tw ( Cauchy’ego- Hadamarda) Jeżeli lim sup ( n √|a n |) to wtedy prom R zbieżn szer: R= {0 gdy λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R + \{0}}
Tw. Jeżeli instn, gran. lim(n→∞)|a n+1 /a n |= λ to prom. zbieżn. R szeregu: R={0 gdy λ=+∞, 1/λ gdy 0<λ<+∞, ∞ gdy λ=0}.
Tw. Jeżeli szereg (n=0) Σ (∞) a n x n ma prom. zbieżny szeregu R, to ten szer. jest zbież. niemal jednost. na przedz (-R,R) i jest zbieżna suma szeregu na każdym przedziale przedziale
[-a,a]⊂(-R;R)).
Tw. (o całkow. szer. potęgow. ) Dla dowoln x∈(-R,R) 0 ∫ x ( (n=0) Σ (∞) a n t n )dt= (n=0) Σ (∞) (a n /n+1)x n+1 ; Promień szer. po prawej stronie równości nie ulega zmianie.
Tw. (o różniczkow. szer. potęgow. ) Jeż. x∈(-R,R) to ( (n=0) Σ (∞) x n )’= (n=1) Σ (∞) x n-1 ; i prom. szer. potęg. stale ma ten sam przedz. zbieżności.
Szer. potęgow. zesp : (*)(*) (n=0) Σ (∞) z n (z-z 0 ) n ; (*) (n=0) Σ (∞) a n z n , Jeż. λ=lim n sup n √|a n |, to szer. (*) jest zbież. bezwzględnie na każdym kole domknietym |z|≤a, a<z, gdzie R= {0 gdy
λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R}

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin