wykład 09-odwzorowania wieloliniowe.pdf

(244 KB) Pobierz
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej
Odwzorowania wieloliniowe
Formy wieloliniowe
Wyznaczniki
1, 2,...,
Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każde bijektywne
odwzorowanie tego zbioru na siebie
Przykład 0.
A
n
=
{
n
=
{ } { }
1, 2, 3, 4, 5 , 3, 2, 5,1, 4
B
=
σ
σσ
:
→
= =
AB
1
()
()
13
σσ
2
= =
22
itd.
Ilość permutacji = n!
- zbiór permutacji
n
σ
Ilość inwersji w permutacji oznaczamy , a znak permutacji
określamy jako:
σ σ
,
j
[ ]
i
>∧<
j
i j
p σ
()( [ ]
1 σ
εσ=−
Przykład 0’.
[
σ
]
()( [ 5
=
5
εσ
=− =−
1
1
Jeżeli znak permutacji to +1 (parzysta ilość inwersji), to tę permutację
nazywamy parzystą .
Jeżeli znak permutacji to -1 (nieparzysta ilość inwersji), to tę permutację
nazywamy nieparzystą .
εσ
() 1
= −
1
permutacja parzysta
permutacja nieparzysta
{
aa a
12
, ,...,
n
}
transpozycja – zamiana miejscami dwóch dowolnych elementów
transpozycja zmienia znak permutacji
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
}
Przypomnienie:
S
Definicja 0.
Dwa elementy permutacji tworzą inwersję jeżeli:
i
=
11843063.006.png
Definicja 1.
XX
1 2
,
,...,
XF
,
(n+1 przestrzeni wektorowych nad tym
samym ciałem K)
nazywamy odwzorowaniem n-liniowym
(wieloliniowym) jeżeli jest liniowe ze względu na każdą zmienną z osobna.
Tzn: a)
:
×××→
...
n X F
1
2
∀∀
i
=
1,2,...,
n x x
i i
, '
:
fxx x x xx x
(
1 2
, ,...,
i
−
1
,
i
+
i
',
i
+
1
,...,
n
)
=
=
f x x x x f x x x x
(
12
, ,..., ,...,
i
n
) (
+
12
, ,..., ',...,
i
n
)
(
) (
)
b)
∀∀
α
∈∈
K x X
i
i
:
f xx x x fxx x x
12
, ,...,
α
i
,...,
n
=
α
12
, ,..., ,...,
i
n
Przykład 1.
f
uv
uv
: ,
XXX F
X
X
X
1 2 3
,
→
11 1
,
,
,
∈
∈
∈
f u vuu fuuu fvuu
f uu vu fuuu fuvu
(
1
+
1 2 3
, ,
) ( ) ( )
=
1 2 3
, ,
+
1 2 3
, ,
22 2
(
12 23 123 123
,
+ =
,
) ( ) ( )
, ,
+
, ,
uv
f
f
f
f uuu v fuuu fuuv
(
123 3 123 123
, ,
+=
) ( ) ( )
, ,
+
, ,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
α
uuu f uuu
123 123
, ,
=
α
, ,
uuu f uuu
uu u f uuu
1
,
α α
αα
2 3
,
=
=
1 2 3
, ,
12 3 123
, ,
, ,
UWAGA
Odwzorowanie n-liniowe na ogół nie jest odwzorowaniem liniowym ze
względu na zespół zniennych
Twierdzenie 1.
Z: XX
XF
f XX X F
1 2
,
,...,
n
,
- przestrzenie wektorowe nad ciałem K
:
1
×××→
2
...
n
T: f
⇔∀
- odwzorowanie n-liniowe ⇔
i
=
1,2,...,
n
∀ ∀
αβ
,
∈
K x x X
i i
, '
∈
i
:
fxx x x xx x
(
1 2
, ,...,
i
−
1
,
αβ
i
+
i
',
i
+
1
,...,
n
)
=
=
α
fx x xx x fx x xx x
(
1
,...,
i
−
1
, ,
i
i
+
1
,...,
n
) (
+
β
1
,...,
i
−
1
, ',
i
i
+
1
,...,
n
)
Twierdzenie 2.
Z: XX
XF
f XX X F
1 2
,
,...,
n
,
- przestrzenie wektorowe nad ciałem K
-
:
1
×××→
2
...
n
odwzorowanie n-liniowe
x X
∈
(
i
i
)
T: fx
1 ,...,0,..., 0
n x =
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
f XX
33 3
11843063.007.png
 
Definicja 2.
(
XK
i
, , ,
1, 2,...,
+⋅
)
- n przestrzeni wektorowych nad ciałem K
i
=
n
f XX X K
:
×××→ odwzorowanie f n-liniowe nazywamy formą
n-liniową
...
1
2
n
Definicja 3.
( di
f
XK
,,,
+⋅
)
przestrzeń wektorowa nad ciałem K
m
:
Xm
XX X K
=
×××→
...
n
Odwzorowanie f nazywany forma n-liniową
antysymetryczną, jeżeli:
(
fX K
:
n
→
)
1) f jest for m ą n -l iniową
2) ∀
σ
∈
S
n
f xx x f xxx
(
σ σ
() () ()
1
,
2
,...,
σ
n
) ()(
=
εσ
12
, ,...,
n
)
Twierdzenie 3.
Z:
fX K
xxi
:
→
=∧≠
n
f jest forma n-liniową antysymetryczną
i
j
j
T:
fx x x x
(
1
,..., ,..., ,...,
i
j
n
)
=
0
Twierdzenie 4.
Z: f
:
XX X K
×××→
...
f jest forma n-liniową antysymetryczną
n
xx x x
12
, ,..., ,...,
i
n
wektory liniowo zależne
T: (
fxx x x
12
, ,..., ,...,
i
n
)
=
0
Twierdzenie 5. (o postaci formy n-liniowej antysymetrycznej)
Z: ( )
XK
,,,
+⋅
dim
Xn
=
Beee
=
( )
12
, ,...,
n
- baza X
fX K
x ae ae ae
:
→
=+++
n
1
11 1
21 2
...
nn
1
x ae ae ae
i
i
=+++
=
11 22
i
i
...
ni
n
1, 2,...,
n
T:
f xx x x a a a f ee e
(
, ,..., ,....,
) ( )
=
∑
εσ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
( )
12
i
n
11 22
σ
() ()
σ
nn
()
12
n
σ
∈
S
n
Wyk
ład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 6
Część 9 - Odwzorowania wielolinio
we
, ,...,
σ
11843063.008.png 11843063.001.png
Twierdzenie 6.
Z: ( )
XK
,,,
+⋅
dim
Xn
=
Beee
=
( )
12
, ,...,
n
fX K
x ae ae ae
:
→
=+++
n
1
11 1
21 2
...
nn
1
x ae ae ae
i
=+++
=
11 22
i
i
...
ni
n
1, 2,...,
n
T: a) jedyną formą n-liniową antysymetryczną taką, że
f
:
n XK
→
:
( )
fe
jest następująca forma: fx
1 , ,..., 1
e e =
n
(
, ,...,
x x a a a
σ
) ( )
=
∑
εσ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
12
n
11 22
() ()
σ
nn
σ
∈
S
b) każda inna forma n-liniowa antysymetryczna
n
gX K
g
:
n
→
jest postaci
=⋅
=
f
g ee e
gdzie:
µ
( )
12
, ,...,
n
Definicja 4.
(
XK
,,,
+⋅
)
- przestrzeń wektorowa
dim
Be
Xn
=
=
( )
12
, ,...,
ee
n
- baza X
fX K
ae ae ae
:
→
=+++
n
x
x
i
1
11 1
21 2
...
nn
1
=+++
=
ae ae ae
11 22
i
i
...
ni
n
1, 2,...,
n
Jedyną formę n-liniową antysymetryczną (z twierdzenia 6, teza a)
fX
:
n
→
Kfxx x a a a
:
(
, ,...,
) ( )
=
∑
εσ
⋅ ⋅
⋅ ⋅
...
12
n
11 22
() ()
σ
nn
σ
∈
S
n
nazywamy formą wyznacznikową, a jej wartość na ence wektorów
nazywamy wyznacznikiem tych wektorów w bazie B i oznaczamy:
(
)
det
B
xx x
12
, ,...,
n
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 6
Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
i
()
σ
µ
i
σ
()
σ
11843063.002.png
UWAGA
Formę wyznacznikową utożsamiamy z wyznacznikiem
WNIOSKI:
Własności wyznaczników n-wektorów
(
t
B
xx x a a a
σ
, ,...,
n
) ( )
=
∑
εσ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
11 22
() ()
σ
...
nn
σ
()
σ
∈
S
n
( )
2) de
3) są liniowo zależne
t
B
ee e =
, ,..., 1
n
x x x
, ,...,
n
⇒
det
B
(
xx x
12
, ,...,
n
)
=
0
(
4) a) de
t
B
x x
σ σ
() () ()
1
,
2
,...,
x
σ
n
) () (
= ⋅
εσ
det
B
x x x
12
, ,...,
n
)
b) det (
) (
)
B
x xx xxx
1
,...,
α
i
,...,
n
=
α
det
B
1
,..., ,...,
i
n
(
) (
) (
)
det
B
x xx x x x x x x x
1
,...,
i
+
i
',...,
n
=
det
B
1
,..., ,..., det
i
n
+
B
1
,..., ',...,
i
n
5) wartość wyznacznika nie zmieni się, jeżeli do jednego z wektorów
dodamy kombinację liniową pozostałych
UWAGA
Jeżeli przestrzeń ma bazę kanoniczną to
X =
n
x [
=
aa a
, ,...,
]
i
12
i
i
ni B
aa a
aa a
…
…
…
12
1
n
det
(
xx x
, ,...,
)
=
21
22
2
n
B
12
n
aa a
n
1
n
2
n
n
Przykład 2.
a)
X
Bee
xaeae
xaeae
x x
=
permutacje 2
liczb
1 2 +
2 1 -
=
=+
= +
( )
12
1
11 1
21 2
2
12 1
22 2
det
B
( ) ( )
1 2
,
=
∑
εσ
⋅ ⋅ = + −
a a
11 22
σ σ
() ()
a a
11 22
a a
12 21
σ
∈
S
2
b) ( )
,,,
dim 3
,,
+⋅
=
permutacje 3 liczb
1 2 3 +
2 3 1 +
3 1 2 +
1 3 2 -
3 2 1 -
2 1 3 -
X
Beee
=
( )
123
xaeaeae
xaeaeae
xaeaeae
x xx aaa aaa aaa aaa aaa aaa
=++
= + +
=++
=+ +
11 1
21 2
31 3
2
12 1
22 2
32 3
3
13 1
23 2
33 3
det
B
( )
1 2 3 112233 122331 132132 112332 132231 122133
+
−
−
−
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 6
Część 9 - Odwzorowania wieloliniowe
1) de
12
12
12
11
dim 2
,
X
1
, ,
11843063.003.png 11843063.004.png 11843063.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin