zadania.pdf

1Logikamatematycznairachunekzbiorów

1.Uzupełnijtabelk¦:

pq p qp ^ qp _ qp ) qp , q

2.Przypomocytabelkizerojedynkowejudowodnij:

a)[ ( p _ q )] , [( p ) ^ ( q )]

b)[ ( p ^ q )] , [( p ) _ ( q )]

c) ( p ) q ) , ( p ^ q )

d)[( p ) q ) ^ p ] ) q

e)[( p ) q ) ^ q ] ) p

3.Znajd¹warto±¢logiczn¡zdania p :

_ x [ ( x 6 =0 ) x 2 − x 6 =0)]

4.Wyka»,»edziałaniadodawaniaimno»eniazbiorówmaj¡własno±¢rozdzielno±cimno»eniawzgl¦demdoda-

wania.

5.Narysujdwieproste k i l przecinaj¡cesi¦dokładniewjednympunkcie.Niechprosta k oznaczazbiórpunktów

A ,aprosta l –zbiórpunktów B .Wyznaczgraﬁcznie:

a) A [ B

b) A \ B

c) A \ B

d) B \ A

6.Niech A b¦dziezbioremdzielnikównaturalnychliczby100,a B zbioremparzystychdzielnikówtejliczby.

Znale¹¢dopełnieniezbioruBdozbioruA.

7.Danes¡zbiory: A = { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 } ,B = { 4 , 8 , 12 , 16 } ,C = { 1 , 5 , 8 , 9 , 13 , 17 } .Korzystaj¡czsymboli

A,B,C, [ , \ uzupełni¢prawestronyrówno±ci:

a) { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 } =?

b) { 4 , 8 , 16 } =?

c) { 1 , 2 , 4 , 5 , 9 , 13 , 16 , 17 , 32 } =?

d) { 1 , 4 , 5 , 8 , 9 , 12 , 13 , 16 , 17 } =?

e) { 8 } =?

8.Niech W b¦dziezbioremwszystkichpunktówpłaszczyzny( W = R 2 ).Niech A = { ( x,y ): x 2 + y 2 ¬

4 ,x,y 2 R } (kołoopromieniu2i±rodkuwpunkcie(0,0),za± B –zbiorempunktówprostok¡taokre±lonego

nierówno±ciami:0 <x< 3 ^ 0 <y< 3.Zaznacznapłaszczy¹nie:

a) A [ B

b) A \ B

c) A 0 ( A 0 = W \ A )

d) B 0

2Indukcjamatematyczna

3 n +1

c)3 | 4 n +5(3jestdzielnikiem4 n +5)

d)133 | 11 n +2 +12 2 n +1

e)2 n n 2 (dla n 4)

f)3 | n 3 +2 n

g)3 | 10 n +4 n − 2

(3 n − 2) · (3 n +1) = n

1.Udowodnij,»edla n 1 ,n 2 N :

a)1+3+5+ ··· +(2 n +1)= n 2

b) 1 1 · 4 + 1 4 · 7 + ··· + 1

3WzórdwumianowyNewtona

1.Udowodnij: n k

+ n

k +1

= n +1

k +1

+12 ¬ 0

3.Znale¹¢29wyrazrozwini¦ciadwumianu( p x +1) 30

− 14 · n +1

4.Sumawspółczynnikówtrzeciegoiczwartegowyrazurozwini¦cia( x − 1) n wynosi120.Wyznaczy¢ósmywyraz

tegorozwini¦cia.

5.Znale¹¢takiwyrazrozwini¦ciadwumianu( 3 p x + 2 x ) 12 ,wktórymniewyst¦pujex.

4Funkcjeelementarne

1.Wykonajdziałanie:

a 3 − 8 : a 2 − 4

4( a 2 +2 a +4)

2.Upro±¢wyra»enie:

" ( a +2) 2 − a 2

a 2 + a +2

a n +1 − 3 a n ·

4 a 2 − 4 − 3

a 2 − a

3.Przedstawwnajprostszejpostaci:

a − 1 + b − 1 +2( p a +

b ) − 1 · ( a − 1 2 + b − 1 2 )

ab − a p ab

a + p ab

− 1

4.Usu«niewymierno±¢:

5+2

5.Upro±¢:

x 2 + 1 x

x + 1 x − 1

6.Zapiszwyra»enie

81 · 1 9 · 27 1 2

3) 6 · 9 − 2

jakopot¦g¦opodstawie3.

2.Dlajakich n 2 N 5 · n +2

3 a

( 3 p

7.Usu«niewymierno±¢:

a) 1 3 p 2

b) 1

d)* 1

p 2+ p 7+ p 11

e)* 1

p 5+ p 2

c) 1

3 p 2+1

f)* 1

5 − 1

3 p 3 − p 5

5Warto±¢bezwzgl¦dna

1.Rozwi¡»równanie: | x +1 | +2 ·| x +3 | =2

2.Wyznacz x spełniaj¡cenierówno±ci:

a) | 4 − x | > 1

b) | 3 x − 1 |¬ 1

c) | x − 3 | < 4 x

d) | 2 − x |−| 2 x +3 |− 4

e)3 ·| x +1 | +2 < | 2 x − 1 |

f) | x +1 |−| 2 x − 2 |¬ 3 x − 1

3.Narysujwykresfunkcji:

p ( x − 1) 2

x − 1

f ( x )=

4.Wyznacz x spełniaj¡cerównanie: | x +1 |− 2 =0

6Funkcjeliniowe.Układyrówna«liniowych

1.Zaznacznaukładziewspółrz¦dnychpunktyspełniaj¡cewarunek:

a) y =2 x +1

b) y> 2 x +1

c) y ¬ 2 x +1

2.Dlajakichwarto±ciparametru m rozwi¡zanieukładu

2 x +3 y =4

4 x + my =2 m jestpar¡liczbdodatnich?

3.Dlajakiego m układjestoznaczony,nieoznaczonyisprzeczny?

( m − 1) x +2 y =1

x + my =1

4.Rozwi¡za¢graﬁcznie:

x +3 y< 1

x − y − 2

2 x − 3 y +1 < 0

5.Naszkicowa¢wykresfunkcji y = | x +1 |− 2

a + a b

8.Dwiekoparkipracuj¡cwspólniewykonuj¡pewn¡prac¦wci¡gu12dni.Pierwszakoparkawykonałabyt¦

prac¦wci¡gu20dni,gdybypracowałasama.Wci¡gujakiegoczasuwykonałabyt¦prac¦drugakoparka,

gdybypracowałasama?

b − b a = x − b

9.ZmieszanodwarodzajeroztworówHCl:pierwszyost¦»eniu10%,drugiost¦»eniu25%iotrzymano12litrów

roztworuHClost¦»eniu15%.Obliczy¢,ilelitrówka»degozdwóchrodzajówroztworówu»ytodomieszaniny.

10.Rozwi¡»: 3 x − 5

2 > x +4

5 − 2 x

3 x − 10 > 5 − 2 x

1 − 2 x ¬ 3

11.Rozwi¡»:

| x +1 | + | y − 5 | =1

y =5+ | x +1 |

12.Rozwi¡»:

6.Wyznaczy¢zbiórpnktówpłaszczyznyspełniaj¡cyrównanie | x + y | = | y |− x

7.Rozwi¡za¢równanie: x + a

7Funkcjakwadratowa

1.Znale¹¢najmniejsz¡inajwi¦ksz¡warto±¢funkcji y =2 x 2 +2 x − 4wprzedziale < 0; 1 2 >

2.Wyznaczy¢współczynniki a,b,c trójmianukwadratowego f ( x )= y = ax 2 + bx + c wiedz¡c,»edla x =1

funkcja f ( x )osi¡ganajwi¦ksz¡warto±¢ y =4oraz»edojejwykresunale»ypunkt A (2 , − 6).

3.Danyjesttrójmiankwadratowy y = x 2 − 2

3 x +1.Obliczy¢sum¦kwadratówodwrotno±cimiejsczerowych

tegotrójmianu.

4.Rozwi¡»równaniadwukwadratowe:

a) x 4 − 6 x 2 − 7=0

b) x 4 − 13 x 2 +36=0

c) x 4 +5 x 2 +6=0

d) x 4 − 5 x 2 +3=0

5.Wyznaczdziedzin¦,anast¦pnierozwi¡»:

x +2=1

b)4 x − p

x +10+1=3 x

x − 3=26

d*)

x 2 +4 x +4 ¬− x 2 +4

6.Znajd¹liczb¦rozwi¡za«równania( m 2 − 1) x 2 +( m +1) x +1=0zparametrem m .Narysujwykresfunkcji

y = g ( m ),któraka»dejliczbierzeczywistej m przyporz¡dkowujeliczb¦rozwi¡za«tegorównania.

Wielomianyjednejzmiennej

1.Danes¡wielomiany:

W ( x )= x 4 +6 x 3 +2 x 2 − 18 x − 15

V ( x )=12 x 3 − 8 x 2 − 3 x +2.

a)rozłó» W ( x )oraz V ( x )naczynnikipierwsze(tzn.przedstawwpostaciiloczynowej),

b)rozwi¡»nierówno±¢ W ( x ) ¬ 0

c)rozwi¡» V ( x ) > 0

2.Danes¡wielomiany

P ( x )= x 5 − 8 x 4 +16 x 3 +2 x 2 − 7 x − 1

Q ( x )= x 2 − 4 x +1.

Wykonajdzielenie P ( x )

Q ( x ) .

3.Wykonajdzielenie:( x 3 − 14 x − 15):( x +3)

4.Obliczreszt¦ilorazu(4 x 3 − 12 x 2 +11 x − 8):(2 x − 3)niewykonuj¡cdzielenia.

5.Obliczpierwiastkiwielomianu W ( x )wiedz¡c,»ejestonpodzielnyprzezdwumian V ( x ):

W ( x )= x 3 +6 x 2 +6 x +5

V ( x )= x +5

6.Rozwi¡»nierówno±¢:3 x 4 +2 x 3 − 13 x 2 − 8 x +4 ¬ 0

7.Dlajakiego a i b liczby1i − 2s¡pierwiastkamiwielomianu

W ( x )= x 4 − 2 x 3 + x 2 + ax + b ?

8.Rozwi¡»równanie:3 x 3 − 10 x 2 − 5 x +2=0

8Funkcjapot¦gowa

1.Wyznaczdziedzin¦,anast¦pnierozwi¡»:

a) x 5 >x 3

b) x − 2 x − 3

c) − 1 ¬ x 3 < 8

d) x − 2 x − 1

2.Rozwi¡»równanie p x +3+ p 2 x +9=4metod¡analizystaro»ytnych.

a) x +

3.Rozwi¡»nierówno±¢3 x − 2 p x − 1 ¬ 0

4.*Wyznaczdziedzin¦irozwi¡»:

25 − x 2 +

x 2 +7 x> 3 b)

x +24 >

x +4+

2 x − 20

5.Rozwi¡»równanie p x +4 − 2 p x + 3+ p x +7 − 4 p x +3=1

korzystaj¡czpodstawienia

x +3= t .

9Trygonometria

1.Sprawdzi¢to»samo±¢:sin2 x = 2

tg x +ctg x

2.Obliczy¢sin2 x je±lictg x = − 8 15 , x 2 ( 3 2 ;2 ).

3.Wyznaczy¢dziedzin¦funkcji f ( x )=log(

3 − tg x )

4.Obliczy¢:cos 2 105 − sin 2 105

5.Rozwi¡za¢graﬁcznie: | sin x |¬| cos x |

6.Wyznaczy¢zbiórwarto±cifunkcjidanejwzorem

f ( x )=sin2 x − cos 6 +2 x

7.Rozwi¡za¢równanie:

2 cos 2 x

2 sin 2 x =

8.Wyznacz k ,dlaktórychistniejerozwi¡zanierównaniasin2 x = 2 k − 3

k − 4

9.Naszkicujwykresfunkcji f ( x )= | cos x |

2cos x

10.Zbadajokresowo±¢funkcji f ( x )=sin3 x

11.Upro±ci¢wyra»enie:

sin 2 (1+ctg )+cos 2 (1+tg )

12.*Wyznaczy¢zwi¡zekmi¦dzy a i b ,je»eli

a =sin x +cos x

b =sin 3 x +cos 3 x .

10Funkcjawykładnicza

1.Rozwi¡»równania:

a)4 x − 5 · 16 x +3 =64

b)2 x − 4 =(

d)2 3 x · 7 x − 2 =4 · 4 x

e)7 · 3 x +1 − 5 x +2 =3 x +4 − 5 x +3

f)8 1 4 x 2 − 2 3 x − 7 6 =

2.Rozwi¡»układrówna«:

2 2 x +3 y =13

2 · 4 x − 3 y = − 1

3.Okre±lliczb¦pierwiastkówrównania:( 1 2 ) x = x +3

4.Sporz¡d¹wykresfunkcji f ( x )= ( 1 3 ) x +2

2) 2 − 3 x

c)2 2 x +4 x =2 · 5 x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: