Rozdział 2
Fizyczne i matematyczne modelowanie w układach krążenia
Thomas Kenner
Physiologisches Institut der Universität Graz, A-8010 Graz, Harrachgasse 21, Austria
Analiza wymiarowa
Biologiczne podobieństwo
Wyznaczniki modelu
Gęstość
Model „Windkessel”
Model ulepszonej „Windkessel” Broemsera
Minimalizacja pracy serca
Niektóre zastosowania modeli „Windkessel”
Model manometru i elementy elektrycznej linii transmisyjnej
Model linii transmisyjnej układu naczyń tętniczych
Projekt hybrydowego modelu komputerowego
Zastosowanie modeli linii transmisyjnych
Problemy dotyczące modelu hybrydowego
Odbicie fali w układach o nieliniowym oporze
Nieliniowe modele rozproszone układu naczyń tętniczych
Impedancja wejściowa i stabilność
Prace opisane w niniejszym dokumencie były wspierane przez austriacki Fundusz Badawczy.
Cokolwiek postrzegamy i co jesteśmy w stanie wyrazić i opisać słowami, równaniami lub inną formą przekazywania informacji, jest modelem obserwowanego systemu lub zdarzenia. Dlatego modele są upraszczaniem poboru rzeczywistości (Heinrich, Rapoport i Rapoport, 1977). Modelowanie jest równoznaczne z przetwarzaniem informacji, w tym sensie, filtrowaniem i redukcją danych. W modelu całkowita zawartość informacji jest zawsze mniejsza niż zawartość informacji oryginalnego rzeczywistego systemu (Brillouina, 1964, 1967). Jeśli N jest złożonością systemu lub modelu, odpowiadająca treść informacji jest równa:
I = ld N (1)
Jako że złożoność modelu jest zredukowana o uproszczenie, możemy zobaczyć, zgodnie z równaniem 1, że jej treść informacji, I, zmniejsza się mniej niż jego złożoność, N. Fakt ten jest jednym z ważnych przyczyn uzasadniających stosowanie uproszczonych modeli . Drugi powód wynika z faktu, że w wielu przypadkach, przydatnej informacji o złożonym modelu jest mniej niż całkowita obliczona informacja, zgodnie z równaniem 1, ponieważ model, w którym nie wykonano redukcji zmiennych, jest prawie tak skomplikowany jak w rzeczywistym systemie (Heinrich et al., 1977).
W branży medycznej, modelowanie procesu lub systemu odpowiada procedurze diagnostycznej. W biologii i fizjologii terminy modelu i modelowania są często używane, w nieco rozszerzonym znaczeniu, dla opisu niektórych procedur eksperymentalnych. Tak więc, obieg każdego zwierzęcia może być postrzegany jako wzór obiegu człowieka.
Ten typ modelowania może być oceniany przy zastosowaniu metody biologicznego podobieństwa. W każdym rodzaju modelowania można znaleźć pewne zasady, albo należy uznać, lub muszą być skonstruowane. Zastosowanie analizy podobieństwa tworzy te zasady, w pewien sposób, modele systemu.
Można więc stwierdzić, że określenie "modelowania" może mieć różne znaczenia ze wspólnym podłożem danego podobieństwa z rzeczywistością. W odniesieniu do analizy można sobie wyobrazić dwie podstawowe skrajności: szczegółowy model, który obejmuje właściwości każdego elementu niezależnie od swojej roli, a także uproszczone modele, które mogą być wykonane, by reprezentować podstawowe cechy rzeczywistego systemu, niezależnie od istnienia pełnej zgodności z rezultatami doświadczeń (Heinrich et al., 1977).
Celem tego badania jest dokonanie przeglądu problemu modelowania poprzez omówienie: 1) ogólnej koncepcji biologicznego podobieństwa i wymiarów modelu, 2) problemu modelowania fizycznego i matematycznego, i 3) przydatności lub skuteczności niektórych procedur.
Z pewnością nie jest planowane, i nie jest to możliwe, dokonanie całkowitego przeglądu literatury w tej dziedzinie. Oprócz naszego własnego udziału (Wetterer i Kenner, 1968; Kenner, 1972, 1974) istniały doskonałe przeglądy opublikowane niedawno (Attinger i Attinger, 1973; Taylor, 1973; Patel et al., 1974; Roach, 1977). Z tego powodu główny nacisk w tym omówieniu kładziony jest na nasze własne pomysły oraz na własną pracę, wykonaną wcześniej z E. Wetterer a ostatnio w moim laboratorium.
ANALIZA WYMIAROWA
Analiza wymiarowa stawia ramy konstrukcyjne wokół modelu, który ma zostać skonstruowany. Ramy oparte są na konieczności pozostawania prawidłowym jakiegokolwiek funkcyjnego stosunku, jeżeli jednostki podlegają zmianie. Zachowania bezwymiarowych stosunków mogą być zbadane, aby to udowodnić. Powiązanie l1/l2 dwóch długości zawsze jest niezależne od wykorzystywanych jednostek. Poprzez uogólnienie tej procedury może być wyprowadzone tzw. twierdzenie п (Bridgman, 1922; Ipsen, 1960; Attinger, 1973; Gunther, 1975). Liczba niezależnych bezwymiarowych grup jest równa różnicy między liczbą zmiennych, które je tworzą i liczbą niezależnych wymiarów powiązanych (Ipsen 1960). Jeżeli
Ф(x1, x2, x3, . . . , xn)=0 (2)
opisuje funkcyjną relację n zmiennych x1 do xn, oraz jeżeli m jest liczbą podstawowych wymiarów, to istnieje n - m bezwymiarowych wyników п1, п2, п3, . . . , пn-m tak więc,
F(п1, п2, п3, . . . , пn-m)=0 (3)
opisuje funkcję Ф Jeżeli, ponadto, szukane jest jednoznaczny wzór na x1, równanie 3 może być zapisane w następujący sposób:
x1= x2a x3b, . . . , xnh F1(п2, п3, . . . , пn-m) (4)
a, b oraz h są wykładnikami obliczonymi, jak pokazano poniżej.
Korzystając z analizy wymiarowej wyprowadzimy prawo Poiseuille'a (Attinger, 1973). Problemem do rozwiązania jest skonstruowanie matematycznego modelu zdarzeń w cieczy przepływającej przez wąską rurę. Zmiennymi i wymiarami problemu są:
x1 =przepływ (Q·), L3T -1
x2 = gradient ciśnienia (Δp), P
x3 = promień (r), L
x4 = długość (l), L
x5 = lepkość(h), PT
Wybieramy tutaj, ze względów praktycznych, trzy podstawowe wymiary: długość(L), ciśnienie (P) i czas (T). To nietypowe połączenie jest tu użyte także, aby pokazać ogólne zastosowanie tej koncepcji. Istnieje n - m = 2 bezwymiarowych wyników. Jeden jest oczywisty:
п1= r/l (5)
Inny wynik może być policzony z:
п2 = Q· Δparbhg = L3T -1P aLbP gT g (6)
zakładając trzy warunki, ponieważ suma wszystkich wykładników każdego z wymiarów musi być równa zero. Wartości a = -1, b = -3 oraz g = +1 są znalezione. Tak więc,
п2= Q· Δp-1r-3h1 (7)
Wstawienie do równania 4 for x1 = Q· ostatecznie daje:
Q· = const(Δpr3/h)f(r/l) (8)
Ściśle naukowe wyprowadzenie daje dobrze znaną zależność:
Q· = (Δpr4/п)/8hl) (9)
Tak oto, analiza wymiarowa dostarcza całkiem potężnego narzędzia do pierwszej kontroli procedury modelowania. Dodając do listy zmiennych:
x6 = gęstość (r), ML-3...
heardaris