7_Stan_sinusoidalny_2.pdf

(243 KB) Pobierz
Sygnał sinusoidalny, a liczby zespolone
Sygnał sinusoidalny, a liczby zespolone
Wzór Eulera : e j α = cos α + j sin α
gdzie:
j −
=
1
; jedno z dwu rozwiązań równania: j 2 + 1 = 0.
im
Płaszczyzna zespolona
+j
z
Im z
α
–1
+1
re
Re z
–j
s( t ) = S m cos( ω t + α ) = Re[ S m e j( ω t + α ) ] = Re[ (S m e j α ) e j ω t ] = Re[Se j ω t ]
gdzie: S = S m e j α – amplituda zespolona sygnału sinusoidalnego S( t );
przy czym: | S | = S m – moduł amplitudy zespolonej S;
arg S = α ∈ (– π ,+ π ) – argument główny amplitudy zespolonej S .
s( t ) = S m sin( ω t + β ) = Im[ S m e j( ω t + β ) ] = Im[ (S m e j β ) e j ω t ] = Im[S e j ω t ]
gdzie:
S = S m e j β – amplituda zespolona sygnału sinusoidalnego S( t );
przy czym:
| S | = S m – moduł amplitudy zespolonej S;
arg S = β ∈ (– π ,+ π ) – argument główny amplitudy zespolonej S .
β +
przy czym:
=
2
α
.
Fazor – wektor wirujący: w = e j ω t
Moduł w: w = |w| = 1;
Argument w: arg w = ω t
im
+j
ω t
w
j Im w
Im w
| w |
–1
+1
re
Re w
Przykład: Napięcie sinusoidalne ma postać: u ( t ) = 10 cos( ω t + 6 π ) [V].
–j
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
∆
4767206.022.png 4767206.023.png 4767206.024.png
U = 10 e j
π
[V] = 10 ( cos 6 π + j sin
π ) [V] = 5 ( 3 + j ) [V];
Amplituda zespolona:
6
6
Argument główny:
arg U =
π [rad].
6
Zmiana postaci amplitudy zespolonej S sygnału sinusoidalnego.
Postać wykładnicza (PW): S = |S| e j ϕ
Postać algebraiczna (PA):
S = a + j b; a = Re S, b = Im S.
PW => PA
PA => PW
a = |S| cos ϕ
S
=
a
2
+
b
2
b = |S| sin ϕ
cos
ϕ
=
a
⎪
a
2
+
b
2
⇒
ϕ
⎬
b
⎪
⎭
sin
ϕ
=
a
2
+
b
2
⎪
Wyliczanie kąta fazowego
a >
0
⎝
−
π ϕ
<
<
+
π
⎠
⇒
ϕ
arctg
b
2
2
a
a =
0
⎝
ϕ
=
−
π
⎠
∨
⎝
ϕ
=
+
π
⎠
⇒ ( ) 2
ϕ
sgn
b
π
2
2
a <
0
⎝
−
π
<
ϕ
<
−
π
⎠
∨
⎝
π
<
ϕ
<
π
⎠
⇒
ϕ
π −
sgn
b
arctg
b
2
2
a
Uwaga !
1). Każdemu sygnałowi sinusoidalnemu
s
(
t
)
=
S
⎧
sin
⎫
( ϕ
ω
t
+
)
można
m
cos
jednoznacznie przyporządkować jego amplitudę zespoloną S = S m e j ϕ .
2). Każdej amplitudzie zespolonej S = S m e j ϕ można przyporządkować dwa
sygnały sinusoidalne
s
(
t
)
=
S
⎧
sin
⎫
( ϕ
t
+
różniące się fazą o
π [rad].
m
cos
2
W związku z tym należy przyjąć a priori umowę, że w roz-
patrywanym zagadnieniu wszystkie sygnały sinusoidalne
zapisujemy w postaci funkcji sinus albo funkcji cosinus .
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
⎫
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
ω
4767206.025.png 4767206.001.png
Działania na sygnałach sinusoidalnych
1). Mnożenie sygnału sinusoidalnego przez liczbę rzeczywistą
Dane:
s 1 ( t ) = S m1 cos( ω t + α 1 ) = Re[ S 1 e j ω t ]
Î S 1 = S m1 e j α 1
s( t ) = k s 1 ( t ) = S m cos( ω t + α ) = Re[ S e j ω t ] Î S = S m e j α
s( t ) = k S m1 cos( ω t + α 1 ) = Re[k S 1 e j ω t ] Î S = (k S m1 ) e j α 1
S = k ⋅ S 1
przy czym: k ∈ ℜ \{0}
im
ω t
im
ω t
k < 0
S = k S 1
π
k > 0
Amplituda zespolona S iloczynu sygna-
łu sinusoidalnego przez stałą k ∈ ℜ \{0}
jest równa iloczynowi amplitudy zespo-
lonej tego sygnału przez tę stałą.
α 1
S 1
re
S 1
α 1
re
S = k S 1
2). Suma sygnałów sinuso-
idalnych
Dane:
s 1 ( t ) = S m1 cos( ω t + α 1 ) = Re[ S 1 e j ω t ]
Î S 1 = S m1 e j α 1
s 2 ( t ) = S m2 cos( ω t + α 2 ) = Re[ S 2 e j ω t ]
Î S 2 = S m2 e j α 2
Suma:
s( t ) = s 1 ( t ) + s 2 ( t ) = S m cos( ω t + α ) = Re[ S e j ω t ] Î S = S m e j α
s( t ) = s 1 ( t ) + s 2 ( t ) = Re[ S 1 e j ω t ] + Re[ S 2 e j ω t ] = Re[( S 1 + S 2 )e j ω t ]
Re[( S 1 + S 2 )e j ω t ] = Re[ S e j ω t ]
S = S 1 + S 2
S = S m1 e j α 1 + S m2 e j α 2
im
ω t
S = S 1 + S 2
S 1
Amplituda zespolona S sumy sygnałów
sinusoidalnych o tej samej pulsacji ω jest
równa sumie ich amplitud zespolonych
S 2
S 2
α 1
α
α 2
re
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
4767206.002.png 4767206.003.png 4767206.004.png 4767206.005.png
 
3). Różnica sygnałów sinusoidalnych
Dane:
s 1 ( t ) = S m1 cos( ω t + α 1 ) = Re[ S 1 e j ω t ]
Î S 1 = S m1 e j α 1
s 2 ( t ) = S m2 cos( ω t + α 2 ) = Re[ S 2 e j ω t ]
Î S 2 = S m2 e j α 2
Suma:
s( t ) = s 1 ( t ) – s 2 ( t ) = S m cos( ω t + α ) = Re[ S e j ω t ] Î S = S m e j α
s( t ) = s 1 ( t ) – s 2 ( t ) = Re[ S 1 e j ω t ] – Re[ S 2 e j ω t ] = Re[( S 1 – S 2 )e j ω t ]
Re[( S 1 – S 2 )e j ω t ] = Re[ S e j ω t ]
im
ω t
S = S 1 – S 2
S = S m1 e j α 1 – S m2 e j α 2
S 1
S = S 1 – S 2
α
S 2
Amplituda zespolona S różnicy sygnałów
sinusoidalnych o tej samej pulsacji ω jest
równa różnicy ich amplitud zespolonych
α
α 2
re
– S 2
Przykład Jakie jest napięcie u( t ) oraz prąd i( t ) gałęzi pokazanej na
rysunku, jeśli
R = 4 Ω ,
e 1 ( t )
u 1 ( t )
R
e 1 ( t ) = 10 cos ( ω t + π /6 ) [V]
u 1 ( t ) = 8 cos ( ω t – π /4 ) [V]
i( t )
u( t )
Amplitudy zespolone napięć :
Im U [V]
ω t
E 1 = 10 e j π /6 [V] = 10( cos π/6 + j sin π/6 ) = ( )
5
3
j + [V]
2
E 1
–π/4
U 1
Re U [V]
π/6
U 1 = 8 e –j π /4 [V] = 8 [cos(– π/4) + j sin(– π/4)] = ( )
4
2
1
−
j
[V]
U
Amplituda zespolona sumy napięć :
U = E 1 + U 1 = ( ) ( )
5
3
+
4
2
−
j
4
2
−
5
= 14,32 – j 0,66 = 14,76 e -j2°38′
Napięcie : u( t ) = 14,76⋅cos( ω t – 2°38′ ) [V]
Im
ω t
Re
2
Prad : i( t ) = G u 1 ( t ) ( wg PO )
Amplituda zespolona prądu :
I
−
2
–π/4
U 1
I = G U 1 = 0,25 ⋅ 8 e –j π /4 [A] =
( )
2
1
−
j
[A]
Prąd : i( t ) = 2,0⋅cos( ω t – π/4 ) [A]
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
4767206.006.png 4767206.007.png 4767206.008.png 4767206.009.png 4767206.010.png 4767206.011.png 4767206.012.png 4767206.013.png 4767206.014.png 4767206.015.png
4). Różniczkowanie sygnałów sinusoidalnych
Dane:
s 1 ( t ) = S m1 cos( ω t + α 1 ) = Re[ S 1 e j ω t ]
Î S 1 = S m1 e j α 1
s( t ) =
d
s
1
(
t
)
= S m cos( ω t + α ) = Re[ S e j ω t ] Î S = S m e j α
d
t
s( t ) =
d
Re[
S
e
jω
t
]
=
Re[
( )
jω
S
e
jω
t
]
Î S = j ω ( S m1 e j α 1 )
d
t
1
1
im
S = j ω ⋅ S 1
S = j ω S 1
S
ω t
π
re
2
Amplituda zespolona sygnału sinusoidalnego S powsta-
łego przez zróżniczkowanie względem czasu sygnału
sinusoidalnego o pulsacji ω jest równa iloczynowi ampli-
tudy zespolonej tego sygnału przez j ω .
α 1
S 1
S 1
j
π
, to S = S e j α = [ ω S 1 ]e j( α 1 + 2 π ) ,
j
=
e
2
Ponieważ:
z tego wynika: S = ω S 1 oraz α = α 1 + 2
π
.
Sygnał sinusoidalny po zróżniczkowaniu względem czasu
wyprzedza w fazie sygnał różniczkowany o π /2 radianów.
Przykład Jakie napięcie u( t ) towarzyszy przepływowi prądu i( t ) = 20 cos ( ω t + 15 ° ) mA
o pulsacji ω = 1 Mrad/s przez indukcyjność L = 3 mH
u( t )
d
i
(
t
)
u
( =
)
L
L
d
t
i( t )
Amplituda zespolona prądu w indukcyjności:
I = 20 e j15 ° [mA]
Amplituda zespolona napięcia na indukcyjności: U = L ⋅ ( j ω I ) = j ( ω L) I [V]
( ω L) = 10 6 3 ⋅ 10 –3 = 3 k Ω ;
U = 60 e j105 ° [V]
u( t ) = Re[U e j ω t ] = 60 cos( ω t + 105 ° ) [V]
Dr inż. Jacek Czosnowski
Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
t
4767206.016.png 4767206.017.png 4767206.018.png 4767206.019.png 4767206.020.png 4767206.021.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin