STATYSTYKA OPISOWA 5 WYKŁAD 25.04.2009.doc

STATYSTYKA OPISOWA 5 WYKŁAD 25.04.2009

Temat: Rozkład normalny.

Przejście od opisu statystycznego do wnioskowania statystycznego

Rozkład normalny – zwany rozkładem Cinusa – Lapleca`a.

Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym σ

X -> N (m σ,)

Rozkład prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej ciągłej nosi nazwę rozkładu (funkcji) gęstości.

Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:

§         Jest symetrycznym względem prostej x = m

§         W punkcie x =m osiąga wartość maksymalną

§         Ramiona funkcji maja punkty przecięcia dla x = m – σ oraz x = m+ σ

§         Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów m i δ. Parametr decyduje o usunięciu krzywej natomiast parometr  σ decyduje o „smukłości” krzywej.

Prawdopodobieństwo w rozkładzie normalnym wyznacza się dla wartości zmiennej losowej z określonego przedziału.

Natomiast: P (x = a) =0

W celu obliczenia prawdopodobieństwa zmiennej X w rozkładzie normalnym o dowolnej wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym σ

Standaryzacja polega na sprawdzeniu dowolnego rozkładu normalnego o danych parametrach m i σ do rozkładu standardowego o wartości oczekiwanej m = 0 i odchyleniu standardowym σ = 1

Zmienną losową x zastępujemy zmienną standardową U, która ma rozkład N(0,1) wg. wzoru

U -> SN (0,1)                                           

                                                             U =

Dystrybucja zmiennej standaryzowanej

F (u) = P(U < σ) = f(u)du

Przy czym:

f (u = -∞)=0

f(u = 0) =

f(u = ∞) = 1

Własności dystrybuanty standardowego rozkładu notarialnego

P (U <a) = F(a)

P (U >a) = 1 – P(U< a) =1 – F (a)

P (a < U <b) = F (b) – F (a)

F (-U) = 1 – F( U)

Przykład:

Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny N (165,15). Oznacza to, iż zmienna losowa jaka jest wzrost kobiet na rozkład normalny ze średnią równą 165 cm i odchyleniem standardowym równym 15 cm. Jaki jest udział populacji kobiet o wzroście:

a) do 160 cm

X – wzrost kobiet

X -> N (165,15)

m– 165

σ – 15

Interpretacja: Prawdopodobieństwo tego, ze wzrost wylosowanej kobiety będzie mniej niż 160 cm wynosi 37,07%.

b) w przedziale 165 – 170 cm

m – 165

σ – 15

Interpretacja: Prawdopodobieństwo tego, ze wzrost wylosowanej kobiety będzie w przedziale 165 – 170 cm wynosi 12,93 %

c) powyżej 175 cm

m - 175

σ – 15

Interpretacja: Prawdopodobieństwo tego, ze wzrost wylosowanej kobiety będzie więcej niż 175 cm wynosi 25,14 %.

1

STATYSTYKA OPISOWA 5 WYKŁAD 25.04.2009