JAK ZMIENI SIĘ WARTOŚĆ FUNKCJI
y=f(x)
NA SKUTEK MAŁEGO WZROSTU
ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ x ?
RÓŻNICZKA FUNKCJI y=f(x)
MÓWI NAM O PRZYBLIŻONEJ WARTOŚCI PRZYROSTU y FUNKCJI y
JEŻELI ZMIENNA NIEZALEŻNA x
WZROŚNIE O MAŁE x
ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x)
MÓWI NAM O ILE % WZROŚNIE WARTOŚĆ FUNKCJI y
WZROŚNIE O 1%
y=f(x) dla ustalonego x
x x+Δx przyrost na x : Δx
f(x) f(x+Δx) przyrost na f(x): Δy= f(x+Δx)–f(x)
względny przyrost: Δx/x
Δy /y =[f(x+Δx)–f(x)]/f(x)
Elastyczność łukowa :
[ Δy /y] /[Δx/x] = {[f(x+Δx)–f(x)]/f(x)}/{ Δx/x}
= { x/f(x)}{[f(x+Δx)–f(x)]/ Δx
Granicznie przy Δx dążącym do 0 mówimy o ELASTYCZNOŚCI
Ef = { x/f(x)}f’(x)= { xf’(x)}/f(x)
Elastycznością funkcji y=f(x) ze względu na zmienną niezależną x nazywamy granicę ilorazu względnego przyrostu wartości funkcji (y / y) do względnego przyrostu zmiennej niezależnej (x / x) , tj.
PRZYKŁAD 1 Dla funkcji liniowej y=3x-6 elastyczość wynosi
Przy x=10 wartość funkcji wynosi y=f(10)=3x106=24, a elastyczność Ey=10/8=1.2
Elastyczność interptetujemy następująco:
Jeżeli zmienna niezależna x wzrośnie z aktualnego poziomu (10) o 1%
tj. o 0.01 10 = 0.1
to wartość funkcji wzrośnie z aktualnego poziomu (24) o 1.2%
tj. o 0.012 24 = 0.288
Przy x=6 wartość funkcji wynosi y=f(6)=366=12, a elastyczność Ey=6/4=1.5.
Wniosek : Elastyczność funkcji liniowej nie jest stała.
Zależy od poziomu zmiennej niezależnej x .
PRZYKŁAD 2 Dla funkcji potęgowej elastyczość wynosi
Wniosek : Elastyczność funkcji potęgowej jest stała.
Nie zależy od poziomu zmiennej niezależnej x .
Różniczką dy funkcji y=f(x) nazywamy iloczyn pochodnej f'(x) przez dowolny przyrost x zmiennej niezależnej x , tj.
Różniczka funkcji służy do przybliżonego obliczania przyrostu funkcji, gdy przyrost zmiennej niezależnej jest dostatecznie mały.
Przybliżony przyrost funkcji y , gdy zmienna niezależna x wzrasta z pewnego poziomu xo wynosi
Wynika stąd, że
PRZYKŁAD 1 Dla funkcji liniowej y=3x-6 różniczka ma postać
Wniosek : Różniczka funkcji liniowej jest stała
i dokładnie odpowiada przyrostowi funkcji.
PRZYKŁAD 2 Dla funkcji potęgowej różniczka wynosi
Wniosek : Różniczka funkcji potęgowej jest funkcją.
Np. przy xo=2 i x=0.01 mamy
podczas gdy
a przy xo=10 i x=0.01 mamy
TEMPO WZROSTU FUNKCJI y=f(x)
Iloraz
nazywamy średnim tempem wzrostu funkcji y=f(x) w przedziale <x0, x0+Dx>
Granicę
nazywamy tempem wzrostu funkcji w punkcie x0.
(tempo wzrostu wyrażone w % nazywamy stopą wzrostu)Przykład 1
Dla funkcji liniowej y=3x-6
tempo wzrostu funkcji w punkcie x0=10 wynosi
Przykład 2
Dla funkcji potęgowej y=2x3 tempo wzrostu funkcji w punkcie x0=2 wynosi
protur