03.pdf
(
435 KB
)
Pobierz
29733647 UNPDF
Część 2
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
1
3.
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą
wcześniej już poznaliśmy i przy użyciu której jesteśmy w stanie policzyć przemieszczenia i rozkład sił
wewnętrznych układów statycznie niewyznaczalnych. Tok obliczeń matematycznych jest podobny, jednak sens
fizyczny wielkości występujących w równaniach jest odmienny. Podstawowe różnice pomiędzy tymi metodami
zestawiliśmy w poniższej tabeli oraz zobrazowaliśmy w krótkich przykładach.
Tabela 3.1. Porównanie metody sił z metodą przemieszczeń
Metoda sił
Metoda przemieszczeń
Niewiadomymi są:
nadliczbowe siły
przemieszczenia węzłów
Równania kanoniczne wyrażają:
przemieszczenia w miejscu odrzuconych
więzów
reakcje w miejscu dołożonych więzów
O liczbie niewiadomych decyduje:
stopień statycznej niewyznaczalności
(
SSN
). Jest to liczba więzów
przesztywniających układ, które trzeba
odrzucić.
stopień kinematycznej
niewyznaczalności (
SKN
). Jest to
liczba więzów, które trzeba
wprowadzić aby układ usztywnić.
3.1. Algorytm obliczeń w metodzie przemieszczeń
Określenie stopnia kinematycznej (geometrycznej) niewyznaczalności polega na wyznaczeniu liczby
więzów, które należy wprowadzić, aby układ stał się geometrycznie wyznaczalny. Będzie to liczba węzłów
układu prętowego, w którym zbiegają się sprężyście utwierdzone pręty (węzły wewnętrzne) powiększona o
liczbę więzów (niezależnych podpór), które należy wprowadzić do układu, aby stał się nieprzesuwny.
W przypadku wieloprętowego układu, relację między kątami obrotów cięciw prętów wyznacza się z
łańcucha kinematycznego uzyskanego poprzez zamianę wszystkich węzłów wewnętrznych i podpór na
przeguby i określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności.
Układ podstawowy będzie układem, w którym wprowadza się wewnętrzne utwierdzenia do węzłów oraz
dodaje się podpory liniowe, uniemożliwiające przesuwy. Dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie.
Przykład 1
Rozpatrujemy belkę ciągłą (rys. 3.1) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolnym
obciążeniem ciągłym
q
. Pod wpływem tego obciążenia belka odkształci się, w wyniku czego powstanie stan
naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rozwiążmy tą belkę najpierw metodą sił a następnie metodą
przemieszczeń.
q
Rys. 3.1 Belka ciągła statycznie niewyznaczalna
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
2
W metodzie sił, belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (
SSN = 1
). Możemy zatem przyjąć układ
podstawowy w którym jedną z podpór zastąpimy niewiadomą siłą
X
1
(rys. 3.2).
X
1
Rys. 3.2. Układ podstawowy w metodzie sił
Linia ugięcia takiej belki będzie sumą linii ugięć powstałych od obciążenia ciągłego
q
i od niewiadomej siły
X
1
(korzystamy tutaj z zasady superpozycji skutków). Linie ugięć będą wyglądały mniej więcej tak jak na
rysunku 3.3.
S
w(q)
w
s
(q)
w
s
(x
1
)
w(x
1
)
S
X
1
w(q) = w(x
1
)
S
Rys. 3.3. Linie ugięcia od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X
1
Warunek geometrycznej zgodności:
w
s
q
w
s
X
1
=
0
zapisujemy w postaci równania kanonicznego:
11
X
1
1 P
=
0
Ta sama belka w metodzie przemieszczeń, będzie posiadać jeden niezależny kąt obrotu przekroju w węźle
S
(
SKN = 1
). W celu przyjęcia najlepszego układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy więz w postaci
utwierdzenia wewnętrznego (sztucznego), który zatrzymuje obrót ale nie blokuje przesuwu (rys. 3.4). W
przeciwieństwie do metody sił, nie będzie to więc układ statycznie wyznaczalny lecz układ przesztywniony.
φ
1
s
Rys. 3.4. Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
3
Układ taki jest zgodny jedynie geometrycznie, kinematyczną zgodność zapewnia przemieszczenie w postaci
kąta obrotu
φ
1
. Równowagę statyczną uzyskamy jeśli spełnimy równanie równowagi, opisujące reakcję we
wprowadzonym więzie:
M
s
=
0
⇔
M
s
=
M
q
M
L
M
P
=
0
które jest równaniem kanonicznym:
r
11
1
r
1 P
=
0
Wykonując wykresy sił wewnętrznych powstałych zarówno od obciążenia
q
jak i od kąta obrotu
φ
1
korzystamy ze wzorów transformacyjnych (rys. 3.5).
M(q) =
ql
2
8
M(q)
M
L
(φ)
φ
1
M(φ
1
)
M
P
(φ)
Rys. 3.5. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia ciągłego q oraz od kąta obrotu φ
Wykonując linię ugięcia (rys. 3.6) widzimy że ma ona taką samą postać jak ta, która powstała w wyniku
rozwiązania belki metodą sił, co świadczy o poprawności tej metody.
φ
1
w(q,φ
1
)
Rys. 3.6. Linia ugięcia od obciążenia ciągłego q i i kąta obrotu więzu o φ
1
Przykład 2
Analizie poddamy ramę płaską (rys. 3.7) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolną siłą
skupioną
P
i obciążeniem ciągłym
q
.
q
P
A
EJ
r
B
EJ
s
EJ
s
h
l
Rys. 3.7. Rama płaska statycznie niewyznaczalna
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
4
Pod wpływem tego obciążenia rama odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony
w postaci sił wewnętrznych. Rama ta składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach, pręty te będziemy
traktować jako tarcze doskonale sztywne podłużnie (nie uwzględniamy skracania i wydłużania się prętów pod
wpływem działania obciążenia). Pod wpływem przemieszczenia pręty ulegają deformacji, a węzły doznają
przemieszczeń. Stan przemieszczenia węzłów charakteryzują wielkości: kąty obrotów
φ
oraz niezależne
przesuwy
Δ
(które mogą być wyrażone przez niezależne kąty obrotów cięciw prętów
ψ
ik
). Przyjmijmy więc te
wielkości za niewiadome w metodzie przemieszczeń. Aby uzyskać układ podstawowy w metodzie
przemieszczeń wprowadzamy wewnętrzne utwierdzenia (blokady obrotów po kierunku
φ
1
, φ
2
) oraz dodatkową
podporę (blokada przesuwu po kierunku
Δ
3
). W ten sposób naruszymy statykę układu (rys. 3.8).
M
A
,φ
1
q
M
B
,φ
2
R
B
H
,Δ
3
P
A
EJ
r
B
EJ
s
EJ
s
h
l
Rys. 3.8. Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą
Układ taki jest geometrycznie i kinematycznie zgodny. Zgodność statyczną, którą naruszyliśmy wprowadzając
dodatkowe więzy, zapewnimy spełniając równości:
{
∑
M
A
=
0
∑
M
B
=
0
∑
R
H
=
0
(3.1)
Warunki (3.1) oznaczają, że reakcje w dodatkowych podporach muszą być równe zero, bo w rzeczywistości
tych podpór nie ma. Podobnie było w metodzie sił: przemieszczenia po kierunku odrzuconych więzów musiały
być równe zero, bo w rzeczywistości te węzły były zablokowane.
Rozpisując każde z równań otrzymujemy:
{
M
A
P
M
A
1
M
A
2
M
A
3
=
0
M
B
P
M
B
1
M
B
2
M
B
3
=
0
R
H
P
R
H
1
R
H
2
R
H
3
=
0
(3.2)
Przyjmując oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń i wprowadzając symbol reakcji powstałej
od jednostkowego przemieszczenia
r
ik
(reakcja po kierunku niewiadomej
i
wywołana przemieszczeniem po
kierunku
k
):
{
r
11
1
r
12
2
r
13
3
R
1 P
=
0
r
21
1
r
22
2
r
23
3
R
2 P
=
0
R
31
1
r
32
2
R
33
3
R
3 P
=
0
(3.3)
Zastępując symbole niewiadomych
φ
1
, φ
2
,
Δ
3
zmienną uogólnioną
Z
j
otrzymujemy ostateczny układ równań:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE
5
{
r
11
Z
1
r
12
Z
2
r
13
Z
3
R
1 P
=
0
r
21
Z
1
r
22
Z
2
r
23
Z
3
R
2 P
=
0
R
31
Z
1
r
32
Z
2
R
33
Z
3
R
3 P
=
0
(3.4)
który możemy zapisać również w postaci wskaźnikowej:
n
∑
j
=
1
r
ij
Z
j
R
iP
=
0
(3.5)
Układy statycznie niewyznaczalne można rozwiązać metoda przemieszczeń lub metodą sił. Ta sama
konstrukcja w każdej z tych metod może mieć inną liczbę niewiadomych. W niektórych przypadkach ram,
układ jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalny, natomiast w metodzie przemieszczeń ma jedną niewiadomą,
w innych przypadkach jest na odwrót (rys. 3.9).
X
7
X
6
X
5
z
1
X
3
X
4
X
2
X
1
z
1
z
2
z
3
z
6
z
5
z
4
X
1
Rys. 3.9. Układy podstawowe w metodzie sił i metodzie przemieszczeń
Proces obliczeń układów niewyznaczalnych metodą przemieszczeń przedstawimy w kilku przykładach
liczbowych.
Zadanie 1
Wyznaczyć wykres sił wewnętrznych w zadanej belce (rys. 3.10), korzystając z metody przemieszczeń.
P = 16 kN
q = 4 kN/m
A
B
C
2
2
6
[m]
Rys. 3.10. Belka statycznie niewyznaczalna
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Plik z chomika:
kokietka91
Inne pliki z tego folderu:
00_Cover.pdf
(135 KB)
00_Toc.pdf
(63 KB)
01.pdf
(344 KB)
02.pdf
(289 KB)
03.pdf
(435 KB)
Inne foldery tego chomika:
Cz. 1
Mechanika Budowli - Zadania
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin