liczby_zespolone.pdf

Algebra liniowa/Liczby zespolone

1/16

Liczby zespolone

Jak to przystało na prawdziwy i nudny wykład, mała praca domowa. Ten jeden z nielicznych

razy wymagam lekkiego przystosowania się do tego, o czym tu będę pierdo... znaczy się – pisał.

Wielce zalecana jest jakaś tam znajomość funkcji trygonometrycznych... cokolwiek to nie

znaczy. Podstawowo – zamiana kąta na radiany. Dobrze też, gdybyście wiedzieli, co to są za

funkcje sinus i cosinus, co one tam wypluwają za liczby. Powinniście zapamiętać... no dobra,

wydrukować kilka podstawowych wartości dla kilku częstych kątów, które zdarzają się w

zadaniach. No i odzwierciedlenie tych funkcji w układzie współrzędnych – czyli wiedzieć np. co w

której ćwiartce (nie mylić „po której ćwiartce”) ma jaki znak, dodatkowa wiedza – wielce

przydatna. Dodatkowo, dobrze wiedzieć, co to jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias ,

czy jakoś coś podobnego.

Oczywiście, nie jakiś tam kosmiczny i rozszerzony poziom, wystarczy to, co tam piszą w

podręcznikach do technikum na obojętnie którym poziomie. Jak to zwykle bywa – trochę teorii,

jeżeli komuś się nudzi czy jest pod wpływem – może spokojnie poczytać, kilka przykładów i

rozwiązań też się znajdzie.

1. Liczba zespolona – postać algebraiczna

Zaczynamy od pytania – co to jest liczba zespolona? Na razie uznajmy, że to jest takie

gówienko:

z = a + bi

Czyli taki „twór”, składający się z właściwie dwóch liczb, dwóch elementów. Pierwszy z

nich jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej, druga, ta przy literce i jest częścią urojoną .

O, na przykład mamy taką liczbę:

z = 1 + 2i

Jest to takie coś, składające się z części rzeczywistej – równej w naszym przypadku liczbie

1, oraz części urojonej, równej liczbie 2.

Zatrzymajmy się przy tym tajemniczym i :

z = i

Czym, do chuja, jest to i i po jaką cholerę ono tam stoi? Uznajmy, że przy tej części urojonej

to i ma tam stać. I niech sobie stoi w spokoju, no, chyba, że jest podnoszone do kwadratu, to wtedy

się w automagiczny i dziwny sposób staje liczbą – 1:

i 2 = -1

W tym jednym przypadku coś się faktycznie dzieje z tą tajemniczą literką, a jak się tylko da

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Algebra liniowa/Liczby zespolone

2/16

– zostawiamy w spokoju.

A jednak, postanawiam sobie poeksperymentować.

Zapewne w szkole średniej było takie coś, jak „funkcje kwadratowe”. I tam było takie coś,

jak wyliczanie jakiejś delty, pierwiastków, ogólnie – daj Pan spokój.

Każdy kiedyś coś pierwiastkował. I tak, na przykład pierwiastek z liczby 4:

 4=2 lub

 4=−2

Daje liczbę dwa albo minus dwa. Proste sprawdzenie – podnosimy do kwadratu to lub tamto

i też mamy cztery. Ale każdy zapis typu:

 −4

powodował, że nauczyciel się po przyjacielsku pytał „Co Ty, kurwa, odpierdalasz”, a jak

zachowywaliśmy się pokojowo – to po prostu pisaliśmy „Nie ma, nie istnieje”. Tak, patrząc tylko

przez pryzmat tego, co się tam dzieje w liczbach rzeczywistych.

To popatrzmy, wykorzystując posiadaną wiedzę. Zapiszmy pierwiastek trochę inaczej:

 −4=  −1∗4

No i teraz patrzymy pod koniec poprzedniej strony i wykorzystamy, czemu tam równa się (-

1) :

 −1∗4=  i 2 ∗4

I rozpierdalamy na dwa pierwiastki (jak mamy mnożenie pod pierwiastkiem, to hulaj dusza,

piekła nie ma):

 i 2 ∗4=  i 2 ∗  4

Tutaj traktujemy liczbę i jako nudną i zwykłą literkę pod pierwiastkiem, jak np. n w analizie

matematycznej w granicach. Zauważmy, że z pierwszego czynnika możliwe wyniki to i oraz – i

(czemu? Podnieście sobie np. n i (– n ) do kwadratu, też wyjdzie tylko i wyłącznie n 2 ), a z drugiego

możliwe to 2 i (– 2). Pomijając wszelkie logiczne rozwiązania i inne niemoralne sposoby

rozwiązań, wychodzi ostatecznie, że

 i 2 ∗4=2 i

lub

 i 2 ∗4=−2 i

Czyli pierwiastek z liczby:

 −4

jest równy: 2i lub (-2i).

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Algebra liniowa/Liczby zespolone

3/16

Warto zapamiętać sobie taki wzorek:

 − a = a i

lub  − a =− ai

Gdzie a jest czymkolwiek rzeczywistym.

I tym sposobem, proszę ja was, dzięki powyższemu wzorkowi oraz takiej zależności:

i 2 = – 1

właściwie mamy załatwione całe liczenie liczb zespolonych w tej normalnej, algebraicznej

postaci.

Przykłady:

a) dodaj do siebie liczby z1 = 5 + 3i; oraz liczbę z2 = 6 + i.

Nic prostszego. Przy dodawaniu (jak i przy odejmowaniu) po prostu liczymy osobno to, co

stoi przy tym jebniętym i i to, co stoi przy reszcie.

Z3 = z1 + z2 = (5 + 3i) + (6 + i) = 5 + 6 + 3i + i = 11 + 4i

I wsio. Zabawa zaczyna się przy mnożeniu.

b) pomnóż przez siebie te same liczby.

I tutaj również nie ma wielkiej filozofii. Wymnażamy nawiasy tak, jak Bóg nakazał (każdy

element pierwszego nawiasu z każdym elementem drugiego), czyli:

z3 = z1 * z2 = (5 + 3i) * (6 + i)

(5 + 3i) * (6 + i) = 30 + 5i + 18i + 3i 2 = 30 + 23i + 3i 2

pamiętamy, że i 2 = (– 1), więc:

30 + 23i + 3i 2 = 30 + 23i + 3 * (-1) = 30 + 23 i – 3 = 27 + 23 i

To jest nasz ostateczny wynik. Dobrze, dobrze... ale nie beznadziejnie.

2. Liczba zespolona – sprzężenie, moduł

Liczba zespolona ma takie swoje dwie charakterystyczne, wypluj to słowo, funkcje.

Pierwsza z nich to:

Re(z)

Oraz druga:

Im(z)

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Algebra liniowa/Liczby zespolone

4/16

Funkcja Re(z) ma taką specyfikację (sygnaturę):

Re: C R

gdzie C oznacza zbiór liczb zespolonych, a R – zbiór liczb rzeczywistych.

Co robi ta funkcja? Wrzucamy do niej liczbę zespoloną, a ona w zamian „wypluwa” nam to,

co jest w niej częścią rzeczywistą.

Na przykład, mamy liczbę 3 + 2i. Funkcja Re(3 + 2i) wypluje nam po prostu liczbę 3.

Podobnie przy -10 + 25i funkcja Re(-10 + 25i) wypluje nam -10.

Funkcja Im(z) ma taką specyfikację:

Im: C R

gdzie C oznacza zbiór liczb zespolonych, a R – zbiór liczb rzeczywistych.

Można się domyślić. Wrzucamy do funkcji liczbę zespoloną, a w zamian dostajemy to, co

stoi przy części urojonej. Czyli po prostu to, co stoi przy liczbie i. Kilka już czystych

przykładzików:

Im(3 + 2i) = 2

Im(-10 + 25i) = 25

Jeżeli nie chcecie, by coś złego wylazło z tej ściągi, nie czytajcie tego akapitu. Ponieważ

zbiór liczb zespolonych jest nadzbiorem liczb rzeczywistych (liczby rzeczywiste „mieszczą” się w

zbiorze liczb zespolonych), więc w powyższe funkcje możemy wrzucać nawet liczby rzeczywiste

(fani teorii mnogości się ucieszą, a szaleni programiści się nieludzko uśmiechną, widząc zatajony

polimorfizm).

Pierwszy nietypowy przykład:

Re(i)

Co zrobić z takim fantem? Jak do rozgłośni radiowej w Toruniu możemy wysyłać kwoty

bliskie zeru (i tym samym narażać rozgłośnię na koszty transportu), to i tutaj dodajmy sobie zero:

Re( 0 + i )

No co? Przecież to normalna, spokojna, miła i cicha liczba zespolona z = 0 + i. Czyli, jak się

domyślacie, wynik brzmi:

Re( 0 + i ) = 0

Tak na marginesie, liczbę, która nie ma nic rzeczywistego, a tylko jakieś śmieci przy i ,

nazywamy liczbą czysto urojoną . Co oddaje dobrze atmosferę tej całej, błe, algebry.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Algebra liniowa/Liczby zespolone

5/16

Analogicznie wygląda sprawa z takim przypadkiem:

Im(666)

Ponownie, powyższą liczbę rzeczywistą:

666

zapiszę sobie w postaci liczby zespolonej (nic tu, broń Boże nie zmieniam, więc mogę):

666 + 0 * i

Czyli:

Im (666) = Im(666 + 0 * i) = 0

Liczba zespolona ma też takie cudo, jak sprzężenie, które fachowo się tak zapisuje:

Jeżeli z = a  bi   z = a − bi

Liczba sprzężona do danej liczby zespolonej jest po prostu jakąś tam liczbą zespoloną, która

ma tylko zmieniony znaczek przy i . Na przykład:

z =58 i

to:

 z =5−8 i

A jeżeli:

z =5−8 i

to:

 z =58 i

Zboczeńcy, znający algebrę Boola, ucieszą się z tych kreseczek nad literą z, bo, jak widać,

podwójne sprzężenie, niczym podwójna negacja... tak – chuja robi. A sama znajomość znajdowania

liczb sprzężonych do danej (jak widać – nie jest to specjalnie trudne) będzie przydatna przy

znajdowaniu pierwiastków równania, korzystając z ogólnego twierdzenia algebry... cokolwiek to

znaczy.

Teraz przechodzimy niemal do „meritum” liczb zespolonych, czyli – modułu z liczby

zespolonej, co prowadzi w konsekwencji do raka płuc, impotencji i postaci trygonometrycznej.

Moduł liczby zespolonej liczymy z takiego wzorku:

∣ z ∣=  x 2  y 2

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: