Probabilistyka i Statystyka.pdf

(229 KB) Pobierz
Probabilistyka i Statystyka
Probabilistyka i Statystyka
mgr inż. Krzysztof Świder
e-mail: kswid@wp.pl
Kombinatoryka
Wariacja bez powtórzeń
Wariacją (rozmieszczeniem) bez powtórzeń z n elementów po k elementów nazywamy
uporządkowany zbiór składający się z k różnych elementów , wybranych z pośród n różnych
elementów.
Liczbę wariacji bez powtórzeń z n elementów po k oznaczamy symbolem k n V i obliczamy ze
wzoru:
n
V nk
k
=
!
n
(
-
)
!
Zadanie 1 Ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek z sześciu barw?
Rozwiązanie:
1. Tworzymy zbiory trójelementowe ze zbioru 6 – elementowego
2. Kolejność układu barw w chorągwi odgrywa rolę
3. Chorągiewki mają być trójkolorowe, a więc w tworzonych zbiorach elementy nie
mogą się powtarzać.
Z 1, 2, 3 wnioskujemy, że tyle jest różnych trójkolorowych chorągiewek, ile jest różnych
wariancji bez powtórzeń z 6 elementów po 3, tj.
V =
3
6!
=
120
-
Zadanie 2 Obliczyć, ile jest liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza się żadna cyfra i
zero nie występuje na pierwszym miejscu.
Rozwiązanie:
1. tworzymy zbiory czteroelementowe ze zbioru 10 – elementowego
2. cyfry w liczbach nie mogą się powtarzać
3. pierwsza liczba musi być różna od zera
6
(
6 3 !
)
VV
4
-
9 4536
3
=
lub alternatywnie
V V
4
-
1
4
=
4536
10
10
10
10
Zadanie 3 Ile można utworzyć liczb parzystych czterocyfrowych o nie powtarzających się
cyfrach i przy założeniu, że zero nie występuje na pierwszym miejscu
Rozwiązanie:
1. liczba jest parzysta, jeśli kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6, 8.
2. Pozostałe dziewięć cyfr rozmieszczamy na trzech pierwszych pozycjach
3. należy wyeliminować przypadki z zerem na początku
5
VV
3
-
4
2
=
2296
10
8
Wariacje z powtórzeniami
1
246195629.008.png 246195629.009.png
Wariacją (rozmieszczeniem) z powtórzeniami z n elementów po k nazywamy uporządkowany
zbiór składający się z k elementów różnych lub nie różniących się między sobą, wybranych
spośród n różnych elementów.
n Vn
k k
Zadanie 4 Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 4, 5, 6?
Rozwiązanie:
1. Tworzymy zbiory 5-elemntowe ze zbioru trójelementowego
2. W tworzonych zbiorach kolejność odgrywa rolę (liczby są uporządkowanymi
zbiorami cyfr)
3. Cyfry w danej liczbie mogą się powtarzać
V =
3 3 243
5
=
Zadanie 5 Sześć osób ma do dyspozycji 5 różnokolorowych kieliszków i 2 różne gatunki
win. Iloma sposobami mogą się napić?
Rozwiązanie:
1. Kieliszki są różnokolorowe i jednej osobie dajemy nie więcej niż jeden kieliszek
2. Przy każdym ustawieniu 5 kieliszków można do nich nalać dwa gatunki win
·
ten sam gatunek wina z konieczności powtórzy się w różnych kieliszkach
·
jest istotne, jakie wino do jakiego kieliszka jest nalewane, tzn. nie można brać
pod uwagę tylko liczby kieliszków napełnionych danym gatunkiem wina
VV
5
×
2 720 32
5
=
×
6
Permutacje bez powtórzeń
Zbiór składający się z n elementów uporządkowanych i różnych nazywamy permutacją
(przemianą) bez powtórzeń z n elementów. Liczbę utworzonych w ten sposób zbiorów
oznaczamy symbolem P n i wyrażamy wzorem
n Pn
=
!
Zadanie 6 W urnie są 3 kule o numerach 1, 2, 3. Wyciągamy kolejno trzy kule i notujemy ich
numery według kolejności wyciągnięcia. Ile można tym sposobem otrzymać różnych liczb?
3! 6
n P = =
Zadanie 7 Ile jest permutacji liczb 1, 2, …., n , w których
1. liczby 1, 2 nie sąsiadują ze sobą;
2. liczby 1, 2, 3 nie tworzą kolejnych wyrazów (niezależnie od porządku)?
=
Liczba permutacji z n – 2, gdy dwa pierwsze są ustalone:
(
n Pn
- = -
Gdy na drugim miejscu wystąpi jedynka, a na trzecim dwójka, wtedy
(
n P n
2
2 !
)
- = -
Wszystkich permutacji z n elementów, gdy 1 i 2 sąsiadują ze sobą w kolejności 1 ,2 jest
n P n
2
2 !
)
2
=
5
Rozwiązanie
1. Liczba wszystkich możliwych permutacji z n elementów
!
246195629.010.png
- = - - = -
Analogicznie, wszystkich permutacji z n elementów, gdy 1 i 2 sąsiadują ze sobą w kolejności
2, 1, jest
(
nP n n n
-
)
n
2
(
1
) (
2 !
) (
1 !
)
(
)
(
) (
) (
)
- = - - = -
Zatem wszystkich permutacji z n elementów , w których liczby 1, 2 sąsiadują ze sobą, jest
(
nP n n n
n
-
2
1
2 !
1 !
2
n -
1 !
)
Stąd rozwiązanie
n n - -
2. Liczba permutacji, w których elementy 1, 2, 3 są ustawione w kolejności 1, 2, 3:
(
! 2
(
1 !
)
- - = -
Liczba permutacji z trzech liczb jest równa 3!, a zatem
(
n n n
2
) (
3 !
) (
2 !
)
n n
! 3!
-
-
2 !
)
Kombinacje bez powtórzeń
Kombinacją bez powtórzeń z n elementów po k nazywamy zbiór składający się z k różnych
elementów wybranych spośród n różnych elementów, przy czym obojętne jest, w jakim
porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone
n n
C k knk
k
n
=
ç ÷
ö
=
!
čř
Zadanie 8 Ile nastąpi powitań, gdy jednocześnie spotka się 6 znajomych?
Rozwiązanie:
1. n = 6 jest liczbą wszystkich osób, k = 2 jest liczbą osób, które jednocześnie podają
sobie ręce
2. zakładamy, że porządek przy witaniu się dwóch osób nie odgrywa roli
!
(
-
)
!
2 C ö
2
6
=
ç ÷
čř
6
=
15
Zadanie 9 Dana jest grupa elementów ABCD oraz grupa elementów x, y, z. Tworzymy
kombinacje po pięć elementów w ten sposób, że trzy elementy wybieramy z pierwszej grupy i
dwa z drugiej grupy. Obliczyć, ile takich kombinacji można utworzyć?
Rozwiązanie:
1. Z czterech elementów A, B, C, D można utworzyć
4 4
kombinacje po trzy
C = kombinacje po 2 elementy
3. ponieważ każda kombinacja pierwszej grupy łączona jest z każdą kombinacją drugiej
grupy, więc ogólna liczba kombinacji równa się iloczynowi liczby kombinacji
pierwszej grupy przez liczbę drugiej: 3
3 3
CC
×
3 12
2
=
4
Zadanie 10 Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, by ba
pierwszej półce znajdowało się cześć książek, na drugiej cztery ksiązki, a na trzeciej reszta?
6
CCC
× ×
4
2 13860
2
=
12
6
Prawdopodobieństwo
3
1
1
ć
ć
3
C =
elementy
2. Z trzech elementów x, y, z można utworzyć
2
Prawdopodobieństwem nazywamy stosunek mocy zbioru zdarzeń sprzyjających do mocy
przestrzeni zdarzeń elementarnych, czyli:
AP )
(
=
A
W
Zadanie 11 Dziecko ma ustawić na półce 10 książek w identycznych oprawach. Wśród nich
są 3 kryminały, a resztę stanowią bajki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy losowym
ustawieniu książek, kryminały będą stały jako pierwsze.
P
A – zbiór zdarzeń sprzyjających, polegających na tym, że kryminały zostaną ustawione jako
„pierwsze” (cały zbiór został podzielo ny na dwa: 3 i 7-mio elementowy).
7
=
10
=
10
!
A
= P
P
3
7
=
3
×
P
(
A
)
=
3
×
7
=
1
×
2
×
3
=
1
10
!
8
×
9
×
10
120
Zadanie 12 Osiem osób, wśród których są koledzy Jacek(J) i Marek(M) ustawia się w kolejce
do kasy w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że koledzy staną obok
siebie.
Rozwiązanie:
Ω – przestrzeń zdarzeń elementarnych, polegających na losowym ustawieniu się 8-miu osób
w kolejce (ciąg 8-mio elementowy).
W P
A – zbiór zdarzeń sprzyjających, polegających na tym, że koledzy J i M staną obok siebie.
Uwaga: Zadanie jest zbliżone do poprzedniego, lecz należy wziąć poprawkę na możliwość
zmiany pozycji kolegów. Spróbujmy to zilustrować:
J,M,-,-,-,-,-,-,
-,J,M,-,-,-,-,-,
itd. aż do końca. Możliwości jest 7 , a więc:
8
=
8
A
= P
P
2
6
×
7
=
2
×
6
×
7
=
2
×
7
P
(
A
)
=
2
×
7
=
1
8
4
1 losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez
zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza wylosowana liczba będzie
parzysta, a druga nieparzysta.
{
2
4
Rozwiązanie:
Ω – przestrzeń zdarzeń elementarnych, polegających na wylosowaniu (kolejno) dwóch liczb.
4
Rozwiązanie:
Ω – przestrzeń zdarzeń elementarnych, polegających na tym, że dziecko ustawi 10 książek na
półce (ciąg złożony z 10-ciu elementów – bezsprzecznie jest to permutacja).
W
Zadanie 13 Ze zbioru liczb
246195629.011.png 246195629.001.png 246195629.002.png 246195629.003.png
W V
2
7
=
7
=
42
5
A – zbiór zdarzeń sprzyjających, polegających na tym, że pierwsza wylosowana liczba będzie
parzysta, a druga nieparzysta.
A
= V
V
1
3
1
4
=
3
×
4
=
3
×
4
=
12
2
3
P
(
A
)
=
12
=
2
42
7
1 losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie i tworzymy w
ten sposób liczbę trzycyfrową zaczynając od cyfry setek. Oblicz prawdopodobieństwo
utworzenia liczby większej od 473.
{
2
;.....;
9
Rozwiązanie:
Ω – przestrzeń zdarzeń elementarnych, polegających na tym, że w wyniku trzech kolejnych
losowań utworzymy liczbę trzycyfro w ą.
W V
3
9
=
9
=
7
×
8
×
9
6
A – zbiór zdarzeń sprzyjających, polegających na wylosowaniu liczby większej od 473.
Uwaga: Jak widać zadanie jest zbliżone do poprzedniego, jednakże rozumowanie musi być
bardziej drobiazgowe, przy pomocy „pewniaków”:pierwsza cyfra większa od 4, a dwie
następne dowolne lub pierwsza 4, druga większa od 7, a trzecia dowolna lub pierwsza 4,
dr uga 7, a trzecia większa od 3 (pamiętając, że dwie takie cyfry zostały wylosowane).
298
A
=
V
1
5
×
V
2
8
+
V
1
1
×
V
1
2
×
V
1
7
+
V
1
1
×
V
1
1
×
V
1
4
=
5
×
7
×
8
+
1
×
2
×
7
+
1
×
1
×
4
=
AP .
(
)
=
298
=
149
7
×
8
×
9
252
Zadanie 15 Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry i zapisujemy cyfry tworząc liczby
dwucyfrowe. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby parzystej.
Rozwiązanie:
Ω – przestrzeń zdarzeń elementarnych polegających na utworzeniu liczby dwucyfrowej,
powstałej z zanotowania cyfr wyrzuconych kostką.
Uwaga: Wielokrotny rzut kostką, bądź jednorazowo wieloma kostkami, to zawsze wariacja z
powtórzeniami wielokrotna, ze zbioru 6 – ele mentowego.
36
W V
2
6
=
6 2
=
A – zbiór zdarzeń sprzyjających, p ol eg aj ąc yc h na utworzeniu dwucyfrowej liczby parzystej.
18
A
= V
V
1
6
1
3
=
6
1
×
3
1
=
P
(
A
)
=
18
=
1
36
2
Zadanie 16 Z pojemnika, w którym znajdują się dwie kule białe i cztery czarne, losujemy
trzy razy jedną kulę, zwracając ją po każdym losowaniu do pojemnika. Oblicz
prawdopodobieństwo, że kulę białą wylosujemy co najmniej raz.
5
Zadanie 14 Ze zbioru
246195629.004.png 246195629.005.png 246195629.006.png 246195629.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin