Rozdział 10
Liczby zespolone
W rozdziale tym przedstawimy liczby zespolone i ich podstawowe własności.
W zbiorze liczb rzeczywistych , jak wiemy, równanie nie posiada rozwiązania. Zbiór można jednak rozszerzyć i utworzyć nowy zbiór , w którym istnieje taka liczba, która jest rozwiązaniem równania . Liczbę tę nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy symbolem . Jednostka urojona pomnożona przez dowolną liczbę rzeczywistą tworzy następne liczby urojone.
Liczbę łączymy z liczbami rzeczywistymi, otrzymując liczby postaci (gdzie ), które nazywamy liczbami zespolonymi (w postaci algebraicznej). Do elementów tego nowego zbioru stosują się zwykłe własności czterech podstawowych działań (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności, w zbiorze liczb zespolonych obowiązują także wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, czy wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
10.1. Postać algebraiczna
Zadanie 1
Wykonać poniższe działania:
a) , b) ,
c) , d) .
Rozwiązanie
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej , pamiętając o warunku .
Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną (gdzie ), należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę , aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.
Ad a)
Mamy
.
Ad b)
Ad c)
Ad d)
Zadanie 2
Wyznaczyć oraz , jeżeli .
Jeżeli liczba zespolona dana jest w postaci (gdzie ), to liczbę nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej , co zapisujemy , zaś liczbę jej częścią urojoną, co zapisujemy .
Należy więc daną liczbę zespoloną zapisać w postaci algebraicznej:
Stąd otrzymujemy, że , .
Zadanie 3
Znaleźć liczby rzeczywiste spełniające równanie
Mamy tutaj
Dwie liczby zespolone w postaci algebraicznej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe ich części rzeczywiste i urojone.
Porównując więc części rzeczywiste i urojone obu stron powyższego równania otrzymamy układ równań
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb , .
Zatem liczbami spełniającymi równanie są:
, .
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb spełniających podane warunki:
a) b) .
Liczby zespolone postaci (gdzie ) interpretujemy jako punkty płaszczyzny (płaszczyzna zespolona).
Niech więc , gdzie , będzie dowolną liczbą zespoloną.
Wówczas
Poszukiwany zbiór jest półpłaszczyzną (otwartą), bez prostej , przedstawioną na poniższym rysunku.
Niech , gdzie , będzie dowolną liczbą zespoloną.
Wtedy
Szukany zbiór jest przedstawiony na poniższym rysunku.
Zadanie 4
W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:
a) , b) .
Niech , gdzie . Liczbę postaci nazywamy sprzężeniem liczby .
Jeżeli teraz podstawimy do lewej strony danego równania oraz , to przybierze ona postać:
Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania:
otrzymamy układ równań
,
którego rozwiązaniem jest para liczb , .
Zatem równanie
ma rozwiązanie
Metoda 1
Wyrażenie sprowadzamy najpierw do postaci kanonicznej, a następnie zapisujemy jako różnicę kwadratów.
Mamy wtedy
Stąd
lub ,
więc
Metoda 2
Stosujemy tradycyjny sposób rozwiązywania równań kwadratowych. Wykorzystamy więc poniższe wzory na pierwiastki równania kwadratowego (gdzie ):
We wzorach tych liczba jest jedną z liczb zespolonych spełniających warunek .
Dla równania
obliczamy .
Zatem
Zadanie 5
Korzystając z definicji pierwiastka obliczyć .
Dla dowolnej liczby naturalnej pierwiastkiem stopnia z liczby zespolonej nazywamy liczbę zespoloną w spełniającą równość Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej oznaczamy przez
Niech (gdzie ) będzie szukanym pierwiastkiem.
Z definicji pierwiastka mamy
a po skorzystaniu z własności równości dwóch liczb zespolonych otrzymujemy układ równań:
Z drugiego równania tego układu wyznaczamy (dla ).
Wykorzystując tą zależność w pierwszym równaniu układu dostajemy
Otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez .
Aby rozwiązać otrzymane równanie dwukwadratowe podstawiamy , co daje równanie:
Ponieważ więc .
Stąd oraz . Pierwsza równość daje równanie
, które nie posiada pierwiastków .
Druga, daje równanie
, które posiada dwa rozwiązania rzeczywiste , .
Rozwiązaniem powyższego układu są więc pary liczb:
=.
ZADANIA
1. Wykonać podane działania:
a) , b) , c) ,
d) , e) , f) .
2. Wyznaczyć oraz jeżeli:
a) , b) , c) .
3. Obliczyć , jeżeli:
4. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:
c) ,...
bartas618