Rozdzial 10.doc

Rozdział 10

Liczby zespolone

W rozdziale tym przedstawimy liczby zespolone i ich podstawowe własności.

W zbiorze liczb rzeczywistych , jak wiemy, równanie nie posiada rozwiązania. Zbiór można jednak rozszerzyć i utworzyć nowy zbiór , w którym istnieje taka liczba, która jest rozwiązaniem równania . Liczbę tę nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy symbolem . Jednostka urojona pomnożona przez dowolną liczbę rzeczywistą   tworzy następne liczby urojone.

Liczbę łączymy z liczbami rzeczywistymi, otrzymując liczby postaci (gdzie ), które nazywamy liczbami zespolonymi (w postaci algebraicznej). Do elementów tego nowego zbioru stosują się zwykłe własności czterech podstawowych działań (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności, w zbiorze liczb zespolonych obowiązują także wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, czy wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

10.1. Postać algebraiczna

Zadanie 1

Wykonać poniższe działania:

a) ,               b) ,

c) ,              d) .

Rozwiązanie

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej , pamiętając o warunku .

Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną (gdzie ), należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę , aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.

Ad a)

Mamy

.

Ad b)

.

Ad c)

Ad d)

Zadanie 2

Wyznaczyć oraz , jeżeli .

Rozwiązanie

Jeżeli liczba zespolona dana jest w postaci (gdzie ), to liczbę nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej , co zapisujemy , zaś liczbę jej częścią urojoną, co zapisujemy .

Należy więc daną liczbę zespoloną zapisać w postaci algebraicznej:

Stąd otrzymujemy, że , .

Zadanie 3

Znaleźć liczby rzeczywiste spełniające równanie

Rozwiązanie

Mamy tutaj

.

Dwie liczby zespolone w postaci algebraicznej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe ich części rzeczywiste i urojone.

Porównując więc części rzeczywiste i urojone obu stron powyższego równania otrzymamy układ równań

.

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb , .

Zatem liczbami spełniającymi równanie                            są:

, .

Zadanie 3

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb spełniających podane warunki:

a)               b) .

Rozwiązanie

Ad a)

Liczby zespolone postaci (gdzie ) interpretujemy jako punkty płaszczyzny (płaszczyzna zespolona).

Niech więc , gdzie , będzie dowolną liczbą zespoloną.

Wówczas

Poszukiwany zbiór jest półpłaszczyzną (otwartą), bez prostej , przedstawioną na poniższym rysunku.

Ad b)

Niech , gdzie , będzie dowolną liczbą zespoloną.

Wtedy

Szukany zbiór jest przedstawiony na poniższym rysunku.

Zadanie 4

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:

a) ,              b) .

Rozwiązanie

Ad a)

Niech , gdzie . Liczbę postaci nazywamy sprzężeniem liczby .

Jeżeli teraz podstawimy do lewej strony danego równania              oraz , to przybierze ona postać:

.

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania:

otrzymamy układ równań

,

którego rozwiązaniem jest para liczb , .

Zatem równanie

ma rozwiązanie

.

Ad b)

Metoda 1

Wyrażenie sprowadzamy najpierw do postaci kanonicznej, a następnie zapisujemy jako różnicę kwadratów.

Mamy wtedy

.

Stąd

lub ,

więc

,              .

Metoda 2

Stosujemy tradycyjny sposób rozwiązywania równań kwadratowych. Wykorzystamy więc poniższe wzory na pierwiastki równania kwadratowego (gdzie ):

                                          .

We wzorach tych liczba jest jedną z liczb zespolonych spełniających warunek .

Dla równania

obliczamy .

Zatem

              .

Zadanie 5

Korzystając z definicji pierwiastka obliczyć .

Rozwiązanie

Dla dowolnej liczby naturalnej pierwiastkiem stopnia z liczby zespolonej nazywamy liczbę zespoloną w spełniającą równość Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej oznaczamy przez

Niech (gdzie ) będzie szukanym pierwiastkiem.

Z definicji pierwiastka mamy

.

Stąd

,

a po skorzystaniu z własności równości dwóch liczb zespolonych otrzymujemy układ równań:

.

Z drugiego równania tego układu wyznaczamy   (dla ).

Wykorzystując tą zależność w pierwszym równaniu układu dostajemy

.

Otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez .

Mamy wtedy

.

Aby rozwiązać otrzymane równanie dwukwadratowe podstawiamy , co daje równanie:

.

Ponieważ więc .

Stąd oraz . Pierwsza równość daje równanie

,              które nie posiada pierwiastków .

Druga, daje równanie

,              które posiada dwa rozwiązania rzeczywiste , .

Rozwiązaniem powyższego układu są więc pary liczb:

Zatem

=.

ZADANIA

1. Wykonać podane działania:

a) ,              b) ,              c) ,

d) ,              e) ,               f) .

2. Wyznaczyć oraz jeżeli:

a) ,               b) ,              c) .

3. Obliczyć , jeżeli:

a) ,                            b) ,                            c) .

4. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:

a) ,                             b) ,              

c) ,...