Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych zawierających rezystor, kondensator oraz cewkę indukcyjną.
Program ćwiczenia.
I. Wiadomości ogólne
1. Wstęp
2. Obwody RC
2.1. Włączenie napięcia stałego
2.2. Rozładowanie kondensatora
2.3. Włączenie napięcia sinusoidalnego
3. Obwody RL
3.1. Włączenie napięcia stałego
3.2. Zwarcie przez cewkę
3.3. Włączenie napięcia sinusoidalnego
4. Obwody RLC
4.1. Włączenie napięcia stałego
4.1.1. Obwody aperiodyczne
4.1.2. Obwody aperiodyczne krytyczne
4.1.3. Obwody oscylacyjne
4.2. Włączenie napięcia sinusoidalnego
II. Wykonanie ćwiczenia.
1. Opis badanego układu
2. Badanie stanów nieustalonych w obwodach RC
3. Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL
4. Badanie stanów nieustalonych w obwodach RLC
4.1. Włączenie i wyłączenie napięcia stałego w obwodzie aperiodycznym
4.2. Włączenie i wyłączenie napięcia stałego w obwodzie oscylacyjnym
5. Zestawienie wyników
III. Wnioski i uwagi.
Cechą charakterystyczną zjawisk w obwodach elektrycznych jest narzucenie zmienności czasowej prądów i napięć.
W przypadku generatorów prądu stałego, napięcia i prądy w obwodach są wielkościami stałymi, a w przypadku generatorów prądu sinusoidalnego, napięcia i prądy zmieniają się sinusoidalnie. Tego rodzaju stan obwodów nazywa się ustalonym lub stacjonarnym.
W obwodach elektrycznych spotyka się ponadto zjawiska spowodowane zmianą dokonaną w obwodzie, jak na przykład włączeniem źródła energii do obwodu, czy zwarciem części obwodu. Zjawiska te zostały nazwane stanami nieustalonymi lub przejściowymi. Ogólnie stany nieustalone definiujemy jako procesy fizyczne zachodzące przy przejściu obwodu elektrycznego z jednego do drugiego stanu ustalonego. W wielu przypadkach stany nieustalone są zjawiskami niepożądanymi. Na przykład niepożądane są zjawiska przejściowe występujące przy zwarciach i przy włączaniu napięć w obwodach elektrycznych.
W innych przypadkach stany nieustalone są normalnym stanem pracy urządzeń, np. układy automatycznej regulacji.
Przy analizie stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych napięcie u oraz prąd i przedstawia się w postaci sumy dwóch składników, a mianowicie
u=uu+up (1) i=iu+ip. (2)
Wielkości uu i iu są składowymi ustalonymi napięcia i prądu, natomiast up i ip odpowiednio składowymi przejściowymi tych wielkości.
Każde zakłócenie układu powoduje stan nieustalony. Układ fizyczny nazywamy stabilnym, gdy po zakłóceniu powraca do stanu równowagi. Gdy układ jest stabilny, wówczas stany przejściowe zanikają po upływie dostatecznie długiego czasu. Wobec tego, w układzie stabilnym składowe przejściowe zanikają wraz z upływem czasu, czyli
oraz , gdy .
Wynika z tego, że w układach stabilnych
oraz , gdy ,
czyli, po upływie dostatecznego czasu wytwarza się w układzie stan ustalony.
Teoretycznie stan przejściowy trwa nieskończenie długo, jednak praktycznie po upływie dostatecznie długiego czasu obwód osiąga stan ustalony.
Dla ułatwienia analizy stanów nieustalonych zakłada się, że zakłócenie będące źródłem stanu nieustalonego wystąpiło w chwili t=0. Jest to stan początkowy.
Wartości zmiennych w stanie początkowym nazywamy warunkami początkowymi.
Istotnymi cechami układów elektrycznych zawierających elementy R, L i C,
są dwa warunki wynikające z zasady zachowania energii (warunki ciągłości prądu w cewce i napięcia na kondensatorze):
1) prąd w cewce musi zmieniać się w sposób ciągły; gdyby zmieniał się w sposób skokowy, to w cewce indukowałoby się nieskończenie wielkie napięcie wynikające ze wzoru (28), co jest niemożliwe,
2) napięcie na kondensatorze musi zmieniać się w sposób ciągły; gdyby zmieniało się w sposób skokowy, to przez kondensator płynąłby nieskończenie wielki prąd określony wzorem (6), co jest niemożliwe.
Warunki te można zapisać następująco:
ad 1) i(0-)=i(0)=i(0+) (3)
ad 2) uC(0-)=uC(0)=uC(0+) (4)
gdzie i(0-) i i(0+) oznaczają odpowiednio lewostronną i prawostronną granicę funkcji i(t) w czasie t=0, zaś uC(0-) i uC(0+) oznaczają odpowiednio lewostronną i prawostronną granicę funkcji uC(t) w czasie t=0.
Rozpatrując stan obwodu bezpośrednio przed chwilą t=0, w której nastąpiło zakłócenie, wyznaczamy prąd i(0-) w cewce i napięcie uC(0-) na kondensatorze.
Wartości początkowe i(0), uC(0) równają się wartościom i(0-), uC(0-).
Rozpatrując wszystkie cewki i kondensatory w obwodzie otrzymuje się wystarczającą liczbę warunków początkowych, konieczną do rozwiązania równań różniczkowych.
Rys.1. Połączenie szeregowe elementów R,C.
Napięcie na zaciskach szeregowego połączenia elementów R,C (rys.1) wyraża się wzorem :
(5)
przy czym i - natężenie prądu w obwodzie, u - napięcie zasilania układu,
uc - napięcie na kondensatorze, R - rezystancja obwodu.
Podstawiając do powyższego wzoru wyrażenie na natężenie prądu w kondensatorze:
(6)
otrzymujemy równanie różniczkowe :
(7)
Równanie różniczkowe uproszczone wyraża się wzorem :
(8)
Rozwiązaniem ogólnym powyższego równania uproszczonego jest równanie
nazywane wzorem HELMHOLTZA:
(9)
przy czym A - stała dowolna, a t = RC jest stałą czasową obwodu RC.
Odwrotność stałej czasowej t, nazywamy stałą tłumienia a= 1/RC.
Rys.2. Przebieg napięcia przejściowego na kondensatorze
w połączeniu szeregowym elementów R,C.
Stała czasowa równa podstycznej OB, charakteryzuje prędkość zmniejszania się składowej przejściowej uCp (rys.2). Stała czasowa t jest to czas, po upływie którego napięcie uCp osiągnęłoby wartość równą zeru, gdyby prędkość jego zmniejszania była stała i równa prędkości w chwili t=0, czyli .
Gdy stała czasowa jest mała (tłumienie duże), wówczas krzywa wykładnicza jest stroma, wobec czego napięcie uCp szybko maleje.
Jeśli natomiast stała czasowa jest duża (tłumienie małe), wówczas krzywa wykładnicza jest płaska, więc napięcie uCp maleje stosunkowo powoli.
Rys.3. Schemat układu ładowania kondensatora napięciem stałym.
Rys.4. Przebieg napięcia na kondensatorze w układzie z rys.3.
Zamykając w chwili t=0 wyłącznik, zostaje załączone do obwodu (rys.3)
napięcie stałe.
Po upływie dostatecznego czasu, kondensator C naładuje się do napięcia U, wobec czego napięcie ustalone uCu=U. Zgodnie ze wzorem (1) i (9) otrzymujemy zależność na wartość chwilową napięcia na kondensatorze:
(10)
przy czym stałą czasową rozpatrywanego obwodu jest t = RC.
Zakładając, że przed zamknięciem wyłącznika kondensator C był nienaładowany, mamy uC(0-)=0...
Kaacha91