Wyznaczanie przyśpieszenia punktu.pdf

(130 KB) Pobierz
Przykład 1
Przykład 1.2. Wyznaczanie przyśpieszenia punktu
Punkt M porusza się po torze parabolicznym o równaniu y = kx 2 ze stałą prędkością V o .
Znaleźć przyśpieszenie tego punktu w funkcji jego położenia.
ROZWIĄZANIE
Zilustrujmy treść zadania na rysunku 2.A.
y
M
V M
y M
α
x M
x
rys 2.A
Wektor prędkości punktu jest w każdej chwili styczny do toru. Znając równanie
t ra jektorii można więc określić kierunek stycznej do paraboli i tym samym kierunek wektora
V M . Oznaczając jako α kąt nachylenia stycznej do toru (rys. 2.A) mamy
tg
α=
d
dx
( )
yx
() 2 .
=
kx
Przez kąt α można wyrazić składowe wektora prędkości punktu M jako
VV
VV
Mx
=
=
M
cos
sin
α
α
My
M
Wykorzystując zależności trygonometryczne
cos α
=
1
, sin α
=
tg
α
,
2
2
1
+
tg
α
1
+
tg
α
otrzymujemy
VV
=
1
14 22 ,
VV
=
2
14 22 .
kx
⋅
Mx
o
My
o
+
kx
+
kx
Wyznaczone składowe wektora prędkości pozwalają określić składowe wektora
przyśpieszenia. Wykorzystując reguły różniczkowania funkcji złożonej otrzymujemy
1
234437517.002.png 234437517.003.png
a
=
d
( )
V
=
dV
Mx
⋅
dx
=
dV
Mx
⋅
V
=
Mx
dt
Mx
dx
dt
dx
Mx
8
kx
2
V
4
kx
2
=−
V
⋅
o
=−
V
2
,
o
( )
22 3
2 2
o
( )
22 2
14
+
kx
14
+
kx
214
+
kx
a
=
d
( )
V
=
dV
My
⋅
dx
=
dV
My
⋅
V
=
V
2
2
k
My
dt
My
dx
dt
dx
My
o
( ) 2
2
2
1
+
4
k
x
Określenie długości wektora przyśpieszenia punktu M sprowadza się teraz do obliczenia
sumy geometrycznej składowych
a
Mx
,
a
My
a
= + =
a
2
a
2
V
2
2
k
.
M
Mx
My
o
( )
22 3
14
+
kx
Kąt β nachylenia wektora przyśpieszenia do osi x określony jest związkiem
tg
β= = −
a
a
Mx
2 x .
1
k
My
Ponieważ tg
β
=− ⇒ + =
1
αβ π
. Oznacza to, że wektor przyśpieszenia jest
tg
α
2
prostopadły do wektora prędkości.
Kierunek wektora przyśpieszenia można określić także w inny sposób. Całkowite
przyśpieszenie punktu poruszającego się ze stałą co wartości prędkością jest równe
przyśpieszeniu normalnemu, czyli jest skierowane prostopadle do kierunku ruchu.
2
234437517.004.png 234437517.005.png 234437517.001.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin