całkowanie.doc

1.     Całkowanie przez części

2.     Całkowanie funkcji wymiernych

3.     Całkowanie funkcji niewymiernych

4.      Podstawienie Eulera

Całkowanie przez części

Założenie: f,g mają ciągłe pochodne w pewnym przedziale A
Teza: dla xÎ A
Dowód:


1 - typ
Jeżeli pod całką występuje iloczyn wielomianu i funkcji ax lub cosx lub sinx, to całkujemy przez części tak, aby obniżyć stopień wielomianu

Przykład 4.1


2 - typ
Jeżeli pod całką występuje iloczyn wielomianu i jednej z funkcji: lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, to postępujemy, jak w poniższym przykładzie.

Przykład 4.2

Obliczenia pomocnicze:


3 - typ
Jeżeli pod całką występuje iloczyn funkcji wykładniczej i funkcji sinx lub cosx, to postępujemy jak w poniższym przykładzie.

Przykład 4.3



Całkowanie funkcji wymiernych

 

·         Jeżeli n ł m to :
 

·         Jeżeli n < m to mianownik rozkładam na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego :
 

·         Kolejnym etapem jest wyznaczenie współczynników A, B i C
Potem całkujemy ułamki proste

Całkowanie ułamków prostych I rodzaju.

Dla k=1 :    
Dla k>1 :    

Całkowanie ułamków prostych II rodzaju.

Przykład 4.4
Dla l=1 :       rozbijamy na sumę

obliczenie I1:



Przykład 4.5
Dla l>1 :        (postępujemy analogicznie, jak dla l=1)


całkę obliczamy stosując wzór rekurencyjny.

Wyprowadzenie wzoru rekurencyjnego


Obliczamy g

Powyższy wzór będziemy stosować, obniżając stopień aż do n-1=1.

Przykład 4.6

Obliczam I1. Funkcję podcałkową rozkładam na ułamki proste:

Porównuję współczynniki przy odpowiednich potęgach:
x2 :     A+C=0
x1 :     A+B=0
x0 :     B=1
stąd: A=-1, B=1, C=1.

ostatecznie



Metoda przysłaniania (zasłaniania)

Stosujemy ją w szczególnych przypadkach, gdy mianownik jest iloczynem wielomianów stopnia pierwszego (patrz przykład 4.7)

Przykład 4.7.

licząc A, mnożymy obustronnie przez (x-1)

Powyższa tożsamość jest prawdziwa również dla x=1, zatem:

Ostatecznie:



Całkowanie funkcji niewymiernych

Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange`a :

Vn-1(x) - wielomian o współczynnikach nieoznaczonych. W celu wyznaczenia współczynników wielomianu Vn-1(x) oraz stałej różniczkujemy obustronnie powyższą tożsamość:

następnie mnożymy obustronnie przez

Otrzymujemy równość dwóch wielomianów. Porównując współczynniki przy zmiennej w tej samej potędze uzyskujemy współczynniki wielomianu Vn-1(x) oraz
Ostatnim etapem jest obliczenie I1 :

Całkę I1 da się sprowadzić do jednej z dwóch postaci w zależności od znaku współczynnika a:



Podstawienie Eulera
R - funkcja wymierna


Przykład 4.8


Przykład 4.9