65.pdf

Krótki wst ę p do zastosowania Metody Elementów Sko ń czonych (MES)

do numerycznych oblicze ń in Ŝ ynierskich

Wi ę kszo ść in Ŝ ynierów, maj ą c mo Ŝ liwo ść wyboru pomi ę dzy rozwi ą zaniem jednego zło Ŝ onego

problemu lub kilkudziesi ę ciu trywialnych, wybierze drug ą opcj ę . I słusznie. W niniejszym

artykule przedstawiono pokrótce jedn ą z metod oblicze ń , gdzie jednym z zało Ŝ e ń jest

tranformacja układu fizycznie zło Ŝ onego w wiele układów uproszczonych, a nast ę pnie

poszukiwanie

rozwi ą zania

dla

zło Ŝ onego

układu

cało ś ciowego

poprzez

sekwencyjne

rozwi ą zywanie zadania w uproszczonych układach składowych.

1. Rozwój MES

Metoda Elementów Skończonych (ang. FEA – Finite Element Analysis) jest w dniu

dzisiejszym jedną z podstawowych metod prowadzenia komputerowo wspomaganych

obliczeń inŜynierskich (ang. CAE – Computer Aided Engineering). W większości duŜych i

średnich przedsiębiorstw rozpoczęcie wytwarzania danego produktu nie moŜe się rozpocząć,

zanim jego określone własności nie zostaną pozytywnie zweryfikowane z zastosowaniem

obliczeń MES.

To co dziś wydaje się standardem, „całkiem niedawno” było luksusem osiągalnym

jedynie dla największych koncernów przemysłowych (np. Boeing, USA) lub ośrodków

naukowych (MIT, USA). Efektem dynamicznego rozwoju komputerów osobistych PC, który

rozpoczął się w połowie lat osiemdziesiątych XX w. było spopularyzowanie numerycznych

metod i narzędzi obliczeniowych wśród duŜych, średnich i nawet małych przedsiębiorstw

przemysłowych. Teoretyczne podstawy MES zostały dość dokładnie sformułowane pod

koniec lat 50-tych XX w. (jako metody prowadzenia obliczeń z zakresu mechaniki

strukturalnej), choć prowadzenie rozwaŜań z nią związanych miało miejsce juŜ w XIX wieku.

W jednej z prac Kirscha (1868) zasugerowano zastąpienie trójwymiarowego ustroju ciągłego

zbiorem oddzielnych elementów prostopadłościennych, a następnie zastąpienie kaŜdego z

nich przestrzenną kratownicą. W ten sposób powstała idea utworzenie metody obliczeniowej,

której głównym załoŜeniem był podział analizowanego obiektu (o złoŜonym kształcie i

nieskończonej liczbie stopni swobody) przez ściśle określoną liczbę elementów w kształcie

prymitywów geometrycznych o skończonej liczbie stopni swobody. Podział kontinuum na

skończoną liczbę fragmentów nazwano dyskretyzacją obiektu.

Gwałtowny renesans ww. idei nastąpił po II wojnie światowej w wyniku wyścigu

zbrojeń, czego efektem było m.in. pojawienie się pierwszych maszyn cyfrowych. W 1957

opublikowano pracę, w której pewien skończony fragment ustroju ciągłego nazwano

elementem sko ń czonym , a takŜe zaproponowano metodę rachunku wariacyjnego (zasada

minimum energii potencjalnej) jako sposób rozwiązania wybranych problemów mechaniki.

Jej autorami byli Turner, Clough, Martin i Topp, a ich pracę z czasem nazwano „ aktem

urodzenia Metody Elementów Sko ń czonych ”. Zaproponowane metody prowadziły jednak

do utworzenia równań równowagi układu o znacznej liczbie niewiadomych, a równań tych

nie były w stanie rozwiązać ówczesne komputery.

Z problemem tym uporali się... polscy Uczeni.W latach 60-tych XX w. opublikowano

prace Prof. Zienkiewicza oraz Prof. Przemienieckiego, w których przedstawiono metody

praktycznego zastosowania MES wraz ze sposobami uniknięcia wybranych trudności natury

matematycznej. Do dnia dzisiejszego, w ś wiatowej literaturze po ś wi ę conej CAE, Prof.

Zienkiewicza

uwa Ŝ a

si ę

„ojca

Metody

Elementów

Sko ń czonych”

oraz

jej

praktycznego zastosowania do rozwi ą zania problemów mechaniki .

Problemy natury matematycznej to nie wszystkie problemy, z którymi musieli borykać

się ówcześni inŜynierowie i naukowcy – jednym z większych problemów obliczeń MES w

latach 60-tych były moce obliczeniowe ówczesnych maszyn cyfrowych oraz utworzenie

programów liczących z zastosowaniem FEA. Podczas gdy w amerykańskiej NASA tworzono

zaląŜki systemu MES znanego dziś pod nazwą NASTRAN, w Polsce juŜ doskonale

funkcjonował jeden pierwszych na świecie komputerowych systemów obliczeniowych MES,

noszący nazwę WAT-KM . Został on stworzony przez polskich naukowców z Wojskowej

Akademii Technicznej w Warszawie pod kierownictwem Prof. Szmeltera . Ów wielki

uczony wychował wielu następców, którzy zajmują się dalszym rozwojem MES na poziomie

światowym. Do wychowanków Prof. Szmeltera naleŜą takie sławie polskiej i światowej

Nauki, jak: Prof. Kleiber, Prof. Dacko oraz Prof. Niezgoda, którzy nadal rozwijają teorię

zastosowania elementów skończonych.

Pod koniec lat 80-tych pojawiło się wiele profesjonalnych systemów MES,

przeznaczonych do instalacji na PC, np. NASTRAN. Fakt ten umoŜliwił duŜym i średnim

firmom wprowadzenie weryfikacyjnych obliczeń CAE do procesu rozwoju produktu. Finałem

ewolucji (lata 90-te) było zintegrowanie systemów CAD oraz CAE w spójną całość,

umoŜliwiająca dwustronną wymianę danych, np. UNIGRAPHICS. Od tego czasu nawet

niewielkie przedsiębiorstwa i uczelnie mogą sobie pozwolić na korzystanie z zalet MES.

2. Idea MES

Metoda Elementów Skończonych jest jedną z metod dyskretyzacji układów

geometrycznych ciągłych, tj. podziału kontinuum na skończoną liczbę podobszarów. Wobec

powyŜszego, idea metody zakłada modelowanie nawet bardzo złoŜonych konstrukcji (części i

zespołów) poprzez ich reprezentację za pomocą moŜliwie prostych geometrycznie elementów

składowych, nawet z uwzględnieniem nieciągłości i wielofazowości materiałowych.

Główne załoŜenie MES to podział modelu geometrycznego ciągłego (Rys. 1) na

elementy skończone, łączące się w tzw. węzłach, czego efektem jest utworzenie modelu

geometrycznego dyskretnego. Raz jeszcze naleŜy podkreślić, iŜ efektem dyskretyzacji jest

transformacja układu o nieskończonej liczbie stopni swobody (zdolności do zmiany wartości

określonej współrzędnej) do postaci układu o skończonej liczbie stopni swobody (SSW).

∑

NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe:

, gdzie n

lecz osiągnięcie warunku n

jest trudne do zrealizowania ze względów praktycznych.

Rys. 1. Dyskretyzacja modelu ciągłego – transformacja w zbiór (siatkę) elementów

skończonych: a) model geometryczny ciągły, b) model dyskretny idealny, c) model

dyskretny obliczeniowy

Podczas obliczeń z zastosowaniem MES dyskretyzacji ulegają równieŜ wszelkie inne

wielkości fizyczne, reprezentowane w układzie za pomocą funkcji ciągłych (np. obciąŜenia,

utwierdzenia, przemieszczenia, napręŜenia). Podczas dyskretyzacji określonej wielkości

fizycznej dąŜy się do maksymalnego zbliŜenia jej postaci dyskretnej i ciągłej z

zastosowaniem metod aproksymujących.

Aby rozwiązać poszczególne zagadnienie mechaniki (np. z dziedziny wytrzymałości

materiałów) naleŜy zwrócić uwagę na fizyczne otoczenie układu, tj. w przypadku układu

przedstawionego na Rys. 1a: wymuszenie (obciąŜenie ciągłe q ) oraz utwierdzenie (stałe ciągłe

wraz z podporą przesuwą).

Wymuszenie oraz utwierdzenie noszą umowne określenie warunków brzegowych układu.

Chcąc doprowadzić do uzyskania Ŝądanych wyników z zastosowaniem MES naleŜy

zbudować tzw. macierze sztywności, początkowo macierze lokalne (na podstawie wartości

współrzędnych węzłów oraz wartości parametrów fizycznych elementów), a następnie tzw.

macierz globalną. Aby przybliŜyć pojęcie macierzy sztywności naleŜy zwrócić uwagę na

układ o 2 SSW, przedstawiony na Rys. 2, gdzie dwie masy (ozn. m 1 oraz m 2 ) wykonują ruch

drgający względem współrzędnej x, w wyniku obciąŜenia ich siłami zmiennymi w czasie –

odpowiednio: P 1 i P 2 . Masy połączono ze sobą oraz z otoczeniem za pomocą elementów

spręŜysto–tłumiących, z których kaŜdy posiada określoną sztywność k oraz zdolność

tłumienia c. Szukanymi wielkościami są wartości poszczególnych przemieszczeń x(t).

Rys. 2. Przykładowy układ mechaniczny o 2SS

Równania ruchu ogólnego układu o 2SSW formułuje się z zastosowaniem równania

Lagrange’a drugiego rodzaju, pochodzące pośrednio od II prawa dynamiki Newton’a:

P(t)

N (1)

gdzie: E k – energia kinetyczna układu,

E d – energia tłumienia (dyssypacji) układu,

E p – energia potencjalna układu.

Dla układu o jednym stopniu swobody (1SSW):

E k

(2)

-1

E d

(3)

E p

(4)

Dla układu o 2SSW (Rys. 2):

(5)

-1

(6)

(7)

(8)

)

-1

(9)

)

(10)

(10) tworzy się układ dwóch róŜniczkowych

równań ruchu, z których kaŜde dotyczy wybranego układu:

Na podstawie zaleŜności (1) oraz (8)

układ 1:

[(c

)

]

[(k

]

(t)

N (11)

układ 2:

[(-c

)

]

[(-k

]

(t)

N (12)

Układ równań (11), (12) moŜna wyrazić jednym równaniem macierzowym:

(t)

(13)

(t)

które ogólnie zapisać moŜna, jako:

P(t)

(14)

gdzie: M - macierz bezwładności,

C - macierz tłumienia,

K - macierz sztywności,

P(t) - wektor sił uogólnionych,

· x - wektor przyspieszeń uogólnionych,

x - wektor prędkości uogólnionych,

x - wektor przemieszczeń uogólnionych.

WyraŜenie (14) jest ogólnym rozwiązaniem równania ruchu układu o 2SSW. Opracowanie

równań analogicznych jest niezbędne do uruchomienia obliczeń MES. Oczywiście ze

względu na fakt, iŜ w większości przypadków zadanie FEA rozwiązuje stacja obliczeniowa,

zadanie to naleŜy do „elektronicznego mózgu”.

Chcąc rozwiązać dane zadanie mechaniki (znaleźć wartości niewiadomych) np.

przemieszczeń) naleŜy rozwiązać zbudowane uprzednio układy równań.

3. MES w praktyce

Współczesne aplikacje inŜynierskie CAE, w których stosuje się MES składają się z

trzech wzajemnie współpracujących modułów, którymi są:

a) preprocesor (słuŜy m.in. do importu lub przygotowania geometrii, doboru rodzaju

elementów skończonych, dyskretyzacji kontinuum, a takŜe przyłoŜenia warunków

brzegowych),

b) solver (moduł przeznaczony do budowy oraz rozwiązania układu równań, na

podstawie którego uzyskuje się poszukiwane wartości danych wielkości fizycznych),

c) postprocesor (moduł słuŜący do prezentacji oraz wspomagania interpretacji

uzyskanych wyników).

Z praktycznego punktu widzenia, przed dyskretyzacją modelu CAD naleŜy go poddać

odpowiedniemu uproszczeniu, podczas którego naleŜy usunąć elementy nieistotne z punktu

widzenia analizowanego zjawiska np. promienie, fazy, otwory, pochylenia, itd. Na Rys. 2

zaprezentowano sposób prowadzenia wyŜej opisanych działań na przykładzie modelu CAD

tulei górnej cylindra amortyzatora podwozia samolotu.

Rys. 3. Sposób postępowania podczas przygotowania geometrii CAD do obliczeń MES:

a) zbudowanie dokładnego modelu CAD, b) uproszczenie geometrii modelu CAD,

c) dyskretyzacja modelu uproszczonego

Geometria analizowanych układów moŜe róŜnić się od siebie w sposób znaczący.

Mogą to być obiekty 1-wymiarowe (belki), 2-wymiarowe (cienkie tarcze, membrany) oraz 3-

wymiarowe (bryły). Wobec powyŜszego, podczas przygotowywania analizy MES dostępnych

jest bardzo wiele rodzajów elementów skończonych, a do kryteriów ich podziału zaliczyć

moŜna:

liczbę wymiarów, którymi moŜna opisać element (Rys. 4),

kształt geometryczny,

typ i stopień wielomianu załoŜonej funkcji kształtu elementu skończonego,

liczbę węzłów w elemencie,

rodzaje więzów ogólnych, nałoŜonych na element skończony.

Podczas dyskretyzacji modelu przydatne moŜe okazać się zagęszczenie siatki

elementów, w obszarach szczególnie obciąŜonych warunkami brzegowymi. NaleŜy jednakŜe

pamiętać, Ŝe tzw. „zagęszczanie siatki w nieskończoność”, tj. doprowadzenie do

wygenerowania bardzo małych elementów skończonych w danych rejonach moŜe wręcz

implikować zniekształcenie wartości poszukiwanych niewiadomych.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: